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(湖南教育出版社,湖南 長(zhǎng)沙 410007)

0 前言

向量是近代數(shù)學(xué)最重要、最基本的概念之一，是溝通幾何、代數(shù)、三角等內(nèi)容的橋梁，具有豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用.空間向量主要研究空間基本圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系，運(yùn)用向量方法可以解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題，從中體會(huì)向量是研究幾何問(wèn)題的有效工具.

筆者就近5年(2012—2016年)臺(tái)灣地區(qū)學(xué)測(cè)、指考中的空間向量題進(jìn)行了匯編和整理，然后分析、解答和點(diǎn)評(píng)，就其特色進(jìn)行總結(jié)，并給出了在教材編寫和命題方面的一些建議.臺(tái)灣地區(qū)高考空間向量題的命制很有特色，符合選拔性考試應(yīng)該達(dá)到的要求，即以能力立意——考查考生的各種數(shù)學(xué)能力，多考一點(diǎn)想，少考一點(diǎn)算.

1 試題解評(píng)

例1設(shè)c為實(shí)數(shù)，E1,E2,E3皆為坐標(biāo)空間中的平面，其方程式如下：

E1:cx+y=c;E2:cy+z=0;E3:x+cz=1,

已知E1,E2,E3有一個(gè)交點(diǎn)的z坐標(biāo)為1，請(qǐng)選出正確的選項(xiàng).

1) (1,0,0)是E1,E2,E3的一個(gè)交點(diǎn);

2)E1,E2,E3有無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn);

3)E1,E2,E3中一定有兩個(gè)平面重合;

4)c=1;

5)E1,E2,E3有一個(gè)交點(diǎn)的z坐標(biāo)值為2.

分析對(duì)于選項(xiàng)1)，將(1,0,0)分別代入E1,E2,E3的方程中，均滿足，因此選項(xiàng)1)正確.

對(duì)于選項(xiàng)2)，因?yàn)?1,0,0)是E1,E2,E3的一個(gè)交點(diǎn)，且E1,E2,E3有一個(gè)交點(diǎn)的z坐標(biāo)為1，所以必有過(guò)兩個(gè)點(diǎn)的直線為平面E1,E2,E3的交線，因此選項(xiàng)2)正確.

對(duì)于選項(xiàng)3)，因?yàn)镋1,E2,E3的法向量互不平行，所以E1,E2,E3中不可能有重合的平面(法向量平行是平面重合的必要不充分條件).

c3+1=0,

因?yàn)閏=1不滿足上述方程，所以選項(xiàng)4)錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)5)，(1,0,0)是E1,E2,E3的一個(gè)交點(diǎn)，且E1,E2,E3有一個(gè)交點(diǎn)的z坐標(biāo)值為1，從而平面E1,E2,E3的交線為一條不平行于平面xOy的直線，故有一交點(diǎn)的z坐標(biāo)值為2.

點(diǎn)評(píng)本題考查了考生的空間想象能力和邏輯推理能力.如本題的選項(xiàng)2)和選項(xiàng)5)考查了考生的空間想象能力，選項(xiàng)3)和選項(xiàng)4)考查了考生的邏輯推理能力.

例2考慮向量u=(a,b,0)，v=(c,d,1),其中a2+b2=c2+d2=1，請(qǐng)選出下列正確的選項(xiàng)：

1)向量v與z軸正向的夾角恒為定值(與c,d之值無(wú)關(guān));

3)u與v夾角的最大值為135°;

分析對(duì)于選項(xiàng)1)，不妨取z軸正向的一個(gè)方向向量為u0=(0,0,1)，θ為向量v與z軸正向的夾角.因?yàn)?/p>

v·u0=(c,d,1)·(0,0,1)=1,

即

所以

解得

故選項(xiàng)1)正確.

對(duì)于選項(xiàng)2)，可利用基本不等式.因?yàn)?/p>

u·v= (a,b,0)·(c,d,0)=ac+bd≤

從而u·v的最大值為1，故選項(xiàng)2)錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)3)，設(shè)u與v夾角為θ，因?yàn)?/p>

即

故選項(xiàng)3)正確.

對(duì)于選項(xiàng)4)，因?yàn)閍2+b2=c2+d2=1，令a=sinα,b=cosα，c=sinβ,d=cosβ,則

ad-bc=sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β),

即

|ad-bc|≤1，

故選項(xiàng)4)錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)5)，|u×v|表示的數(shù)值是以u(píng),v為鄰邊的平行四邊形的面積.因?yàn)?/p>

點(diǎn)評(píng)本題通過(guò)給出空間中兩個(gè)向量以及條件關(guān)系式從不同方面進(jìn)行設(shè)問(wèn)，5個(gè)選項(xiàng)分別從不同方面考查向量的夾角、內(nèi)積、外積，并與不等式結(jié)合起來(lái)考查最大值.

