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        高中數(shù)學(xué)立體幾何中幾何體的夾角求法芻議

        2019-01-21 11:49:22謝天翊
        西部論叢 2019年3期
        關(guān)鍵詞:解題方法高中數(shù)學(xué)

        謝天翊

        摘 要:數(shù)學(xué)學(xué)科作為高中數(shù)學(xué)中難度較大的學(xué)科,面對數(shù)學(xué)問題的解答,掌握一定的解題方法十分重要。學(xué)生只有具備了扎實的理論知識,靈活的解題方法,具備清晰的解題邏輯,面對困難的數(shù)學(xué)問題才能得到解答?;诖?,本文針對立體幾何中十分常見的夾角問題進(jìn)行了研究分析,從線面夾角、二面角以及線線夾角三個方面進(jìn)行了分析,以期能夠更加有效的處理好夾角問題,能夠讓學(xué)生不再受到立體幾何難題的困擾。

        關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué);立體幾何;夾角問題;解題方法

        引言:在高中階段,數(shù)學(xué)學(xué)科一直是相對困難的一個學(xué)科,無論是學(xué)生的學(xué)習(xí)還是教師的教學(xué),都需要花費(fèi)大量的精力對數(shù)學(xué)進(jìn)行研究。在高中數(shù)學(xué)中立體幾何是十分重要的問題,在高考題目中占據(jù)著很大的比例,對于學(xué)生而言,解答立體幾何這類問題也十分困難。教師面對這樣的困境,必須要加強(qiáng)對學(xué)生解題方法的教學(xué),幫助學(xué)生能夠掌握更有效的解題方法,讓立體幾何的相關(guān)問題能夠迎刃而解。

        一、線和面形成的夾角

        針對直線和面形成的夾角,假設(shè)在平面A上,存在一個向量n,那么PP0與A平面形成的夾角也就是θ,這樣能夠得到 的公式為 。

        例如:在三棱柱中,存在CA=CB、AB=AA1且 =60°。求證明AB和AC是互相垂直的;假設(shè)平面ABC是和平面AA1B1B是相互垂直的,且AB和CB的長度是相等的,在這個條件下,求出直線A1C與平面BB1C1C所形成夾角的正弦值。

        對于這道題目,我們首先做出直線AB的重點(diǎn)為O,然后將OC、A1B、A1O兩點(diǎn)相連接。由于AB和AA1是相等的,那么 =60°,可以推論出三角形BAA1是正三角形,也就是說A1O適合AB相互垂直的。由于CA和CB的值是相等的,所以可以得出CO是和AB相垂直的。由于CO A1O=O,那么就可以得到AB和COA1是相互垂直的,也就是說AB和A1C是相互垂直的。

        根據(jù)已知條件,我們能夠了解到CO適合AB互相垂直的,OA1適合AB互相垂直的,平面ABC是和平面ABB1A1互相垂直的,面ABC 面ABB1A1=AB。因此OC也就垂直于平面ABB1A1,OC也就垂直于OA1。因此,將O作為坐標(biāo)的原點(diǎn),將OA的方向定義為正方向,OA的長度也就是單位長度,建立直角坐標(biāo)系之后,能夠獲得各個點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)行求解。最終能夠獲得正弦值的值為 。

        二、二面角

        在二面角中,兩個平面上個存在一個法向量,假設(shè)二面角的大小是大于零且小于π的,那么 。平面上一個法向量代表著平面的一點(diǎn),另一個平面上的法向量代表著的一點(diǎn)指向角內(nèi)部。否則二面角中發(fā)出法向量的時候,θ=π-(n1,n2)[1]。

        例如:在一個三棱柱中,AA1C1C是正方形,平面ABC是和平面AA1C1C互相垂直的,AB的值為3,BC的值為5。AA1適合平面ABC互相垂直的,求二面角A1-BC1-B1余弦值。同時需要證明BC1上是存在一點(diǎn)D能夠讓AD和A1B互相垂直的,將BD和BC1的比值求出來。

        由于在四邊形AA1C1C是正方形,且AA1是和AC相互垂直的,由于平面ABC是和平面AA1C1C是互相垂直的,直線AA1也是垂直于AC,因此可以得到AA1適合AB互相垂直的。根據(jù)題目的已知條件,將A作為原點(diǎn)進(jìn)行坐標(biāo)系的建立,這樣能夠獲得各個點(diǎn)的坐標(biāo),對余弦值進(jìn)行計算。

        三、線和線形成的夾角

        假設(shè)存在異面直線ab,而在ab上存在兩個向量,異面直線形成的夾角也就是 [2]。

        例如:在一個直三棱柱中,AB和AC是互相垂直的,AB和AC的值都是2,AA1的值是4,BC的中點(diǎn)是D。根據(jù)已知條件,對異面直線A1B和C1D所形成的夾角余弦值進(jìn)行計算,還需要求出兩個平面ADC1、ABA1所形成的夾角的正弦值。

        在這道題目中,我們能夠了解到這道題目所考察的是異面直線、向量以及二面角的相關(guān)問題,在這道題目中需要使用向量解題方法進(jìn)行題目的解答。以A作為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,在直角坐標(biāo)系中能夠得到各個點(diǎn)的坐標(biāo)。然后能夠獲得直線的向量,這樣也就能夠?qū)Χ娼沁M(jìn)行解答。根據(jù)直角坐標(biāo)系能夠知道,A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0,0),B的坐標(biāo)為(2,0,0),C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2,0),D點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1,0),C1點(diǎn)的坐標(biāo)為(0.2.4)。因此向量 也就是(2,0,-4),向量 也就是(1,-1,-4)。這樣就能夠計算出夾角余弦值,也就是 。

        在第二個問題中,由于平面ABA1上的法向量是 ,假設(shè)在平面ADC1上存在一個法向量,由于該法向量和AD以及AC1是相互垂直的,能夠得出方程式,得到答案。在獲得平面ADC1法向量的值的基礎(chǔ)上,能夠?qū)Χ娼堑恼抑颠M(jìn)行解答。假設(shè)平面ADC1上的法向量n是(x,y,z),那么能夠得到x+y=0,2y+4z=0,z的值是1,也就得到了x的值是2,y的值是-2.這樣向量n也就是(2,-2,1)。那么二面角的正弦值也就能夠得出 。

        結(jié)論:綜上所述,本文對高中數(shù)學(xué)中難度較大的立體幾何夾角問題進(jìn)行了研究分析,通過例題講解的方式從線面夾角、二面角以及線線夾角三個方面進(jìn)行了系統(tǒng)的分析。面對立體幾何的夾角問題,首先需要對題目進(jìn)行徹底的分析,對題目中提到的以及隱藏的已知條件全部找出來,對已知條件進(jìn)行分析。然后根據(jù)已知條件確定自己的解題思路,通過建立直角坐標(biāo)系、做輔助線、做輔助點(diǎn)等多種方式,將問題轉(zhuǎn)化成計算問題,對夾角問題進(jìn)行解答。

        參考文獻(xiàn):

        [1]平克.讓立體幾何變得不再“立體”——淺談高中數(shù)學(xué)教學(xué)中“肢解”立體幾何[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2018(30):42-43.

        [2]韓蕊.立體幾何比較研究——人教版與北師大版高中數(shù)學(xué)教材“立體幾何”部分的比較[J].考試周刊,2018(81):81.

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