【摘要】本文介紹了數(shù)學(xué)美的基本特征，并結(jié)合《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課的教學(xué)實(shí)踐，論述了在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何挖掘數(shù)學(xué)美的特征進(jìn)行美學(xué)教育。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué) 美學(xué)教育

【中圖分類號】O17 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）39-0131-02

大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，不但是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)工具的主要課程，是學(xué)生培養(yǎng)理性思維的主要載體，而且是學(xué)生接受美感熏陶的一種途徑。如果教師在教學(xué)過程中能經(jīng)常自覺地滲透數(shù)學(xué)美的思想，這對于不斷增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效果是大有裨益的。筆者在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課的教學(xué)實(shí)踐中曾經(jīng)進(jìn)行過一些有益的嘗試，收到了很好的教學(xué)效果。

一、數(shù)學(xué)美的基本特征

數(shù)學(xué)美是一種科學(xué)美，我國著名數(shù)學(xué)家徐利治教授指出：“作為科學(xué)語言的數(shù)學(xué)，具有一般語言文學(xué)和藝術(shù)所共有的特點(diǎn)，即數(shù)學(xué)在其內(nèi)容、結(jié)構(gòu)和方法上也都具有自身的某種美，即所謂數(shù)學(xué)美。數(shù)學(xué)美的含義是豐富的，數(shù)學(xué)概念的簡潔性、統(tǒng)一性，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性、對稱性，數(shù)學(xué)命題和模型的概括性、典型性和普遍性，還有數(shù)學(xué)中的奇異性都是數(shù)學(xué)美的具體內(nèi)容”。這段話是對數(shù)學(xué)美內(nèi)容和形式的精辟論述，統(tǒng)一性、對稱性、簡潔性和奇異性可以看成是數(shù)學(xué)美的基本特征。

1.數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美

數(shù)學(xué)美的統(tǒng)一性，是指數(shù)學(xué)中部分與部分、部分與整體之間的和諧一致。數(shù)與形本是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)獨(dú)立的對象，對它們的研究，分別構(gòu)成了代數(shù)與幾何。然而通過坐標(biāo)系的建立，使點(diǎn)與數(shù)建立了對應(yīng)，從而把代數(shù)研究的對象與幾何研究的對象——方程與曲線聯(lián)系了起來，實(shí)現(xiàn)了統(tǒng)一。

從數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律來看，數(shù)學(xué)的發(fā)展將日益證明數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性。為了使龐大的數(shù)學(xué)體系變得簡單而精確，數(shù)學(xué)家們經(jīng)常依據(jù)數(shù)學(xué)各領(lǐng)域的共性，提出統(tǒng)一數(shù)學(xué)各部分的新觀點(diǎn)、新理論。公理化方法、結(jié)構(gòu)思想就是從統(tǒng)一性目標(biāo)出發(fā)而提出的建立數(shù)學(xué)體系的方法。

2.數(shù)學(xué)的對稱美

大自然以對稱方式構(gòu)造了人，給人自身的美的啟迪。籍此，人們發(fā)現(xiàn)了一切生物界的對稱結(jié)構(gòu)及至天體和大自然中的種種對稱結(jié)構(gòu)，進(jìn)而對稱概念上升為一個(gè)哲學(xué)范疇受到青睞，且促使人們藝術(shù)的潛心研究，創(chuàng)造了越來越多的對稱。

在數(shù)學(xué)中，對稱概念被嚴(yán)格化、形式化了，從而更加展示了它的美。具有對稱性的對象常常具有更多更美的性質(zhì)，從而更加吸引數(shù)學(xué)愛好者。特別值得一提的是：對稱性常常給我們帶來計(jì)算和證明數(shù)學(xué)問題中的許多方便和簡單。

3.數(shù)學(xué)的簡潔美

所謂數(shù)學(xué)美的簡潔性，按其內(nèi)涵有些類似于一般藝術(shù)欣賞中所說的淺易美。英國學(xué)者威廉·奧卡姆認(rèn)為在諸多理論中最簡單的那個(gè)理論，即是最美的理論，而美的理論才能在競爭中取勝。伽利略說過：“數(shù)學(xué)是上帝來描述大自然的音符。”的確，數(shù)學(xué)語言本身就十分優(yōu)美，不可用別的語言來代替。哲學(xué)家也承認(rèn)，世界上沒有任何一種語言比數(shù)學(xué)語言來得更為簡潔而確切。如牛頓的力學(xué)定律、電磁場的麥克思韋方程、愛因斯坦的相對論公式等等，就其描述的自然規(guī)律是何等的深刻、重要而復(fù)雜，但它的數(shù)學(xué)表達(dá)式又是何等的簡潔！這正是數(shù)學(xué)語言簡潔美的精彩表現(xiàn)。

