李維

[摘? 要] 模型思想是初中數(shù)學學習的重要思想之一，在數(shù)學課堂教學中，數(shù)學思想的滲透與感悟是踐行學生核心素養(yǎng)落地生根的關鍵. 教師需要將思想鑲嵌到情境中，啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)情境中的數(shù)學問題，并將問題轉化成數(shù)學模型，從而通過模型思想和數(shù)學工具一一突破問題. 教師要讓學生在長期的學習與應用之中，提升對模型思想的感悟與應用，將思想轉變成一種應用能力與一種學習習慣.

[關鍵詞] 模型思想;圖形;初中數(shù)學;能力;素養(yǎng)

數(shù)學模型就是用數(shù)學語言和數(shù)學符號所構建的科學模型，模型思想就是構建數(shù)學模型的思想. 在數(shù)學學習中，模型思想是一種重要的思想，也是一種常用的方法，更是一種實用的工具，尤其在解決問題的過程中，有著不可替代的作用. 簡言之，模型思想就是在解決問題時，根據(jù)問題所提供的信息及其特征，抽象出數(shù)學基本模型，從而使問題由繁化簡、由難化易. 對于初中數(shù)學而言，模型思想在幾何問題解決中的重要作用尤為突出，下面結合初三一輪復習專題“線段和的最值”（蘇科版），談談筆者的感悟.

模型1：“將軍飲馬”模型

將軍飲馬模型是路徑最短問題中的經典模型，抽象成幾何模型即為：如圖1，點A，B是直線l同一側的兩個點，在直線l上求一點P，使AP+BP的值最小.

利用軸對稱的性質，作點A關于直線l的對稱點A′（如圖2），則AP的長度可以轉化為A′P的長度. 利用“兩點之間，線段最短”，可知當A′，P，B三點共線時，AP+BP的值最小.

例1如圖3，在∠AOB的內部有一點P，分別在OA，OB上各找一點M，N，使△PMN的周長最小.

分析上述問題顯然和“將軍飲馬”的“兩定一動”模型有所區(qū)別，此題屬于“一定兩動”，但思路卻是相通的. 如圖4，分別作點P關于直線OA，OB的對稱點P′，P″，則MP可以轉化成MP′，NP可以轉化成NP″，△PMN的周長即為P′M+MN+NP″. 連接P′P″，依據(jù)“兩點之間，線段最短”，即可找到M，N的確切位置，使△PMN的周長最小.

例2如圖5，∠AOB的邊OA，OB上分別有點M，N，且OM=1，ON=3，P，Q分別是OB，OA上的動點，已知∠AOB=30°，試求MP+PQ+QN的最小值.

分析該問題屬于“兩定兩動”問題. 根據(jù)將軍飲馬模型的思路，只需作M關于直線OB的對稱點M′，N關于直線OA的對稱點N′（如圖6），則MP+PQ+QN=M′P+PQ+QN′. 連接M′N′，則M′N′的長度即為MP+PQ+QN的最小值. 易證∠N′OM′=90°，由對稱的性質知OM′=OM=1，ON′=ON=3，所以M′N′=.

“兩點之間，線段最短”是將軍飲馬模型的依據(jù)，幾何圖形中能夠快速發(fā)現(xiàn)該模型的方法就是找點，通常具備“兩定一動”“兩動一定”和“三動”特征的點時，即可利用該模型來求解.

模型2：垂線段最短

“直線外一點到直線上所有點的連線中，垂線段最短”是基本定理，將此定理運用于幾何圖形中，即可成為一個解決線段之和最短問題的基本幾何模型.

例3如圖7，∠AOB的邊OB上有一定點C，在OA，OB上分別求一點M，N，使CM+MN的值最小.

分析首先利用軸對稱作點C關于直線OA對稱的點C′（如圖8），則CM即可轉化為C′M. 當C′，M，N三點在同一條直線上時，CM+MN有最小值，即C′N的長. 由于點N不固定，所以線段C′N的長度也在不斷地發(fā)生變化，但當C′N⊥OB時，線段C′N的長度最小，此時正是CM+MN的最小值.

例4如圖9，在平面直角坐標系中，☉A的半徑為1，圓心A的坐標為（-1，0），點P為直線y=-x+3上的一個動點，過點P作☉A的切線，切點為Q，在點P運動的過程中，切線PQ的長度也在不斷變化，這個長度是否存在最小值？請說明理由.

