雷黃蕊?邱杰

摘要：可逆矩陣在矩陣?yán)碚撝姓加蟹浅Ｖ匾牡匚?。本文通過(guò)探討矩陣可逆的推廣以及在線性方程組中的應(yīng)用，為以后學(xué)者關(guān)于可逆矩陣的研究奠定了基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：可逆矩陣；推廣；應(yīng)用

一、可逆矩陣的推廣——廣義逆

考慮非齊次線性方程組：Ax=b（1.1）

其中A∈Cm×n，b∈Cm給定，而x∈Cn為待定向量，如果存在向量x使方程組（4.1）成立，則稱方程組相容，否則稱為不相容或矛盾方程組。

關(guān)于方程組求解問(wèn)題，常見(jiàn)的有以下幾種情況

方程組（1.1）相容時(shí)，求出其通解；

如果方程組相容，其解可能有無(wú)窮多個(gè)，求出具有極小范數(shù)的解，即（1.2）

其中為歐氏范數(shù)，滿足該條件的解是唯一的，稱為極小范數(shù)解。

如果方程組（1.1）不相容，則不存在通常意義下的解，但在許多實(shí)際問(wèn)題中，需要求出極值問(wèn)題

（1.3）

的解x，其中為歐氏范數(shù)，稱這個(gè)極值問(wèn)題為求矛盾方程組的最小二乘問(wèn)題，相應(yīng)的x稱為矛盾方程組的最小二乘解。

一般說(shuō)來(lái)，矛盾方程組的最小二乘解也不是唯一的，但在最小二乘解的集合中，具有極小范數(shù)的解

（1.4）

是唯一的，稱之為極小范數(shù)最小二乘解。

廣義逆矩陣與線性方程組的求解有著極為密切的關(guān)系，利用廣義逆矩陣可以求出上述諸多問(wèn)題的解。

二、逆矩陣在線性方程組中的應(yīng)用——相容方程組的求解

對(duì)于線性方程組（1.1），若系數(shù)矩陣A非奇異，則x=A-1b就是方程組的唯一解，但當(dāng)A是奇異方陣或長(zhǎng)方矩陣時(shí)，它的逆不存在或無(wú)意義，但是我們可以利用廣義逆矩陣來(lái)求方程組的解。

定理1.1 線性方程組（1.1）相容的充要條件是AA（1）b=b（1.5）

且其通解為x=A（1）b+（In-A（1）A）y（1.6）

其中y∈Cn任意。

證明：若方程組（1.1）相容，則設(shè)x是方程組的任意解，有

b=Ax=AA（1）Ax=AA（1）b，

反之，若AA（1）b=b，則A（1）b顯然就是方程組的解，所以，線性方程組（1.1）相容的充要條件是AA（1）b=b.

當(dāng)方程組（1.1）相容時(shí)，顯然

Ax=AA（1）b（In-A（1）A）y=b，

即式（1.6）是方程組的解。

設(shè)x是方程組的任意解，則x=A（1）b+（In-A（1）A）x是方程組的解，因此，方程組的任意解都可以改寫(xiě)成式（1.6）的形式，所以，式（1.6）是方程組（1.1）的通解。

定理1.2 相容方程組（1.1）的極小范數(shù)解唯一，且這個(gè)唯一解在R（AE）中。

證明： 設(shè)Ax=b的極小范數(shù)解為x0，假設(shè)x0∈R（AH），

則由，

知x0=y0+y1，y0∈R（AH），y1∈N（A）且y1≠0，

于是‖x0‖2=‖y0‖2+‖y1‖2>‖y0‖2，

與x0時(shí)方程組的極小范數(shù)解矛盾，所以，假設(shè)不成立，極小范數(shù)解在R（AH）中。

若y0∈R（AH）且Ay0=b，

則A（x0-y0）=Ax0-Ay0=0，

即x0-y0∈N（A）=R┻（AH），又x0-y0∈R（AH），

故x0-y0∈R（AH）∩R┻（AH），

即x0x0-y0y0，所以，極小范數(shù)解唯一。

定理1.3 設(shè)方程組（1.1）相容，則

x=A（1，4）b

是極小范數(shù)解，其中A（1，4）∈A{1，4}.

證明： 方程組（1.1）相容，則b∈R（A），由定理1.1知，對(duì)任意的A（1，4）∈A{1，4}，x=A（1，4）b都是方程組的解，由b∈R（A），則存在u∈Cn使b=Au，

所以A（1，4）b=A（1，4）Au=（A（1，4）A）HuR（AH），

根據(jù)定理1.2，x=A（1，4）b是方程組（4.1）的唯一極小范數(shù)解。

結(jié)語(yǔ)

本文主要討論了可逆矩陣的推廣以及在線性方程中的應(yīng)用.計(jì)算機(jī)中在處理大的數(shù)據(jù)時(shí)，常運(yùn)用Matlab計(jì)算方法得出我們需要的結(jié)果，避免了在數(shù)學(xué)計(jì)算中的復(fù)雜性，這給矩陣?yán)碚摰纳钊胙芯亢蛯?shí)際應(yīng)用提供了發(fā)展空間，同時(shí)也需要我們進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和探究。

參考文獻(xiàn)：

[1]王龍，荊澤泉，王為. 可逆矩陣加密算法初步研究與應(yīng)用設(shè)計(jì)[J]. 數(shù)字技術(shù)與應(yīng)用，2012，09：111-112.

[2]姜同松. 矩陣的表示理論及其在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用[D].華東師范大學(xué)，2003.

作者簡(jiǎn)介：

雷黃蕊（1995年—），女，四川成都人，碩士，成都理工大學(xué)管理科學(xué)學(xué)院，研究方向：計(jì)算數(shù)學(xué)。

邱杰（1992年—），女，四川攀枝花人，碩士，成都理工大學(xué)管理科學(xué)學(xué)院，研究方向：科學(xué)計(jì)算與算法分析。