4.數(shù)學(xué)的奇異美

數(shù)學(xué)美的奇異性特征，即在于“新”與“奇”。它正好迎合于人們在藝術(shù)欣賞和科學(xué)探索中求新求異的心理意境。奇異有時(shí)也近乎荒誕，因而奇異性與通常藝術(shù)欣賞中所說的荒誕美、滑稽美有些類似。因?yàn)槠娈愔?，容易使人產(chǎn)生崇高感，在數(shù)學(xué)中對于新奇的領(lǐng)域和新奇的問題，也可以使數(shù)學(xué)家產(chǎn)生一種神秘莫測的美感。

奇異是一種美，奇異到極度更是一種美，在某種意義上，數(shù)學(xué)中的和諧性與奇異性是世界的統(tǒng)一性和多樣性在數(shù)學(xué)中的反映?？陀^世界表現(xiàn)為統(tǒng)一性與多樣性的統(tǒng)一，而數(shù)學(xué)則是和諧性與奇異性的統(tǒng)一。數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在驅(qū)動力之一。就數(shù)學(xué)中的奇異性而言，其中頗有一些“意料之外，情理之中”的意味。生活經(jīng)驗(yàn)也告訴我們，凡是新而不平常的東西，總能在人們的心靈深處感受到一種愉悅的驚奇。同時(shí)，人們的好奇心也得到了一定程度上的滿足。如果在學(xué)習(xí)中能引發(fā)起學(xué)生的這種好奇心，那么就能極大地提高學(xué)習(xí)的效率。

二、在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行美學(xué)教育

在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)美審美教學(xué)，應(yīng)當(dāng)與數(shù)學(xué)的理論教學(xué)及能力培養(yǎng)相結(jié)合，充分揭示數(shù)學(xué)美的特征，把數(shù)學(xué)美的教育滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)過程中去，寓教于樂，使學(xué)生在潛移默化之中獲得美的修養(yǎng)。

1.揭示統(tǒng)一美，使學(xué)生知識系統(tǒng)化

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的思維程序紊亂現(xiàn)象較為普遍。不少學(xué)生習(xí)慣于用單一的、孤立的方式思考問題，不善于將已學(xué)過的知識歸納整理，形成知識系統(tǒng)，往往滿足于會解某些類型的題目，忽視進(jìn)一步的概括綜合和挖掘提煉，缺少從整體上把握內(nèi)容的有效方法。教師如能努力挖掘教材中的潛在因素，充分展示數(shù)學(xué)美的統(tǒng)一性特征，有利于學(xué)生形成良好的知識結(jié)構(gòu)。如在講解概率的定義時(shí)，概率定義的基礎(chǔ)是隨機(jī)試驗(yàn)中頻率的穩(wěn)定性，清楚頻率與概率的關(guān)系對理解概率論與客觀實(shí)踐的聯(lián)系十分重要。進(jìn)一步，又給出了概率論公理化定義，這個(gè)公理化結(jié)構(gòu)綜合了前人的成果，明確定義了基本概念，使概率論作為一門數(shù)學(xué)的分支理論更加嚴(yán)謹(jǐn)。

對數(shù)學(xué)教學(xué)中的許多問題，教師應(yīng)適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)一概括，這樣不僅可以濃縮內(nèi)容，而且易于解決相應(yīng)復(fù)雜的問題。數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)通過揭示數(shù)學(xué)美的統(tǒng)一性特征，使學(xué)生在頭腦中建立“知識鏈”，形成知識網(wǎng)絡(luò)，使學(xué)生學(xué)會整理知識的方法；引導(dǎo)學(xué)生體會并理解數(shù)學(xué)在各分支間的統(tǒng)一美，提高思維的概括性以及綜合運(yùn)用知識的能力。

2.展示對稱美，消除思維定勢的影響

例如事件的運(yùn)算滿足對偶律，它蘊(yùn)含著豐富的美學(xué)因素，A∪B=A∩B，A∩B=A∪B。任何事物的對稱本身就已有了美的神韻，從對偶律公式外表來看，它就給人一種美的享受。

