祁國敏

摘要：數(shù)學多元表征就是指同一數(shù)學學習對象的言語化表征、視覺化表征、操作化表征等多種外在表征形式。在研究中，言語化表征主要是指：口頭語言、書面語言、形式化的符號語言等；視覺化表征主要是指：教具模型、實物情景、形態(tài)手勢、圖形、圖表、圖像、組織結(jié)構(gòu)圖等；操作化表征是指：學生自己動手操作的數(shù)學實驗、日常生活實踐、教師有目的地組織體驗等活動。數(shù)學教學中往往需要借助多元表征來提高小學生的數(shù)學理解能力。

關鍵詞：數(shù)學；多元表征；理解力

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）04-0113

在日常教學中，有些概念看似很簡單，生活中很常見，或者一道數(shù)量關系并不復雜的問題，教師在課堂上反反復復說了很多遍，學生在學習過程中依然似懂非懂，最后，有些教師沒辦法了，就強行學生進行模仿或者大量的機械訓練從而達到正確解決問題的目的。如此的教學，從學習心理學角度，教師發(fā)現(xiàn)學生并沒有從認知的本質(zhì)角度去理解知識，更談不上利用自己已有的信息去主動建構(gòu)知識；從課堂效益角度，這樣的課堂顯然是低效的，學生思維發(fā)展的空間受到極大的抑制，無法生成學生自己的數(shù)學智慧。

研究顯示，對數(shù)學知識的理解大體上經(jīng)歷了經(jīng)驗型認識階段、形式化認識階段、關系型認識階段和觀念型認識階段4個層次水平。也可用以下數(shù)學理解層次模型來描述學習者數(shù)學理解逐步深入的過程。

在教學中在查閱文獻的基礎上，發(fā)現(xiàn)多元表征能幫助學生提高數(shù)學理解力。多元表征是數(shù)學學習對象的各種不同具體形式，內(nèi)在表征是學生對外在表征內(nèi)化的各種心智表征。外在表征與內(nèi)在表征之間存在著密切關聯(lián)，外在表征的形式與結(jié)構(gòu)深刻影響著學生對數(shù)學的理解，內(nèi)在表征的水平影響外在表征的內(nèi)化程度。

一、借助多元表征提高學生對數(shù)感的認識的方法

數(shù)感是小學生必須具備的數(shù)學能力之一，是指數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系、運算結(jié)果估計等方面的感悟。良好的數(shù)感有助于學生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關系。數(shù)感是對數(shù)的一種感悟，它不會像知識、技能的習得那樣立竿見影，它需要在教學中潛移默化，積累經(jīng)驗，經(jīng)歷一個建立、發(fā)展、感悟的過程。為此，在日常教學中幫助學生建立良好的數(shù)感十分重要。

比如在一年級《數(shù)字規(guī)律》這一課中，這節(jié)課的數(shù)學本質(zhì)就是發(fā)展學生的數(shù)感。對于一年級的學生來講，如何更好地理解“數(shù)感”這一抽象的數(shù)學概念，無疑借助多元表征，幫助學生感悟數(shù)感將會是一個非常好的教學手段。

上課伊始，筆者創(chuàng)設了這樣一個情境：小兔子在家玩拼圖形的游戲。

然后問學生：小兔子這幾次拼的圖形一樣嗎？有什么變化？大部分同學的第一反映都是直觀的看出拼的圖形也越來越多了。少部分同學能夠關注到正方形的個數(shù)，當學生關注到正方形的個數(shù)的時候，筆者會帶著學生數(shù)一數(shù)，讀一讀。這一環(huán)節(jié)主要是通過圖形表征、語言表征使學生對數(shù)列的規(guī)律有一個初步的感悟。接著讓學生通過不同的表征形式把自己所理解的多3表示出來?？梢匀σ蝗?、涂一涂、寫一寫、算一算。在這里面學生的理解水平也是不同的。

水平1：只能在圖中圈出多3。

水平2：能在圖中和數(shù)列中找到3，但表達不清、不全。

水平3：能在圖中和數(shù)列中找到3，并清楚準確表達出來。

水平4：能在圖中和數(shù)列中找到3，并清楚準確表達出來，能比較清楚地加以概括。

當學生通過不同的表征形式找到這列數(shù)的規(guī)律后，教師組織學生大聲的朗讀規(guī)律，分組讀、重點讀，幫助學生更加深刻地記憶變化數(shù)列中不變的規(guī)律，潛移默化的發(fā)展學生的數(shù)感。

