荊建春

摘要：在中考?jí)狠S題中，常常遇到一些復(fù)雜的、以幾何圖形為背景的兩個(gè)角的和、差正切值進(jìn)而求解線段長(zhǎng)度或點(diǎn)的坐標(biāo)、位置等問題，三角函數(shù)方法是一種高效地解決此類型問題的方法，為學(xué)生提供了一種自然的解題途徑。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；幾何問題；中考?jí)狠S題

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2018）05-0127

筆者在近些年中考中發(fā)現(xiàn)，直接求兩個(gè)角的和、差正切值或通過求兩個(gè)角的和、差正切值進(jìn)而求解線段長(zhǎng)度或點(diǎn)的坐標(biāo)、位置等問題越來越多，這類題目的特征一般是以幾何圖形為背景， 常規(guī)思路是自然地當(dāng)做一道幾何題目來對(duì)待，考生一般會(huì)選擇添加輔助線，構(gòu)造相似，利用相似比例等解決。事實(shí)上，此類題目難度較大，解題思路的形成到實(shí)施是一件非常難完成的任務(wù)，題目的設(shè)置，正確率非常低。經(jīng)過筆者認(rèn)真研究，找到一種固定的三角函數(shù)法以解決此類型相似的問題，現(xiàn)將研究成果與同仁們分享。

一、預(yù)備知識(shí)

公式1：tan（α+β）=■； 公式2：（特別的），當(dāng)α=β時(shí)，tan2α=■；

我們知道公式1是高中三角函數(shù)中的公式，在高中數(shù)學(xué)中，此公式的推導(dǎo)證明是由公式tan（α+β）=■得出的，是建立在公式sin（α+β）、cos（α+β）的已知基礎(chǔ)上的。

顯然，初中學(xué)生是無法理解此種證明方法的。筆者在課堂上引導(dǎo)學(xué)生通過幾何構(gòu)造的方法，嘗試用tanα，tanβ表示tan（α+β），進(jìn)而得出公式1。學(xué)生推理演算得到公式，比筆者直接給出結(jié)論，學(xué)生死記硬背更有效。這樣不僅可以培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)造或建模思維方式，提高學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也真正拓寬了學(xué)生思路，豐富了學(xué)生的解題方法。

二、例題分析

例1. 已知：如圖1，在RT△ABC中，∠C=90°（為簡(jiǎn)單起見，我們?nèi)　鰾AC為直角三角形），點(diǎn)D為BC邊上的任意一點(diǎn)。

求證：tan∠ADC=■

證明：如圖2，過點(diǎn)D作AB垂線，垂足為E。令DE=a，BE=b，AE=c，AC=d，CD=e，BD=f，由題知△BDE∽△BAC，所以■=■，即■=■，所以e+f=■。由△ABC是RT△，則d2+（e+f）2=（b+c）2，所以d2+■d2=（b+c）2，d=■。又因?yàn)閍2+c2=d2+e2，所以e=■。所以tan∠ADC=tan（α+β）=■=■=■。又因?yàn)閠anα=■，tanβ=■，所以兩角和的正切值可以用可以用這兩個(gè)的正切值表示：tan（α+β）=■。特別的，當(dāng)α=β時(shí)，tan2α=■。同理根據(jù)這種構(gòu)造方法，我們亦可以用兩個(gè)角的正切值表示兩角差的正切值，即tan（α-β）=■。

例2. （湖北·武漢卷）如圖3，PA，PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，交PA，PB于C、D。若⊙O的半徑為r，△PCD的周長(zhǎng)等于3r，則tan∠APB的值是 。

評(píng)析：本題的常規(guī)思路是連結(jié)圓心與一個(gè)切點(diǎn)，并反向延長(zhǎng)與另外一條切線相交，構(gòu)造直角三角形，且通過相似比例求得其中一條直角邊，進(jìn)而求解正切值。圖形較為復(fù)雜，計(jì)算量也較大，教學(xué)中發(fā)現(xiàn)優(yōu)秀的學(xué)生也淺嘗輒止，得分率非常低。

解：連接OA、OB、OP，因?yàn)镻A，PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，所以∠OAP=∠OBP=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB，而△PCD的周長(zhǎng)=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r，可求得PA=PB=■r，所以在RT△APO中，tan∠APO=■=■，根據(jù)∠APB=2∠APO可得，tan∠ABO=■=■。

例3. （內(nèi)蒙古·呼和浩特）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（4，0），B（-6，0），點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠BCA=45°時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 .

