張敏

摘 要：培養(yǎng)學生合情推理能力，有益于提升學生發(fā)現(xiàn)問題的能力，以小見大的聯(lián)想能力以及創(chuàng)新能力。中職學校數(shù)學教師在進行課上課下的教學活動時，注重對學生培養(yǎng)合情推理能力可以促進學生的發(fā)展。本文就如何在中職數(shù)學教學中對學生進行合情推理能力的培養(yǎng)做了探討。

關鍵詞：中職數(shù)學 合情推理 能力培養(yǎng)

數(shù)學發(fā)展史中的每一個重要的發(fā)現(xiàn)，都離不開合情推理的作用，如著名的四色定理。四色猜想一開始是由一位叫古德里的英國大學生根據(jù)哥哥繪制英國地圖時發(fā)現(xiàn)的，通過合情推理，提出猜想：“將平面任意地細分為不相重疊的區(qū)域，每一個區(qū)域總可以用1、2、3、4這四個數(shù)字之一來標記，而不會使相鄰的兩個區(qū)域得到相同的數(shù)字?！边@是數(shù)學三大難題之一。1976年6月，四色定理最終在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上用了1200個小時作了100億次判斷下完成了證明，轟動了世界。

在日常生活中，推理也是無處不在的。醫(yī)生診斷病人的病癥，警察偵破案件，氣象專家預測天氣的可能狀態(tài)，考古學家推斷遺址的年代，數(shù)學家論證命題的真?zhèn)蔚鹊?，其中都包含了推理活動。在?shù)學學習中，合情推理能提高學生的思維能力，在對已經(jīng)掌握的知識進行運用時還可以培養(yǎng)創(chuàng)造能力。在中職數(shù)學教學中，教師要有意識地培養(yǎng)學生的合情推理能力，對比舊知，讓學生善于提出新奇的問題，猜想出結(jié)論，并驗證真?zhèn)巍?/p>

一、合情推理的概念

合情推理，顧名思義是一種合乎情理的推理。數(shù)學學科邏輯性及關聯(lián)性較強。這就要求學生具有一定的合情推理能力。在新課標的要求下，培養(yǎng)學生合情推理能力已經(jīng)迫在眉睫。

歸納推理和類比推理統(tǒng)稱為合情推理。歸納推理是由個別事實概栝出一般結(jié)論，部分推出整體，個別推出一般的推理。例如：可以通過數(shù)三棱錐、四棱錐、三棱柱、四棱柱等的面數(shù)、頂點數(shù)和棱數(shù)，通過歸納、猜想出“凸多面體面數(shù)+頂點數(shù)-棱數(shù)=2”這一歐拉公式;再如著名的哥德巴赫猜想“任何一個大于2的偶數(shù)都等于兩個素數(shù)的和”，史稱數(shù)學皇冠上璀璨的明珠。當然，不是所有的歸納推理都一定正確。而類比推理是通過對比兩個屬性相同或相似的對象，從而推斷出它們在其他屬性上也相同或相似的推理過程，是由特殊到特殊的推理。例如：根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列概念的區(qū)別和聯(lián)系，可以通過等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式推理出等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式。再如由等式的性質(zhì)可以推導出不等式的性質(zhì)，由方程的根的情況推導出二次函數(shù)與坐標軸交點個數(shù)的情況。

二、培養(yǎng)合情推理能力的必要性

合情推理能力的培養(yǎng)有助于幫助學生靈活應用數(shù)學知識，引導學生注重數(shù)學知識點的聯(lián)系和遷移，培養(yǎng)學生探索和發(fā)現(xiàn)能力。就像通過類比合情推理，平面上的圓的概念與性質(zhì)可以推導出空間中的球的概念與性質(zhì)，如果教師能夠在日常的教學中幫助培養(yǎng)學生通過觀察、歸納、類比、轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，在解決球的概念、表面積、體積算法時可起到事半功倍的效果，學生甚至可以在教師的輔助教學下自主學成本節(jié)內(nèi)容。所以在中職數(shù)學教學中，應重視數(shù)學合情推理能力的培養(yǎng)。

