摘?要：2019年全國一卷理科數(shù)學：21題以數(shù)列加概率綜合的形式取代了以往函數(shù)與導數(shù)壓軸題的位置。在限定時間內(nèi)要快速理解題意并克服題型變換的壓力，無疑增加了考生答題的難度。筆者對此題及學生的答題情況進行具體分析，思考學生在數(shù)學核心素養(yǎng)上的缺失。

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學;解題;數(shù)學核心素養(yǎng)

一、?問題的呈現(xiàn)

為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗。試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗。對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥。一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗。當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效。為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分。甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為x。

1.?略;

2.?若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，Pi（i=0，1，…，8）表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則P0=0，P8=1，其中Pi=aPi-1+bPi+cPi+1（i=1，2，…，7），其中a=P（x=-1），b=P（x=0），c=P（x=1）.假設α=0.5，β=0.8。

（?。┳C明：{Pi+1-Pi}（i=0，1，…，7）為等比數(shù)列;

（ⅱ）求P4，并根據(jù)P4的值解釋這種試驗方案的合理性。

二、?問題的難點

難點一：無法適應試卷結(jié)構(gòu)，認為題目的閱讀量較大，對題目的信息理解不到位，覺得讀不懂題。

難點二：目標不知如何轉(zhuǎn)化，證明等比數(shù)列的常規(guī)方法是證明Pi+1-PiPi-Pi-1=q（常數(shù)），但從題干的等式中難以得出需要的目標式。

難點三：能證明出{Pi+1-Pi}（i=0，1，…，7）為等比數(shù)列，但由于得不到P1而無法求得P4。

難點四：無法根據(jù)P4的值解釋試驗方案的合理性。

三、?問題的分析與解決

（一）?問題的分析

本題通過概率為載體，考查了概率統(tǒng)計和數(shù)列的交匯，以及概率與統(tǒng)計的實際應用。在題目的背后，需要學生具備數(shù)學抽象、數(shù)學建模、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

（二）?問題的解決

1.?理解題目本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學抽象核心素養(yǎng)

突破難點一

由于本題題干較長，試驗的規(guī)則較復雜，學生在短暫的時間里可能摸不著頭腦。要有效地解決這個問題，需要對題干的信息進行簡單的整理和加工。從對試驗方案的理解中我們意識到一輪試驗是一次隨機試驗，即分配兩只小白鼠分別試驗甲藥和乙藥是隨機的，所以兩次試驗是獨立的。這樣一輪下來會得到四個結(jié)果，我們抽象成如下的表1（這里用符號√表示治愈，×表示未治愈）：

對文字的抽象可以更清晰地幫助我們理解題意，方便后面解題，但是這種抽象更多的是一種翻譯，還停留在表層，我們需要進一步抽象。隨著試驗的不斷進行，這就是獨立重復試驗，這個試驗結(jié)束的時刻是當其中的一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，如果還是不能理解，我們可以舉一個具體的例子看看甲有效的情況，如表2：

通過上述例子可以發(fā)現(xiàn)要結(jié)束試驗，∑Xi=-∑Yi，更近一步，當且僅當∑Xi=4或-4時，試驗結(jié)束。到此，數(shù)學抽象幫助我們深刻地理清了題意及考查的大致知識情況。

2.?建立數(shù)學模型，培養(yǎng)數(shù)學建模核心素養(yǎng)

突破難點二

在清楚題意之后，難點就變成了如何證明等比數(shù)列。等比數(shù)列這個數(shù)學模型的本質(zhì)特點是：一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比值等于同一個常數(shù)q（q≠0），即a1≠0，anan-1=q。如果能熟練運用這個模型，學生會知道要證明{Pi+1-Pi}（i=0，1，…，7）為等比數(shù)列即要得到Pi+1-PiPi-Pi-1=q（常數(shù)）或Pi+2-Pi+1Pi+1-Pi=q（常數(shù)）。更近一步，觀察題干可以發(fā)現(xiàn)，與Pi相關(guān)的題設條件僅有遞推式Pi=aPi-1+bPi+cPi+1（i=1，2，…，7），所以我們下一步應該是要在求得a，b，c具體數(shù)值的基礎上得到Pi+1-PiPi-Pi-1=q（常數(shù)）這個目標式。