評(píng)析：本題難度較大，絕大部分考生沒有任何思路，究其原因是45°角不知如何轉(zhuǎn)化和使用。命題人給出的參考答案是構(gòu)造含有90°圓心角的隱⊙P。如圖5所示，巧妙的利用圓周角的性質(zhì)轉(zhuǎn)化已知條件中45°角，進(jìn)而通過勾股定理解Rt△PFC，但實(shí)際教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)四點(diǎn)共圓，定直（長(zhǎng)或角）隱圓這些拓展知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生很難在緊張的考試中自然地想到。

解：設(shè)∠ACO=α，∠BCO=β，CO=h，所以由題得，tanα=■，tanβ=■，tan∠ACB=tan（α+β）=■=1，即h2-10h-24=0，解得h1=12，h2=-2（舍去）。由題知點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以的坐標(biāo)為（0，12）或（0，-12）。

例4. （陜西卷）如圖7，在每一個(gè)四邊形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12，在四邊形ABCD的邊AD上，是否存在一點(diǎn)P，使得cos∠BPC的值最??？若存在，求出此時(shí)cos∠BPC的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

評(píng)析：本題作為考卷最后一題最后一問，難度非常大。屬于存在性唯一性問題，參考答案的方法是構(gòu)造隱圓，即構(gòu)造△BPC的外接圓O（如圖8），進(jìn)而確定點(diǎn)P的位置，此進(jìn)而求解cos∠BPC的最小值?？忌鎸?duì)復(fù)雜的幾何圖形，無從下手。

解：如圖9所示，存在點(diǎn)P，使得cos∠BPC的值最小，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義知，當(dāng)cos∠BPC最小值時(shí)，即此時(shí)∠BPC最大，也就是tan∠BPC最大，所以考慮轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求解本題。過點(diǎn)P作BC垂線交于點(diǎn)Q，令∠BPQ=α，∠CPQ=β，且BQ=x，則 CQ=12-x（4≤x≤12），則tanα=■，tanβ=■，所以tan∠BPC=tan（α+β）=■=■， 事實(shí)上觀察上面這個(gè)表達(dá)式，我們發(fā)現(xiàn)分母是一個(gè)二次三項(xiàng)式，令函數(shù)y=x2-12x=48（4≤x≤12），此時(shí)問題可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在確定范圍內(nèi)的最小值問題，不難得出，當(dāng)x=6時(shí)函數(shù)有最小值，即此時(shí)tan∠BPC取最大值4■，則此時(shí)cos∠BPC=■。

例5. （浙江·寧波卷）如圖10，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，過M的直線分別交x軸，y軸的正半軸于A，B 兩點(diǎn)，且M是AB的中點(diǎn)，以O(shè)M為直徑的⊙P分別交x軸，y軸于C，D兩點(diǎn)，交直線AB于點(diǎn)E位于點(diǎn)M右下方），連結(jié)DE交OM于點(diǎn)K。設(shè)（0

評(píng)析：本題綜合性非常強(qiáng)，參考答案是設(shè)MK=t，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)，勾股定理用y，t的代數(shù)式分別表示OE，BE，計(jì)算量非常復(fù)雜，解題過程冗長(zhǎng)。教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，對(duì)于參考答案的方法，優(yōu)秀學(xué)生迫于計(jì)算量，放棄研究者較多，更不用說考場(chǎng)上完成了。

解：如圖11，連接DM，過點(diǎn)K作DO的垂線，垂足為點(diǎn)P，根據(jù)題意得DM∥PK，因?yàn)椤?y，所以■=y，我們不妨設(shè)ON=y，DN=1，∠OBA=α，所以∠NOK=α，∠ODK=2α，所以在Rt△NOK中，tan∠NOK=tanα，即■=x。同理在Rt△DNK中，tan∠ODK=tan2α，即■=■，消去NK得y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=■。

綜上所述，三角函數(shù)法為解決復(fù)雜的幾何難題提供了一種可能性，其本質(zhì)是把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解，而代數(shù)方法本身具有方法的固定性、便捷性，適合解決同類型的問題。此類方法的掌握和靈活應(yīng)用，需要考生平日注重題目的總結(jié)，學(xué)會(huì)舉一反三，以不變應(yīng)萬變。

參考文獻(xiàn)：

[1] 李宏宇.用幾何方法求15°、75°角的三角函數(shù)值[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2003（6）.

（作者單位：浙江省寧波市鎮(zhèn)海區(qū)立人中學(xué) 315200）