例3給定向量u=(2,2,1)，請(qǐng)選出下列正確的選項(xiàng)：

2)可找到向量v，使得u×v=(1,3,4);

3)若非零向量v滿足|u·v|=2|v|，則

u×v=0;

4)若非零向量v滿足|u×v|=3|v|，則

u·v=0;

v=0.

5)若向量v滿足u·v=0且u×v=0，則

對(duì)于選項(xiàng)2)，u×v表示的向量應(yīng)與向量u或v垂直，因此u·(u×v)=0，而(2,2,1)·(1,3,4)=2+6+4=12≠0，故選項(xiàng)2)錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)3)，因?yàn)閨u·v|=2|v|,即

|u|·|v|·|cosθ|=2|v|，

又

所以

u×v≠0，

故選項(xiàng)3)錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)4)，|u×v|=3|v|,即

|u|·|v|sinθ=3|v|,

從而

sinθ=1,

解得

即

u·v=0，

故選項(xiàng)4)正確.

對(duì)于選項(xiàng)5)，根據(jù)題意u·v=0且u×v=0,可知向量u,v既相互垂直又相互平行，又因?yàn)閡≠0，所以v=0，故選項(xiàng)5)正確.

點(diǎn)評(píng)本題考查向量的兩種主要運(yùn)算——內(nèi)積和外積，理解向量?jī)?nèi)積和外積的幾何意義，向量u,v的外積u×v表示的向量方向與u,v均垂直，|u×v|表示以u(píng),v為鄰邊的平行四邊形面積.

分析因?yàn)橄蛄縲與向量u×v平行，所以

u·w=0,v·w=0,

從而x+2y+3z=0,

(1)

x-z=0.

(2)

x-2y+z=6,

(3)

由式(1)～(3)可得x=1,y=-2,z=1.

例5在坐標(biāo)空間中，一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)P(1,1,1)沿著方向a=(1,2,2)等速直線前進(jìn)，經(jīng)過(guò)5秒后剛到平面x-y+3z=28上，立即轉(zhuǎn)向并沿著方向b=(-2,2,-1)以同樣的速度等速直線前進(jìn).請(qǐng)問(wèn)再經(jīng)過(guò)幾秒此質(zhì)點(diǎn)會(huì)剛好到達(dá)平面x=2上？

1)1秒; 2)2秒; 3)3秒; 4)4秒;

5)永遠(yuǎn)不會(huì)到達(dá).

分析質(zhì)點(diǎn)在空間中的運(yùn)動(dòng)軌跡為(1+vt,1+2vt,1+2vt)，其中v表示沿a方向運(yùn)動(dòng)的速度，t為運(yùn)動(dòng)時(shí)間，經(jīng)過(guò)5秒后質(zhì)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)(1+5v,1+10v,1+10v)，代入平面方程x-y+3z=28可得v=1，因此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡與平面x-y+3z=28的交點(diǎn)坐標(biāo)為(6,11,11).同理可以求得返回的軌跡方程為

其中t為參數(shù),表示時(shí)間，從而6-2t=2，解得t=2，因此經(jīng)過(guò)2秒后，質(zhì)點(diǎn)剛好到達(dá)平面x=2上.

點(diǎn)評(píng)本題考查了空間向量中直線方程的參數(shù)形式和笛卡爾坐標(biāo)系中的平面方程，以及聯(lián)立直線方程和平面方程求出它們的交點(diǎn)等知識(shí)及其應(yīng)用.

1)點(diǎn)(3,0,-1)在直線L上;

2)點(diǎn)(1,2,3)在平面E1上;

3)直線L與平面E1垂直;

4)直線L在平面E2上;

5)平面E1與E2交于一直線.

上式顯然不成立，故選項(xiàng)1)錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)2)，將點(diǎn)(1,2,3)代入平面E1中，有2-6-3≠0，故選項(xiàng)2)錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)3)，直線L的方向向量為n1=(2,-3,-1)，平面E1的法向量為n2=(2,-3,-1)，從而n1=n2，故選項(xiàng)3)正確.

對(duì)于選項(xiàng)4)，點(diǎn)(1,2,0)不在平面E2上，故選項(xiàng)4)錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)5)，平面E1的法向量為n2=(2,-3,-1)，平面E2的法向量為n3=(1,1,-1)，從而n2≠n3，因此平面E1與平面E2既不平行也不重合，即平面E1與E2必交于一直線，故選項(xiàng)5)正確.