三、合情推理的步驟

第一，觀察：觀察兩個對象之間的相似點和共通點，找到可以推理的方向。

第二，聯(lián)想：觀察到兩者之間的相似點后，聯(lián)想兩者的性質(zhì)類似，后者的性質(zhì)可由前者推理得到。有些表面上很普通、很平常的兩個問題若通過聯(lián)想能找到相似相通點，或許能使題目變得簡單易懂。

第三，推理探究：用歸納、類比猜想等方法推理探究新對象的性質(zhì)等。學生在大膽猜想中體驗合情推理，在嚴謹?shù)淖C明中體驗演繹推理。

第四，得到問題結(jié)論并加以證明。合情推理的結(jié)論不一定正確，需要加以證明和檢驗。

四、培養(yǎng)學生合情推理能力的主要活動形式

教師在進行數(shù)學教學活動中合情推理能力培養(yǎng)時，本身需要扎實的基本功，要對知識點的遷移做到游刃有余。此外，在做合情推理時，要教給學生：找到兩知識點間的聯(lián)系才是推理出準確結(jié)論的依據(jù)。比如由圓的性質(zhì)“圓心與非直徑的弦的中點連線垂直于弦”推導出球的性質(zhì)“球心在不經(jīng)過球心的截面圓的圓心連線垂直于截面圓”;由圓的性質(zhì)“與圓心距離相等的兩弦相等，與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較遠的弦較長”推導出球的性質(zhì)“與球心距離相等的兩截面圓面積相等，與球心距離不等的兩截面圓面積不等，距球心較近的截面圓面積較大”;由“以點P（x0，y0）為圓心，r為半徑的圓的方程為（x-x0）2+（y-y0）2=r2”推導出“以點P（x0，y0，z0）為球心，r為半徑的球的方程為（x-x0）2+（y-y0）2+（z-z0）2=r2”。此外，由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內(nèi)角和為180°，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都為180°;由三角形內(nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和為540°，得到凹多邊形內(nèi)角和為（n-2）×180°。

除了課堂的教育教學活動以外，教師還需要注重生活中的數(shù)學應用。許多游戲中也隱含著推理的要求，甚至有專門需要使用合情推理來解題的APP，教師可讓學生在課余時間下載學習。所以，中職數(shù)學教學中合情推理能力的培養(yǎng)，要進一步拓寬發(fā)展的渠道，使學生感受到生活、活動中處處有數(shù)學。

在數(shù)學課程教學中，教師通過創(chuàng)設問題情境，引導學生細心觀察;變式訓練，強化思維能力;特殊值代入，引導學生猜想。強化合情推理的意識，提升思維水平，達到培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力的目的。

經(jīng)過筆者多年課堂教學效果來看，在中職數(shù)學中對學生的合情推理能力培養(yǎng)大致分為以下三個方面進行。

1.觀察法

在教學過程中，教師要注重給學生必要的時間和空間進行觀察，培養(yǎng)良好的習慣，提高觀察力和直覺性。這對發(fā)展合情推理能力有直接影響。例如，在講到“數(shù)列的通項公式”這一節(jié)課時，教師可以先給出例1：寫出前四項為“-1，1，-1，1，…”的無窮數(shù)列的一個通項公式。學生通過數(shù)列項的特點，合情推理出該規(guī)律與“負數(shù)的奇數(shù)次方為-1，偶數(shù)次方為1”相吻合，從而推導出該數(shù)列的通項公式為an=（-1）n。教師隨即提出例2：前四項為“1，-1，1，-1，…”的無窮數(shù)列的通項公式又該如何？學生自然而然推理出此時數(shù)列各項的規(guī)律與原規(guī)律略有偏差，從而得到該數(shù)列的通項公式為an=（-1）n+1。為了符合認知規(guī)律、層層遞進，引學生獨立思考，教師可以給出練習題：寫出前四項為“-1，4，-9，16，…”的無窮數(shù)列的一個的通項公式。學生能馬上通過合情推理得到該數(shù)列的各項的正負情況，遵循跳躍數(shù)列例1，數(shù)字大小是所在項數(shù)的平方，故得到結(jié)論：an=（-1）n·n2。如此，學生合情推理的能力會在每個例題與練習題中得到鍛煉并應用到學習和生活中去。

