摘 要：向量知識(shí)在高中數(shù)學(xué)中有著獨(dú)特的地位，它是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)獨(dú)立知識(shí)點(diǎn)，與此同時(shí)還是許多其他知識(shí)點(diǎn)的解題工具。而對(duì)于向量知識(shí)的工具性研究探討是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)重要部分。本文就數(shù)學(xué)中向量知識(shí)的工具性進(jìn)行研究解說，希望對(duì)于高中數(shù)學(xué)的教育事業(yè)提供一定的參考意義。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；向量知識(shí)；工具性

高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是一個(gè)完整體系的構(gòu)建學(xué)習(xí)，因此其中的各部分知識(shí)點(diǎn)具備一定的聯(lián)系。而向量知識(shí)在高中數(shù)學(xué)中不僅僅是一個(gè)重要的考查知識(shí)點(diǎn)，并且可以用于其他高中數(shù)學(xué)問題的解答與理解中，對(duì)于提高高中學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與拓展學(xué)生數(shù)學(xué)思維有著很大幫助。

（一） 向量工具性概述

向量概念具備代數(shù)意義，也就是他的絕對(duì)長(zhǎng)度，又稱為向量的模，可以用一個(gè)有序數(shù)組來表示，并且還具有具體的幾何意義，無論是平面幾何還是立體幾何中，都可以尋找到向量的概念，利用具體的線段代表向量的具體意義，因此可以用于溝通代數(shù)問題與幾何問題，并且通過利用向量工具將數(shù)與形結(jié)合起來，為學(xué)生提供一種新的解題思維。

（二） 向量工具性實(shí)例講解

1. 向量工具性在解決代數(shù)問題中的應(yīng)用體現(xiàn)

代數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，它的內(nèi)容占據(jù)了很大的比例，主要包括數(shù)列、三角函數(shù)、統(tǒng)計(jì)與概率、導(dǎo)數(shù)與極限、方程等問題。這一類問題主要有幾類。

第一，最值的求解：如果實(shí)數(shù) x，y 滿足 x2+y2+xy=1，那么 x + y 的最大值是多少？這一道是高考數(shù)學(xué)題目，具有一定的難度，利用平面幾何知識(shí)解答具有極大的難度，對(duì)這一題的解答需要構(gòu)建向量解決，需要一定的發(fā)散思維。具體構(gòu)建方案不止一種，這里筆者只用一個(gè)解法來講解這一類問題的解決思路，mn≥m·n，對(duì)于這一題而言需要運(yùn)用上述不等式，而m與n是有學(xué)生自行思考構(gòu)造的向量，構(gòu)建的向量方向?yàn)閙·n為x+y的一定倍數(shù)，而mn為x2+y2+xy=1的倍數(shù)，如此可以利用前文中的公式解決這一題，如m為（12x+y，32x），而n 為（1，13）如此可以得到結(jié)論為x+y≥233（x2+y2+xy），由此就可以得到最終結(jié)果為233。如此通過構(gòu)造具體的向量就可以得出學(xué)生想要的結(jié)果。

第二，求解代數(shù)式：在直角三角形ABC 中，D 為三角形斜邊上的中點(diǎn)，P 是線段 CD 的中點(diǎn)，求PA2+PBPC22的值？對(duì)于這一問題需要理解題目中給出的公式的具體意義理解。但是乍一看難以理解，這里需要理解PA2=PA2，而可以將PA理解為向量，則可以將向量以其他向量表示如PA=PC+CA，利用這一公式對(duì)于所求式子進(jìn)行改編后，可得16PC2-8PC2+2PC2PC2，由此可以求得最終結(jié)果為10.這一類問題的求解主要在于將式子中的代數(shù)式利用向量方法與幾何圖像進(jìn)行對(duì)接理解，更進(jìn)一步進(jìn)行計(jì)算。這一道題的解答較為簡(jiǎn)單，在題目中對(duì)于代數(shù)式有直接的提示，而更加高難度的問題中會(huì)將需要求的代數(shù)式隱藏起來，需要學(xué)生利用自己學(xué)過的知識(shí)去解決，需要學(xué)生冷靜分析。