點(diǎn)評(píng)本題給出空間中的一條直線和兩個(gè)平面的笛卡爾坐標(biāo)方程，判斷點(diǎn)和直線以及點(diǎn)和平面的位置關(guān)系、直線和平面以及平面和平面的位置關(guān)系等等.

2 特色與建議

從總體上來(lái)說(shuō)，臺(tái)灣地區(qū)近5年高考空間向量題比大陸地區(qū)的向量題容易，表現(xiàn)在運(yùn)算量較小，計(jì)算的技巧性不大.臺(tái)灣地區(qū)的考題主要考查考生對(duì)基本概念、基本知識(shí)的掌握和運(yùn)用程度，考查的知識(shí)點(diǎn)比較全面，且和其他知識(shí)交會(huì)，比如與不等式、函數(shù)、行列式、解方程等結(jié)合.考查考生的空間想象能力和推理論證的能力，特別重視直線的方向向量和平面的法向量以及用方向向量和法向量判定直線與平面的位置和度量關(guān)系、向量的內(nèi)積和外積的幾何意義、直線和平面的幾種不同形式之間的互化等等.另外，臺(tái)灣地區(qū)數(shù)學(xué)高考試卷中有單選和多選題，多選題中5個(gè)選項(xiàng)的設(shè)置、考查的知識(shí)點(diǎn)和所用的方法不同，不能夠利用特殊值代入等所謂的技巧進(jìn)行選擇或者排除，全選正確對(duì)考生的要求較高.每個(gè)選項(xiàng)的選擇都考查某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，并能運(yùn)用通性通法進(jìn)行分析和解決.

通過(guò)對(duì)臺(tái)灣地區(qū)向量高考試題的分析，可以推斷臺(tái)灣地區(qū)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)空間向量的要求比大陸高，比如會(huì)求出空間中直線和平面的笛卡爾坐標(biāo)系方程，能夠?qū)臻g直線方程的不同形式(如向量形式、參數(shù)方程形式和笛卡爾坐標(biāo)形式)、平面方程的不同形式(向量形式和笛卡爾坐標(biāo)形式)進(jìn)行互相轉(zhuǎn)化.再比如向量的外積，即叉積的運(yùn)算和幾何意義，以及三階行列式和空間中不共面三向量構(gòu)成的平行六面體的體積關(guān)系等等.建議在大陸地區(qū)的課程標(biāo)準(zhǔn)中增加直線和平面的各種方程形式，利用直線和平面的各種形式可以直接看出直線和平面的方向向量和法向量，可以方便快捷地解決點(diǎn)、直線和平面之間的位置關(guān)系和度量關(guān)系.另外，增加三階行列式與平行六面體的體積關(guān)系等內(nèi)容.

總之，臺(tái)灣地區(qū)教材和大陸教材相比，前者內(nèi)容多，如空間向量，復(fù)數(shù)等.臺(tái)灣地區(qū)的數(shù)學(xué)高考對(duì)大陸高考命題人員具有一定的參考價(jià)值，如“怎樣命制多項(xiàng)選擇題、應(yīng)用題、數(shù)學(xué)文化題”“如何考查考生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力”，都具有一定的借鑒意義.

2 解法探究

1)證明設(shè)P(x0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，則PA，PB的中點(diǎn)坐標(biāo)分別為

從而

即

式(1)-式(2)，得

于是

故PM⊥y軸.

對(duì)于第2)小題，首先由PM⊥y軸可知

從問(wèn)題指向來(lái)看，面臨的仍舊是坐標(biāo)的處理，不同的思考亦會(huì)有不同的方法，但必然遵循化歸思想指引.

2)解法1(化歸為x0,y0形式)由式(1)和式(2)可知

|y1-y2|均可用上述韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化，經(jīng)計(jì)算可得

解法2(化歸為y1,y2形式)由式1)可得

且

代入面積表達(dá)式，得

即

從而

于是

下面可設(shè)t=sin2θ-cosθ，先確定t的范圍再確定S△PAB范圍即可(略).

圖2

不妨設(shè)y1>0，則拋物線C在點(diǎn)A處的切線方程為

(3)

即

2x-y1y+2x1=0.

同理可得拋物線C在點(diǎn)B處的切線方程為

(4)

即

2x-y2y+2x2=0.

2x-2sinθ·y+4cosθ-2sin2θ=0，

與y2=4x聯(lián)立，可得

y2-4sinθ·y+8cosθ-4sin2θ=0,

于是

|PM|=|xM-x0|=3(sin2θ-cosθ).

下述過(guò)程與解法2后面一致，不再贅述.