教學(xué)中不僅要讓學(xué)生領(lǐng)略這種對稱美，更重要的是讓學(xué)生自覺地運(yùn)用對稱性質(zhì)解決某些具體問題，以提高分析問題的能力。再如，設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3，4），則使P（X>a）=P（X

在教學(xué)中教師挖掘數(shù)學(xué)美的對稱性特征，對學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法和訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性，消除思維定勢的影響，會起到重要作用。目前，數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的不注意學(xué)生思維過程，不注意知識的發(fā)生和發(fā)展過程，而一味要學(xué)生背題型、套方法的“題型數(shù)學(xué)”，嚴(yán)重阻礙對學(xué)生思維靈活性的培養(yǎng)。因此，讓學(xué)生樹立對稱美的意識，教會學(xué)生從對立的觀點(diǎn)去思考 問題，在思維方向的選擇上，既會順向，又會逆向，靈活運(yùn)用，具有重要意義。

3.追求簡潔美、培養(yǎng)思維靈活性

簡潔性這一數(shù)學(xué)美的特征要求人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，把握事物的主要矛盾，把握事物內(nèi)部最簡單最基本的聯(lián)系。而思維的靈活性是指在學(xué)習(xí)過程中，不糾纏于事物的表面現(xiàn)象，能有意識地從本質(zhì)上和整體上看問題，注意從事物之間的聯(lián)系和矛盾上來理解事物的本質(zhì)，克服和減少思維的片面性和絕對化。教師在教學(xué)中揭示數(shù)學(xué)的簡潔美特征，能夠促進(jìn)學(xué)生思維靈活性與深刻性的發(fā)展。

例1：設(shè)的（X，Y）聯(lián)合概率密度為

f（x，y）=24（1-x）y，0

求E（X），D（X），E（Y），D（Y）。

如果先求出X與Y的邊緣密度，再求數(shù)學(xué)期望和方差就比較麻煩，如注意到對于二維連續(xù)型隨機(jī)變量，直接利用聯(lián)合概率密度計(jì)算各分量的數(shù)學(xué)期望和方差則較簡便。

4.尋覓奇異美，培養(yǎng)創(chuàng)造能力

數(shù)學(xué)教學(xué)中教師挖掘奇異美應(yīng)與培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性結(jié)合起來。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，雖然不一定能提出新的科學(xué)概念或發(fā)現(xiàn)新的理論，但所學(xué)的知識對于學(xué)生來說都是嶄新的、首次遇到的，從這個(gè)意義上說，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中是會有創(chuàng)造思維活動的。

例2：一本500頁的書中，共有100個(gè)錯(cuò)誤，假設(shè)每個(gè)錯(cuò)誤等可能地出現(xiàn)在每一頁上，試求：

（1）指定的頁上恰有3個(gè)錯(cuò)誤的概率；

（2）指定的頁上至少有1個(gè)錯(cuò)誤的概率。

本題直接用二項(xiàng)分布b（n，p）計(jì)算比較繁瑣，注意到當(dāng)n很大，p很小，而乘積λ=np大小適中時(shí)，可以用泊松分布π（λ）近似代替二項(xiàng)分布b（n，p），從而簡化計(jì)算。

新奇才有藝術(shù)，“未曾料到”才引人入勝，這也是數(shù)學(xué)的魅力，數(shù)學(xué)的美。數(shù)學(xué)美的內(nèi)涵是豐富多彩的，但數(shù)學(xué)美的諸方面應(yīng)互相結(jié)合，只要在教學(xué)中努力挖掘數(shù)學(xué)美的特征，著意培養(yǎng)學(xué)生的美感，必能收到良好的審美教育效果。此外，在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)美的教育，教師本人的審美能力與美學(xué)修養(yǎng)也很重要。教學(xué)中教師的精煉語言，精辟的分析，生動的表達(dá)，巧妙的啟發(fā)，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评恚v究的板書等等，都是學(xué)生學(xué)習(xí)審美的榜樣。

參考文獻(xiàn)：

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[2]李英英等.概率統(tǒng)計(jì)思想方法與解題研究[M].北京：天津大學(xué)出版社，2005.

作者簡介：

丁?。?961-），男，遼寧沈陽人，沈陽師范大學(xué)副教授，碩士，研究方向：矩陣計(jì)算及其應(yīng)用。