祁國(guó)敏

摘要：數(shù)學(xué)多元表征就是指同一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的言語(yǔ)化表征、視覺(jué)化表征、操作化表征等多種外在表征形式。在研究中，言語(yǔ)化表征主要是指：口頭語(yǔ)言、書(shū)面語(yǔ)言、形式化的符號(hào)語(yǔ)言等；視覺(jué)化表征主要是指：教具模型、實(shí)物情景、形態(tài)手勢(shì)、圖形、圖表、圖像、組織結(jié)構(gòu)圖等；操作化表征是指：學(xué)生自己動(dòng)手操作的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、日常生活實(shí)踐、教師有目的地組織體驗(yàn)等活動(dòng)。數(shù)學(xué)教學(xué)中往往需要借助多元表征來(lái)提高小學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；多元表征；理解力

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2018）04-0113

在日常教學(xué)中，有些概念看似很簡(jiǎn)單，生活中很常見(jiàn)，或者一道數(shù)量關(guān)系并不復(fù)雜的問(wèn)題，教師在課堂上反反復(fù)復(fù)說(shuō)了很多遍，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中依然似懂非懂，最后，有些教師沒(méi)辦法了，就強(qiáng)行學(xué)生進(jìn)行模仿或者大量的機(jī)械訓(xùn)練從而達(dá)到正確解決問(wèn)題的目的。如此的教學(xué)，從學(xué)習(xí)心理學(xué)角度，教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生并沒(méi)有從認(rèn)知的本質(zhì)角度去理解知識(shí)，更談不上利用自己已有的信息去主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)；從課堂效益角度，這樣的課堂顯然是低效的，學(xué)生思維發(fā)展的空間受到極大的抑制，無(wú)法生成學(xué)生自己的數(shù)學(xué)智慧。

研究顯示，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解大體上經(jīng)歷了經(jīng)驗(yàn)型認(rèn)識(shí)階段、形式化認(rèn)識(shí)階段、關(guān)系型認(rèn)識(shí)階段和觀念型認(rèn)識(shí)階段4個(gè)層次水平。也可用以下數(shù)學(xué)理解層次模型來(lái)描述學(xué)習(xí)者數(shù)學(xué)理解逐步深入的過(guò)程。

在教學(xué)中在查閱文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)多元表征能幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)理解力。多元表征是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的各種不同具體形式，內(nèi)在表征是學(xué)生對(duì)外在表征內(nèi)化的各種心智表征。外在表征與內(nèi)在表征之間存在著密切關(guān)聯(lián)，外在表征的形式與結(jié)構(gòu)深刻影響著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解，內(nèi)在表征的水平影響外在表征的內(nèi)化程度。

一、借助多元表征提高學(xué)生對(duì)數(shù)感的認(rèn)識(shí)的方法

數(shù)感是小學(xué)生必須具備的數(shù)學(xué)能力之一，是指數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。良好的數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。數(shù)感是對(duì)數(shù)的一種感悟，它不會(huì)像知識(shí)、技能的習(xí)得那樣立竿見(jiàn)影，它需要在教學(xué)中潛移默化，積累經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷一個(gè)建立、發(fā)展、感悟的過(guò)程。為此，在日常教學(xué)中幫助學(xué)生建立良好的數(shù)感十分重要。

比如在一年級(jí)《數(shù)字規(guī)律》這一課中，這節(jié)課的數(shù)學(xué)本質(zhì)就是發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。對(duì)于一年級(jí)的學(xué)生來(lái)講，如何更好地理解“數(shù)感”這一抽象的數(shù)學(xué)概念，無(wú)疑借助多元表征，幫助學(xué)生感悟數(shù)感將會(huì)是一個(gè)非常好的教學(xué)手段。

上課伊始，筆者創(chuàng)設(shè)了這樣一個(gè)情境：小兔子在家玩拼圖形的游戲。

然后問(wèn)學(xué)生：小兔子這幾次拼的圖形一樣嗎？有什么變化？大部分同學(xué)的第一反映都是直觀的看出拼的圖形也越來(lái)越多了。少部分同學(xué)能夠關(guān)注到正方形的個(gè)數(shù)，當(dāng)學(xué)生關(guān)注到正方形的個(gè)數(shù)的時(shí)候，筆者會(huì)帶著學(xué)生數(shù)一數(shù)，讀一讀。這一環(huán)節(jié)主要是通過(guò)圖形表征、語(yǔ)言表征使學(xué)生對(duì)數(shù)列的規(guī)律有一個(gè)初步的感悟。接著讓學(xué)生通過(guò)不同的表征形式把自己所理解的多3表示出來(lái)?？梢匀σ蝗?、涂一涂、寫(xiě)一寫(xiě)、算一算。在這里面學(xué)生的理解水平也是不同的。

水平1：只能在圖中圈出多3。

水平2：能在圖中和數(shù)列中找到3，但表達(dá)不清、不全。

水平3：能在圖中和數(shù)列中找到3，并清楚準(zhǔn)確表達(dá)出來(lái)。

水平4：能在圖中和數(shù)列中找到3，并清楚準(zhǔn)確表達(dá)出來(lái)，能比較清楚地加以概括。

當(dāng)學(xué)生通過(guò)不同的表征形式找到這列數(shù)的規(guī)律后，教師組織學(xué)生大聲的朗讀規(guī)律，分組讀、重點(diǎn)讀，幫助學(xué)生更加深刻地記憶變化數(shù)列中不變的規(guī)律，潛移默化的發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。

