黃平

摘要：數(shù)學概念是進行推理、判斷、證明的依據(jù)，是建立定理、法則、公式的基礎，也是形成數(shù)學思想方法的出發(fā)點。因此，概念教學在數(shù)學教學中有著重要的地位和作用。然而，在實際教學中，概念教學并沒有引起教師的足夠重視。當然，更談不上對學生思維素質(zhì)的培養(yǎng)。教師應針對不同的學習內(nèi)容，巧妙地設計概念“生長”的過程，引導學生自然地構建數(shù)學概念，掌握數(shù)學概念的本質(zhì)。這樣，學生才能把握數(shù)學的知識性，才能正確、合理、迅速地進行運算、論證和空間想象。

關鍵詞：初中數(shù)學；概念；教學

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）05-0100

無論采用什么方式進行概念教學，高效的數(shù)學概念教學都應該遵循“概念的引入——概念的生成——概念的表示——概念的辨析——概念的鞏固——概念的提升”這幾個基本環(huán)節(jié)，現(xiàn)結合教學案例進行說明。

一、概念的引入

《數(shù)學課程標準》要求：數(shù)學概念的教學要關注概念的實際背景與形成過程，幫助學生克服機械性記憶概念的學習方法。因此，概念的教學不是單純的記憶和模仿，而是在教師的引導下主動，從事觀察、實驗、猜想、驗證、交流等數(shù)學活動的過程，讓學生經(jīng)歷對概念由感性到理性的認識過程。

案例1：對于“相交線”內(nèi)容

學生對相交線、平行線一定不陌生。大橋上的鋼梁和鋼索，棋盤上的橫線和豎線，筆直的高速公路……都給我們以相交線、平行線的形象。從這一章開始我們正式開始研究平面內(nèi)不重合的兩條直線的位置關系。

問題1：同學們能想象出一把剪刀剪開物體的示意圖嗎？你能說清其中的道理嗎？

問題2：仔細觀察你所畫的圖形（圖1），當兩條直線相交時所形成的四個角中，∠1和∠2有怎樣的位置關系？

二、概念的生成

平行四邊形與各種特殊平行四邊形之間的區(qū)別與聯(lián)系是“四邊形”教學中的難點之一，解決這個難點的關鍵是搞好概念教學，幫助學生弄清這些概念之間的關系。下面是筆者在進行“矩形”的教學時，引導學生在實驗探究中生成概念的教學嘗試。

案例2：對于“矩形”的概念教學

師：請同學們拿出準備好的學具（兩長兩短的四根木條、小釘、橡皮筋等）制作一個四邊形，使等長的木條成為對邊，用兩根橡皮筋分別套在相對的兩個頂點上，作為四邊形的對角線（如圖2）。

師：請大家觀察，這屬于哪種四邊形。

生1：這是平行四邊形，因為它的兩組對邊分別相等

師：改變這個平行四邊形的形狀。在圖形變化的過程中，它一直是一個平行四邊形嗎？這些圖形具有哪些相同的性質(zhì)？（學生動手操作改變平行四邊形的形狀，教師演示教具）

生2：無論怎么改變這個四邊形的形狀，它一直是一個平行四邊形。因為這個四邊形的兩組對邊始終分別相等。（如圖3）

生3：由平行四邊形的性質(zhì)可以知道，這些平行四邊形的對邊平行、對角相等、對角線互相平分、鄰角互補，都是中心對稱圖形……

師：想一想，在改變圖形形狀的過程中，有哪些量發(fā)生了變化？

生4：平行四邊形內(nèi)角的大小、對角線的長度都發(fā)生了變化。

生5：平行四邊形的面積也發(fā)生了變化。

師：很好！同學們觀察得很仔細，思考得很認真。你們能具體說一說在改變平行四邊形形狀的過程中，它的四個內(nèi)角的變化嗎？

生6：在上面圖3中，在改變平行四邊形形狀的過程中∠A和∠C的度數(shù)逐漸增大，先由銳角變成了直角，再由直角變成了鈍角。∠B和∠D的度數(shù)逐漸減小，先由鈍角變成了直角，再由直角變成了銳角。

師：請大家繼續(xù)思考以下三個問題：

1. 當∠A是直角時，平行四邊形的其他三個內(nèi)角的度數(shù)分別是多少？

2. 當∠A是直角時，兩條對角線的長度關系如何？

3. 隨著∠A的變化，平行四邊形的面積發(fā)生了怎樣的變化？

生7：當∠A是直角時，平行四邊形的其他三個內(nèi)角都是90°，也就是說，平行四邊形的四個內(nèi)角均為直角。

生8：當∠A是直角時，平行四邊形的兩條對角線不僅互相平分，而且相等。

生9：在圖3中，隨著∠A的變化，平行四邊形的面積先由小變大，再由大變小。當平行四邊形的兩鄰邊互相垂直時，其面積最大。因為當平行四邊形的底邊固定時，面積的大小取決于高的大小……