3 結(jié)論拓展

圖3

例2如圖3，已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn)，拋物線C：y2=4x上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B滿足PA，PB的中點(diǎn)均在拋物線C上，PM交C于點(diǎn)N，且拋物線上點(diǎn)A，B處的切線交于點(diǎn)Q，證明：

1)P為QN的中點(diǎn)；

2)拋物線上點(diǎn)N處切線平行于AB.

于是

xN+xQ=2x0,

即點(diǎn)P為QN的中點(diǎn).

4 考查評(píng)析

1)點(diǎn)在曲線上，則該點(diǎn)坐標(biāo)符合曲線方程.

從“解法探究”中可以發(fā)現(xiàn)，例1中兩個(gè)小題的解決都是圍繞著“點(diǎn)坐標(biāo)”在做文章.第1)小題中，基于4個(gè)點(diǎn)為拋物線上的點(diǎn)，則這4個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)符合拋物線方程，從而列式化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)過(guò)程中體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，即3組坐標(biāo)(x0,y0)，(x1，y1)，(x2,y2)結(jié)合拋物線方程轉(zhuǎn)化為y0,y1,y2的形式，從而求得yM=y0，證得結(jié)論.

第2)小題的解決立足于第1)小題，面積的表示以及所涉及的運(yùn)算，都圍繞著第1)小題列式展開(kāi).雖然第2)小題給出了3種方法，但仔細(xì)分析，這些解法都是依據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化處理的.解法1首先是巧妙寫出以y1,y2為根所確定的一元二次方程，再將xM與|y1-y2|表示成關(guān)于x0,y0的形式，最后化歸為關(guān)于x0的函數(shù)形式；解法2首先是運(yùn)用條件將x0,xM轉(zhuǎn)化為關(guān)于y1,y2的形式，再通過(guò)三角代換化歸為關(guān)于θ的函數(shù)形式；解法3的思維起點(diǎn)是試圖求出直線AB的方程，從而引入極點(diǎn)Q(拋物線兩條切線的交點(diǎn)稱為極點(diǎn)，對(duì)應(yīng)切點(diǎn)連線稱為極線)，兩條切線的不同表達(dá)形式(本質(zhì)為利用拋物線方程點(diǎn)坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化)，既可求得極點(diǎn)Q的坐標(biāo)，又可求得極線AB的方程，再結(jié)合第1)小題解決.

2)雖非同尋常，但關(guān)注解析幾何問(wèn)題本質(zhì).

本題以中點(diǎn)、三角形面積為素材，考查解析幾何知識(shí)的應(yīng)用.雖說(shuō)中點(diǎn)、三角形面積都是學(xué)生比較熟悉的問(wèn)題，但其解決方法又有別于我們平日所熟悉的模式.通常所接觸的三角形面積問(wèn)題，往往是設(shè)動(dòng)直線AB的方程，引入?yún)?shù)直線斜率k,然后將面積表示為k的形式，最后求得范圍.但本題打破了這種慣性思維，它緊緊圍繞點(diǎn)坐標(biāo)符合曲線方程展開(kāi)，通過(guò)坐標(biāo)間的互化，實(shí)現(xiàn)化歸.當(dāng)然，學(xué)生平時(shí)所學(xué)似乎不能得到良好發(fā)揮，特別是在考試時(shí)間有限的情況下對(duì)學(xué)生而言還是有一定難度的，但細(xì)細(xì)分析只要有良好的數(shù)學(xué)直覺(jué)，只要緊緊圍繞條件進(jìn)行有效思考還是能管窺一斑.同時(shí)，從高考人才的選拔來(lái)說(shuō)也是十分有必要的，畢竟高考選拔很重要的功能是甄別學(xué)生的創(chuàng)新素質(zhì)，這樣的問(wèn)題往往可以考查學(xué)生的思維深度和臨場(chǎng)應(yīng)變能力等.

雖非同尋常，但仔細(xì)分析該問(wèn)題解決的方法，其解決途徑無(wú)不是圍繞著“點(diǎn)坐標(biāo)”轉(zhuǎn)化處理，這也體現(xiàn)了解析幾何的本質(zhì)：平面上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)之間建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系，平面上的曲線和兩個(gè)變量的方程之間建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得對(duì)于平面上的每一條曲線，都存在一個(gè)確定的方程f(x,y)=0與之對(duì)應(yīng)；反之，對(duì)于每一個(gè)這樣的方程，都存在平面上一條確定的曲線，同樣也可以在方程f(x,y)=0的代數(shù)性質(zhì)與其相聯(lián)系的曲線的幾何性質(zhì)之間建立對(duì)應(yīng)關(guān)系.