二、借助多元表征理解數(shù)學(xué)概念的方法

數(shù)學(xué)概念揭示物質(zhì)的本質(zhì)、屬性與共同特征，具有抽象性、復(fù)雜性、嚴(yán)密性，并蘊(yùn)含著豐富的內(nèi)涵，具有固定和同化新知識(shí)的功能。一切的數(shù)學(xué)規(guī)則的研究、表達(dá)與應(yīng)用都離不開(kāi)數(shù)學(xué)概念，它是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是學(xué)生計(jì)算能力提高，空間觀念形成，思維能力發(fā)展的前提和重要保證。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程就是一個(gè)不斷運(yùn)用數(shù)學(xué)概念進(jìn)行比較、分析、綜合、概括、判斷、推理的思維過(guò)程。因此數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，有著極其重要的地位。

《有余數(shù)的除法》是一節(jié)概念教學(xué)的課。概念教學(xué)不僅要幫助學(xué)生建立概念的多元表征，而且要根據(jù)需要與情境在外在表征的不同成分之間做出靈活的轉(zhuǎn)換。

在教學(xué)中，教師是借助動(dòng)作、語(yǔ)言、符號(hào)等多種表征方式之間的轉(zhuǎn)化來(lái)幫助學(xué)生理解余數(shù)及有余數(shù)除法的含義的。

本節(jié)課中，以學(xué)生熟悉的用小棒擺圖形的情境引入新課并把這個(gè)活動(dòng)貫穿始終。教學(xué)中，每組學(xué)生拿到的小棒根數(shù)是不同的，有10根的、11根的和12根的。學(xué)生通過(guò)小組分工來(lái)擺圖形，擺完后和小組交流自己用了幾根小棒擺了什么圖形，有沒(méi)有剩余。在這一環(huán)節(jié)，學(xué)生主要是通過(guò)動(dòng)作表征和語(yǔ)言表征來(lái)初步感受余數(shù)的含義。

接著在分組匯報(bào)階段，主要分了三個(gè)層次。

第一個(gè)層次是用10根小棒擺圖形的同學(xué)，邊擺邊說(shuō)。用10根小棒擺圖形時(shí)，如果擺五邊形，小棒正好用完，沒(méi)有剩余。

第二個(gè)層次是讓用12根小棒擺圖形的同學(xué)交流匯報(bào)。學(xué)生在交流的過(guò)程中，通過(guò)語(yǔ)言描述自己的操作過(guò)程。

第三個(gè)層次是用11根小棒擺圖形的同學(xué)進(jìn)行匯報(bào)。

當(dāng)三組同學(xué)都匯報(bào)完以后，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)擺圖形的結(jié)果進(jìn)行分類(lèi)。因?yàn)橛辛饲懊娴膶W(xué)習(xí)基礎(chǔ)，學(xué)生很自然的分成兩類(lèi)，一類(lèi)正好分完，沒(méi)有剩余。一類(lèi)有剩余。當(dāng)學(xué)生通過(guò)操作表征擺了圖形，借助語(yǔ)言表征描述擺圖形的過(guò)程以后，進(jìn)入到算式表征。當(dāng)學(xué)生用除法算式表達(dá)完自己的想法以后，追問(wèn)：“為什么用除法計(jì)算呢？”因?yàn)槭瞧骄?，揭示了本?jié)課的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

這樣通過(guò)構(gòu)建圖形、語(yǔ)言、符號(hào)三種表征之間的聯(lián)系，多種表征之間相互轉(zhuǎn)換，幫助學(xué)生理解余數(shù)及有余數(shù)除法的含義。

三、借助多元表征幫助學(xué)生理解算理的方法

長(zhǎng)期以來(lái)，在應(yīng)試的背景下，數(shù)學(xué)教學(xué)往往偏重于以達(dá)到立竿見(jiàn)影的顯性效果為目的的熟練性訓(xùn)練（如題型的強(qiáng)化訓(xùn)練），而忽略促使學(xué)生生動(dòng)活潑地學(xué)習(xí)與發(fā)展的長(zhǎng)效性目標(biāo)。特別是在計(jì)算教學(xué)中，教師往往是通過(guò)大量的練習(xí)來(lái)幫助學(xué)生掌握算法，而忽視了計(jì)算的真諦——算理的理解。

以《兩位數(shù)加一位數(shù)進(jìn)位加法》為例，本節(jié)課為了幫助學(xué)生理解算理，筆者不僅為他們提供了小棒，這一他們非常熟悉的學(xué)習(xí)工具，還提供了方格紙?？此坪?jiǎn)單的兩種學(xué)具的介入，實(shí)際上是在向?qū)W生滲透學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法。而計(jì)算方法的多樣，使學(xué)生的思維處于活躍的狀態(tài)，并且計(jì)算方法是學(xué)生通過(guò)操作得到的，而不是教師填鴨式地講授，學(xué)生機(jī)械的記憶，這樣的學(xué)習(xí)為后續(xù)學(xué)習(xí)兩位數(shù)加兩位數(shù)的計(jì)算積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)獨(dú)立探究和遷移。

總之，多元表征對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解是重要的。視覺(jué)化多元表征，如果不配合強(qiáng)有力的教學(xué)設(shè)計(jì)或教學(xué)提示，內(nèi)化表征的生成，也會(huì)大打折扣。數(shù)學(xué)理解離不開(kāi)多元表征的學(xué)習(xí)，更離不開(kāi)多元表征的教學(xué)，使得“教學(xué)多元表征有效地轉(zhuǎn)化為學(xué)生內(nèi)在的多元表征，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)”。

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（作者單位：北京市京源學(xué)校小學(xué)部 100000）