分析根據(jù)切線長的計算公式，無論點P在何位置，PQ=總成立. 由圖10可知，點P運動時，☉A的半徑不變，所以當PA取得最小值時，PQ也取得最小值. 依據(jù)“垂線段最短”可知，當AP⊥BC時，PA的長度最小，此時切線PQ的長度也最小. 要求此時PQ的長，可以先證△COB≌△CPA，從而得到PA=OB=3. 再利用勾股定理，即可求出PQ==2.

針對動態(tài)問題，“動中求靜”是一種策略. 在上述模型中，“動”中的“定”通常是一個定點，找準定點后利用對稱的方法將線段之和轉化成一條線段，再根據(jù)“線段最短”，即可解決問題.

模型3：圓上的最近點（最遠點）

如圖11，點P是☉O外一點，A，O，B，P四點共線，則點P與圓上所有點的連線段中，PA最長，PB最短. 當點P是☉O內一點時，結論依然成立（如圖12，當然，此時點P離點B更近一些）.

例5如圖13，在邊長為4的正方形ABCD的邊AD上任取一點E，連接BE，過點A作BE的垂線，垂足為F，點P是AD邊上另一動點，連接PF，PC，求PC+PF的最小值.

分析由AF⊥BF可知點F的運動軌跡為以AB為直徑的半圓弧. 在正方形ABCD的左邊作一個與之全等的正方形AB′C′D，連接PC′，則PC=PC′，PC+PF=PC′+PF. 所以當C′，P，F(xiàn)三點共線時，PC+PF取得最小值. 于是問題轉化成當點F在什么位置時，C′F的值最小. 由上述模型可知，連接C′O（其中O為AB的中點），其與半圓弧的交點即為所求的點F. 利用C′F=CO-FO可以求出此時C′F的長.

因為圓上的最近點和最遠點都與圓有關，所以在問題中發(fā)現(xiàn)“隱圓”非常重要，而該圓通常是點的軌跡. 所以，當幾何問題中出現(xiàn)圓時，可以考慮利用這一模型來求解.

模型4：三角形

“兩邊之和大于第三邊”是三角形的三邊關系，從另外一個角度可以描述為“三角形的一條邊小于另外兩條邊之和”，這便可以成為線段和最值問題的一個幾何模型.

例6如圖15，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=4，D為線段AC上任意一點，連接BD，過點C作BD的垂線，垂足為H，連接AH，求AH的最小值.

分析題中無法直接看出何時AH的值最小，根據(jù)所給條件“CH⊥BD”可知△CBH為直角三角形，如圖16，取BC的中點G，連接HG可知HG為直角三角形CBH斜邊上的中線，因此HG=BC為定值. 若AH取得最小值，則AH+HG取得最小值. 連接AG，得到三角形AGH，根據(jù)AG

例7如圖17，☉O是半徑為1的圓，MN是它的直徑，點A是圓上一點，且∠AMN=30°. 已知=，P是直徑MN上的一個動點，求PA+PB的最小值.

分析圖中A，B為定點，可以作點B關于直線MN對稱的點B′，則PA+PB=PA+PB′. A，P，B′可以構成一個三角形模型，根據(jù)“兩邊之和大于第三邊”可以判定，當A，P，B′三點共線時，PA+PB的值最小，于是可確定點P的位置. 計算PA+PB的最小值，就是計算AB′的長. 根據(jù)同弧所對的圓心角與圓周角的關系可知∠AON=2∠M=60°，由對稱可知∠B′ON=∠BON=∠AON=30°，所以△AOB′為等腰直角三角形，AB′=. 所以PA+PB的最小值為.

“兩邊之和大于第三邊”模型與“將軍飲馬”模型有相通之處，它們的實質都是“兩點之間，線段最短”，同時它們也存在細微的區(qū)別. “將軍飲馬”模型突出對稱，而“兩邊之和大于第三邊”中三角形的存在較為明顯. 解決問題時，應仔細觀察圖中隱含的圖形，或構造目標模型，或找到三角形運用“兩邊之和大于第三邊”模型來解決問題.

靈活、多變是數(shù)學問題的特征，“變”讓幾何圖形千姿百態(tài). 正是這些“變幻莫測”的幾何圖形，有時讓學生覺得難以突破. 誠然，幾何圖形的變化有規(guī)律也有依據(jù)，這個依據(jù)便是基本幾何模型，所以挖掘條件，分解圖形，找到復雜圖形中隱含的幾何模型，是解決幾何問題的基本思路. 對于教師而言，在教學中應滲透模型思想，力爭讓學生發(fā)現(xiàn)圖形的美，發(fā)現(xiàn)數(shù)學的美，攻克數(shù)學問題，從而愛上數(shù)學.