師：在改變平行四邊形的形狀的過程中，我們發(fā)現(xiàn)當平行四邊形的一個內(nèi)角為直角時，除了原有的性質(zhì)，它還具有其他一些特殊的性質(zhì)。這是一種特殊的平行四邊形，也就是小學時所認識的長方形。今天給它取一個新的名字——矩形。

三、概念的表示

概念的表示即為給概念下定義的過程。學生對概念的本質(zhì)屬性理解透徹后，就需要進行整理，一般用文字語言來闡述，但為了記憶與使用方便，數(shù)學概念還要用符號語言進行表示，文字語言重在對概念的內(nèi)涵進行語言方面的闡述，可盡量讓學生用自己的話小結，而符號語言則體現(xiàn)數(shù)學的簡約美，一般是約定俗成的，由教師給出。

案例3：對于“銳角三角函數(shù)”內(nèi)容

問題：如圖4，當銳角A的度數(shù)確定時，∠A的對邊與斜邊的比值■確定嗎（AB=c，BC=a）

追問1：當銳角A的度數(shù)變化時■變化嗎？

追問2：銳角A與■在變化中的對應關系屬于我們所學過的什么關系？

生1：函數(shù)關系。

追問3：這種函數(shù)關系如何說明？

生2：比值■是∠A的函數(shù)。

師：（小結）這種函數(shù)關系是銳角三角函數(shù)中的一個，我們稱之為正弦函數(shù)，記作sinA.即sinA=■.（通過教師的引導，學生用自己的話小結為比值■是∠A的函數(shù)，教師再給出符號語言，直觀地說明了sinA是∠A的正弦函數(shù)）。

四、概念的辨析

在教師的引導下，學生通過對概念內(nèi)涵的分析、比較、綜合理解，對概念的特點已初步理解，教師歸納后，學生也能準確地描述概念，但要達到準確地掌握概念的本質(zhì)屬性，教師還要從不同的角度輔助學生對概念進行辨析。

案例4：已知關于x的一元二次方程ax2+x+a2-2a=0有一根為0，則a=____。

錯解為：0或2

原因分析：從表面上看，學生在解此類問題時，易犯錯誤的原因是對一元二次方程概念認識的模糊，忘記一元二次方程存在的基本條件是“二次項系數(shù)不能為0”，而實際上是學生對這一類問題的概念認識不清。之前在學習一元一次方程ax+b=0和一次函數(shù)y=kx+b時，學生就容易忘記“a≠0”和“k≠0”的限制條件；在學習分式時，也容易忘記“分母不為0”的限制條件。學生在此題出現(xiàn)錯解是這類錯誤的延續(xù)。如果糾錯不到位，那么在以后學習二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）和反比例函數(shù)y=■（k≠0）時，學生還會出現(xiàn)同樣的錯誤。因此，必須重視這類錯誤的糾正。

五、概念的提升

概念教學的育人功能在于對核心概念的教學過程中，讓學生探索并總結數(shù)學學習的規(guī)律，歸納發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識的方法，領悟數(shù)學學習過程中所體現(xiàn)的數(shù)學思想。概念教學是很好的數(shù)學思想方法的承載體。

案例5：問題：怎樣在數(shù)軸上表示■和-■？

（1）如果在圖上畫一條數(shù)軸以小正方形的邊長為一個單位長（如圖5），那么這一正方形的對角線為■個單位長，能否將■個單位長表示在數(shù)軸上呢？

（2）用尺測量可以，但總有誤差。還有其他方法嗎？

（3）很好，我們以原點為圓心，■為半徑畫圓，與數(shù)軸相交于兩點，這兩點表示為多少呢？（這兩點表示■和-■）。

通過探索無理數(shù)在數(shù)軸上的表示，從而推理得到實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應的過程是無理數(shù)概念的深化，促進學生對無理數(shù)的進一步理解。

教無定法，但貴在得法。數(shù)學概念的教學也沒有固定的方法，但基本上遵循以上流程。筆者認為，數(shù)學概念的教學是一切數(shù)學知識教學、能力培養(yǎng)的基礎，教師一定要站在培養(yǎng)學生數(shù)學素質(zhì)的高度上重視概念教學，優(yōu)化概念教學設計，確保概念教學的有效性，讓學生在經(jīng)歷概念產(chǎn)生的過程中，感悟其中蘊含的數(shù)學思想、掌握數(shù)學方法。

（作者單位：浙江省諸暨市陶朱初中 311800）