由于Pi=0.4Pi-1+0.5Pi+0.1Pi+1（i=1，2，…，7），通過分析目標式結(jié)構(gòu)，移項與拼湊，可以得到0.1Pi+1-0.1Pi=0.4Pi-0.4Pi-1，即Pi+1-PiPi-Pi-1=4（常數(shù)），下面還需驗證首項不為零，由于P1-P0=0.5P1+0.1P2，題上沒有給出P2，故“P1-P0是否為零”這個問題暫時還無法解決。但題上給出了P8=1，那是否可以根據(jù)這個條件得到P1呢？

3.?尋求數(shù)學聯(lián)系，提升邏輯推理核心素養(yǎng)

突破難點三及首項P1-P0是否為零的問題

現(xiàn)在，把相關(guān)信息進行整理：①Pi+1-PiPi-Pi-1=4?②P0=0，P8=1我們要求的是P4和P1，那如何從①這個一般式推得特殊值呢？從一般入手，等比數(shù)列{Pi+1-Pi}中，P1-P0，P2-P1……P8-P7這八項后一項與前一項的比值都為4，可以根據(jù)等比數(shù)列前n項和的公式計算得到這八項之和。這樣有兩個好處，一是根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式得到（P1-P0）+（P2-P1）+……+（P8-P7）=P1（1-48）1-4，二是把括號打開得到（P1-P0）+（P2-P1）+……+（P8-P7）=P8，由于P8已知，所以我們可以反推P1。值得注意的是，整個過程的前提都是首項不為0，數(shù)列{Pi+1-Pi}（i=0，1，…，7）是等比數(shù)列的前提下進行的，如果首項為0，那整個過程將毫無意義，這實際上是一種邏輯假設，我們計算得到P1=348-1說明假設是成立的。

在我們得到P1后，我們可以用剛才的方法求得P4，這里進一步地訓練邏輯思維，即順向思維和逆向思維，我們要得到P4，需要從另一個角度進行構(gòu)造，即P4=（P1-P0）+（P2-P1）+（P3-P2）+（P4-P3）=1257。

4.?分析理解數(shù)據(jù)，滲透數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)。

突破難點四

計算出P4=1257后，根據(jù)這個數(shù)值解釋試驗方法的合理性，我們首先要弄清P4的具體含義。由題可知，Pi（i=0，1，…，8）表示“甲藥的累計得分為時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率。即1257代表的是甲藥比乙藥更有效的概率的大小。那如何根據(jù)概率的大小來判斷試驗方案的合理性呢？甲藥的治愈率是0.5，乙藥的治愈率是0.8，在這個前提下，我們得出甲藥比乙藥更有效的概率是1257（約為0.0039），這個概率與0.05相比是很小的。所以甲藥比乙藥更有效的概率很小，這與兩種藥本身的治愈率的大小是相吻合的，故試驗方案是合理的。

這里很多考生直接把0.0039與0.05相比較，得出概率小所以不合理的結(jié)果，這是由于沒有真正理解“合理”二字的意義，數(shù)據(jù)分析不夠全面透徹。沒有弄清數(shù)據(jù)可能性大小代表的真正含義，只是單從數(shù)字大小本身進行解讀，這樣的結(jié)果往往都是片面的、易錯的。數(shù)據(jù)分析要想準確，離不開題目、數(shù)學學科、社會生活這些大環(huán)境，在我們學習數(shù)學的過程中，會出現(xiàn)一些特殊的數(shù)字或字母，這些數(shù)字和字母都具有豐富的含義，可以幫助我們更方便簡潔地分析理解數(shù)據(jù)。

四、?結(jié)語

波利亞在《怎樣解題》中提供了一種解題的思路，學生可以通過思考“你以前見過此題嗎？你見過一道和它相關(guān)的題目嗎？”來找到解題的方法。但值得思考的是，隨著時代的發(fā)展，學科要求的不斷提高。學生面臨的是題量增大，題型多變，他可能很難通過一道題馬上聯(lián)想到其他與之相關(guān)的題，因為范圍太大，時間太短。筆者認為，學生應該在融會貫通的基礎上，通過數(shù)學學科核心素養(yǎng)來了解數(shù)學的基本特征，完善數(shù)學重要的思維品質(zhì)，提高自己的學科能力。如此，以不變應萬變，做好面對一切未知的準備，遇到難題時才會有行之有效的方法。

參考文獻：

[1]教育部.普通高中數(shù)學課程標準[M].人民教育出版社，2013.

[2]管寶.從數(shù)學高考題看學生思維能力的培養(yǎng)[J].科學教育家，2008（1）.

[3]馬云鵬.關(guān)于數(shù)學核心素養(yǎng)的幾個問題[J].課程·教材·教法，2015，35（9）.

作者簡介：陳瑤瑤，四川省南充市，西華師范大學。