2.實驗法

學生在大膽猜想中體驗合情推理，在嚴謹?shù)淖C明中體驗演繹推理。二者相輔相成、互相推動，使學生的思維得到發(fā)展，能力得以提升。例如：設△ABC的三邊長分別為a，b，c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r=，類比這個結(jié)論可得：四面體P-ABC的四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球的半徑為R，四面體P-ABC的體積為V，則R=。這個題目主要考察了學生合情推理的能力。三角形中，內(nèi)切圓的圓心，與其三個頂點的連線，構(gòu)成了三個小的三角形，并且有相同的高r，底邊分別是a，b，c，利用等面積法，我們得到S=r（a+b+c），所以r=。利用類比推理可知，在四面體內(nèi)切球半徑為R，四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球的球心與各頂點的連線，將一個四面體分割為四個小的四面體，以四面體的四個面為底面，高都為R的四面體，由等體積法，可得V=R（S1+S2+S3+S4），所以R=。

在中職數(shù)學教學中，引導學生觀察和實驗，可以幫助學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學真理和解決問題的方向和途徑，從而大大提高學生的學習效率。

3.提問法

在數(shù)學中，許多命題的發(fā)現(xiàn)，性質(zhì)的得出，甚至思路的形成和方法的創(chuàng)造，都是通過提問而開始的。比如：學了余弦函數(shù)與正弦函數(shù)的圖形和性質(zhì)后，可以提問學生，如果把余弦曲線與正弦曲線放在同一直角坐標系中，兩條曲線有沒有關系呢？提問不僅有利于激發(fā)學生探究的興趣，也能夠讓學生通過實驗的方法自己得到結(jié)論：正弦曲線與余弦曲線的圖形一模一樣，但位置不同，即通過平移可以使兩條曲線重合。教師可以再提問：可以通過怎樣規(guī)律的平移來使得兩條曲線重合呢？學生通過兩條曲線的同一特征點的位置進行判斷，比如最高點，判斷出正弦曲線可由余弦曲線向右平移個單位得到。教師還可以再提問：“只能是這樣平移嗎？平移距離最小的平移是怎么樣的？平移特點和規(guī)律能否總結(jié)出來？”學生的求知欲望被激發(fā)。問題由易到難，由淺入深，讓學生思想的火花四濺，討論熱烈，隨即會通過觀察和推理，得到多種平移方法并歸納出平移特點。層層遞進的提問幫助學生通過合情推理找到答案，并牢固地掌握知識。

數(shù)學與生活息息相關，密不可分。教師在培養(yǎng)學生合情推理能力的過程中，還須關注生活中實際問題、熱點問題，挖掘生活素材，設法引起學生的認知沖突，激發(fā)學生的求知欲望，在問題的解決過程中，培養(yǎng)學生的合情推理能力，真正做到“生活即數(shù)學，數(shù)學即生活”。

在個別學生基礎薄弱，對數(shù)學學科興趣不是很濃的中職數(shù)學教學中，對學生進行合情推理能力的培養(yǎng)，是開發(fā)學生創(chuàng)造性素質(zhì)的需要，更是全面開發(fā)大腦潛力的需要。對于學生來說，注重合情推理能力的培養(yǎng)不但提高了學生學習興趣學到了知識，而且會將日常事務中積累經(jīng)驗方法用于學習解決問題。對于教師來說，課堂上注重這一能力的培養(yǎng)加大了學生對課堂的關注度，提高了教學效率，增加了課堂教學的趣味性，也在自然狀態(tài)下將合情推理提高到一個更加合理、更加科學的層次。

參考文獻：

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[2]易翠燕.小學數(shù)學教學中學生歸納推理能力的培養(yǎng)[J].未來教育家，2019（3）.

（作者單位：嘉興技師學院）