2. 向量工具性在解決幾何問題中的應(yīng)用體現(xiàn)

幾何問題占據(jù)了高中數(shù)學(xué)的重要部分，主要有兩個(gè)部分，平面幾何與立體幾何，而利用向量工具可以較好地理解分析這些問題。

第一，解決平面幾何問題：向量解決平面幾何問題是非常常規(guī)的做法，最為典型的是解決角度問題其中有一個(gè)三角形ABC，D點(diǎn)在BC上，BD=12DC，∠ADC=120°，AD = 2，如果三角形ADC的面積是 3-3，那么∠BAC是多少度？對(duì)于這一題，需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合知識(shí)，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題可以見到利用三角形的面積公式，即S=AB×AC/2，再加上將三角形中的各個(gè)邊轉(zhuǎn)化為向量形式即可求出結(jié)果。此外還可能變化考察形式，要求判斷是否是特殊三角形，如等腰三角形、直角三角形，這一類問題通常出現(xiàn)在高考的選擇填空中，難度雖然不大，但是需要快速解決。例如：已知O為三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，其中OB-OC=OB+OC-2OA，那么三角形ABC是個(gè)什么三角形？這里可以通過對(duì)于問題給出的向量公式，通過轉(zhuǎn)化得出結(jié)論AB-AC=AB+AC，這是矩形對(duì)角線的向量表達(dá)形式，則我們就要知道這個(gè)三角形是一個(gè)直角三角形。

第二，解決立體幾何問題：在立體幾何問題解答過程中，由于線面關(guān)系難以直接得到，向量解決方法極為常見。利用向量知識(shí)可以將抽象的幾何問題具象為學(xué)生熟悉的代數(shù)問題。例如 以 2012 年福建省理科高考數(shù)學(xué)第 18 題為例：如長(zhǎng)方體 ABCD - A′ B ′C′ D′，其中 AA′ = AD = 1，E是CD 的中點(diǎn)，求證：BA ⊥AD。由于各線之間的關(guān)系難以從幾何圖像中直接判斷，利用向量知識(shí)可以更加直接地解答，選擇點(diǎn)A為坐標(biāo)系原點(diǎn)，沿著長(zhǎng)方形的各邊做坐標(biāo)軸，將每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)做出，就可以簡(jiǎn)單得到向量的代數(shù)式，解答這一類問題。除了線與線之間的關(guān)系求解，這非常直接，較為難一點(diǎn)的如面與面之間的關(guān)系求解，平行或者垂直，也可以利用面的垂線向量來解答，利用垂線關(guān)系來得出面面關(guān)系，這些雖然具有一定的難度，但是依舊是學(xué)生需要熟悉掌握的基礎(chǔ)解法。

向量問題的解答極為靈活多變，并且與其他部分的數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)解答關(guān)系緊密，需要教師高度重視，加強(qiáng)教學(xué)過程中與其他相關(guān)部分的講解。在實(shí)際的教學(xué)中，不僅僅要在向量知識(shí)的講解中介紹其他知識(shí)的相關(guān)運(yùn)用，在代數(shù)、幾何知識(shí)的講解中，也要向?qū)W生介紹拓展向量解法，幫助學(xué)生更好的解答復(fù)雜的問題，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，學(xué)生可以利用更多方法解答遇到的問題，不僅僅是數(shù)學(xué)成績(jī)的提高，更加是個(gè)人素養(yǎng)的提升。

參考文獻(xiàn)：

[1]朱國(guó)輝.高中數(shù)學(xué)向量知識(shí)的工具性研究[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（教研版），2017（9）.

[2]戴逸凡.例談向量在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)：教師通訊，2016（20）.

[3]王霞瑤.例談向量在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究，2016（7）：28-29.

作者簡(jiǎn)介：

張濤生，福建省龍巖市，連城一中。