二、借助多元表征理解數(shù)學概念的方法

數(shù)學概念揭示物質(zhì)的本質(zhì)、屬性與共同特征，具有抽象性、復雜性、嚴密性，并蘊含著豐富的內(nèi)涵，具有固定和同化新知識的功能。一切的數(shù)學規(guī)則的研究、表達與應用都離不開數(shù)學概念，它是數(shù)學的基礎，是學生計算能力提高，空間觀念形成，思維能力發(fā)展的前提和重要保證。學習數(shù)學的過程就是一個不斷運用數(shù)學概念進行比較、分析、綜合、概括、判斷、推理的思維過程。因此數(shù)學概念的教學是數(shù)學教學的核心，有著極其重要的地位。

《有余數(shù)的除法》是一節(jié)概念教學的課。概念教學不僅要幫助學生建立概念的多元表征，而且要根據(jù)需要與情境在外在表征的不同成分之間做出靈活的轉(zhuǎn)換。

在教學中，教師是借助動作、語言、符號等多種表征方式之間的轉(zhuǎn)化來幫助學生理解余數(shù)及有余數(shù)除法的含義的。

本節(jié)課中，以學生熟悉的用小棒擺圖形的情境引入新課并把這個活動貫穿始終。教學中，每組學生拿到的小棒根數(shù)是不同的，有10根的、11根的和12根的。學生通過小組分工來擺圖形，擺完后和小組交流自己用了幾根小棒擺了什么圖形，有沒有剩余。在這一環(huán)節(jié)，學生主要是通過動作表征和語言表征來初步感受余數(shù)的含義。

接著在分組匯報階段，主要分了三個層次。

第一個層次是用10根小棒擺圖形的同學，邊擺邊說。用10根小棒擺圖形時，如果擺五邊形，小棒正好用完，沒有剩余。

第二個層次是讓用12根小棒擺圖形的同學交流匯報。學生在交流的過程中，通過語言描述自己的操作過程。

第三個層次是用11根小棒擺圖形的同學進行匯報。

當三組同學都匯報完以后，教師引導學生對擺圖形的結(jié)果進行分類。因為有了前面的學習基礎，學生很自然的分成兩類，一類正好分完，沒有剩余。一類有剩余。當學生通過操作表征擺了圖形，借助語言表征描述擺圖形的過程以后，進入到算式表征。當學生用除法算式表達完自己的想法以后，追問：“為什么用除法計算呢？”因為是平均分，揭示了本節(jié)課的數(shù)學本質(zhì)。

這樣通過構(gòu)建圖形、語言、符號三種表征之間的聯(lián)系，多種表征之間相互轉(zhuǎn)換，幫助學生理解余數(shù)及有余數(shù)除法的含義。

三、借助多元表征幫助學生理解算理的方法

長期以來，在應試的背景下，數(shù)學教學往往偏重于以達到立竿見影的顯性效果為目的的熟練性訓練（如題型的強化訓練），而忽略促使學生生動活潑地學習與發(fā)展的長效性目標。特別是在計算教學中，教師往往是通過大量的練習來幫助學生掌握算法，而忽視了計算的真諦——算理的理解。

以《兩位數(shù)加一位數(shù)進位加法》為例，本節(jié)課為了幫助學生理解算理，筆者不僅為他們提供了小棒，這一他們非常熟悉的學習工具，還提供了方格紙?？此坪唵蔚膬煞N學具的介入，實際上是在向?qū)W生滲透學習數(shù)學的方法。而計算方法的多樣，使學生的思維處于活躍的狀態(tài)，并且計算方法是學生通過操作得到的，而不是教師填鴨式地講授，學生機械的記憶，這樣的學習為后續(xù)學習兩位數(shù)加兩位數(shù)的計算積累數(shù)學活動的經(jīng)驗，學會獨立探究和遷移。

總之，多元表征對學生的數(shù)學理解是重要的。視覺化多元表征，如果不配合強有力的教學設計或教學提示，內(nèi)化表征的生成，也會大打折扣。數(shù)學理解離不開多元表征的學習，更離不開多元表征的教學，使得“教學多元表征有效地轉(zhuǎn)化為學生內(nèi)在的多元表征，形成良好的認知結(jié)構(gòu)”。

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（作者單位：北京市京源學校小學部 100000）