5 教學(xué)啟示

5.1 適度訓(xùn)練不落俗套

數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)以應(yīng)試為目的，不能搞程式不變的模式化訓(xùn)練.一成不變的模式訓(xùn)練與題海訓(xùn)練必然會(huì)使學(xué)生“思維僵化”“生笨”“生厭”等.關(guān)于這個(gè)問(wèn)題早在20年前，李士锜教授就在《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》上刊登過(guò)3篇文章“熟能生巧嗎”“熟能生笨嗎?——再談‘熟能生巧’問(wèn)題”“熟能生厭嗎——三談熟能生巧問(wèn)題”，很好地論述了“熟”與“生巧”“生笨”“生厭”的關(guān)系：1)過(guò)程操作是概念形成的第一步，因此，常規(guī)訓(xùn)練是理解的必要條件；2)如果教學(xué)中不能把握數(shù)學(xué)過(guò)程與數(shù)學(xué)對(duì)象之間的平衡，過(guò)度的常規(guī)練習(xí)會(huì)影響到學(xué)生的理解力和創(chuàng)造力的發(fā)展；3)常規(guī)訓(xùn)練若不適當(dāng)，則可能使學(xué)生形成不良信念、態(tài)度、情緒，對(duì)他們今后學(xué)習(xí)將產(chǎn)生負(fù)面影響.這些觀點(diǎn)對(duì)我們今天的教學(xué)依然有十分重要的指導(dǎo)意義.

數(shù)學(xué)教學(xué)需要適度練習(xí)，但這個(gè)練習(xí)首先以理解為前提，再則練習(xí)一方面以鞏固知識(shí)為目標(biāo)，另一方面要以培養(yǎng)學(xué)生多元化思考為目標(biāo).在數(shù)學(xué)練習(xí)中，不僅倡導(dǎo)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，更倡導(dǎo)在問(wèn)題解決過(guò)程中發(fā)散學(xué)生思維、發(fā)展學(xué)生能力.

5.2 關(guān)注知識(shí)本質(zhì)教學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)作為數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，首要的是要抓住知識(shí)的本質(zhì)展開(kāi)教學(xué).正如例1，雖然問(wèn)題處理方式與常態(tài)有所不同，但其本質(zhì)為解析幾何中處理點(diǎn)與曲線、坐標(biāo)與方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而利用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題.抓住了這個(gè)知識(shí)本質(zhì)，此題便可施展其手.因此，教學(xué)中教師要抓住知識(shí)的本質(zhì)，適當(dāng)做些訓(xùn)練，適當(dāng)做些歸類，不急功近利，扎扎實(shí)實(shí)地幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)知識(shí)體系，幫助學(xué)生建構(gòu)一些解決問(wèn)題的方法——“通解通法”.通過(guò)融入知識(shí)本質(zhì)的教學(xué)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，從而培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界”的能力.

注重知識(shí)本質(zhì)的教學(xué)，意味著教師要善于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行深入挖掘，不斷地自我追問(wèn)：“客觀事物背后隱藏著什么數(shù)學(xué)知識(shí)與規(guī)律？數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)屬性又是什么？統(tǒng)攝具體數(shù)學(xué)知識(shí)及技能的數(shù)學(xué)思想是什么？”[1]

5.3 融入數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)教學(xué)始終要融入數(shù)學(xué)思想方法.筆者認(rèn)為：不管我們的教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)理念和教學(xué)行為等如何改變，數(shù)學(xué)教學(xué)必然要融入數(shù)學(xué)思想方法，這是數(shù)學(xué)的學(xué)科特色所決定的，是數(shù)學(xué)育人價(jià)值中的重要一環(huán)，是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的重要保障.數(shù)學(xué)思想方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，它使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有章可循、有理可據(jù)、有法可依.

倘若，我們的教學(xué)脫離了數(shù)學(xué)思想方法的融入，那么學(xué)生的學(xué)習(xí)只能迷失于數(shù)學(xué)的題海之中，變得盲目不可得.如例1，學(xué)生在考試中，面對(duì)幾個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)與幾個(gè)方程的處理，必然要以轉(zhuǎn)化思想為指導(dǎo)，才能最終實(shí)現(xiàn)化歸；在第2)小題的解法1中，

意味著S△PAB與xM,x0,y1,y2這4個(gè)變量有關(guān)，但通過(guò)數(shù)學(xué)思想指引，通過(guò)條件的有效利用，最終轉(zhuǎn)化為關(guān)于x0的函數(shù)形式.因此，在平日的數(shù)學(xué)教學(xué)中，需要有機(jī)融入數(shù)學(xué)思想方法，以增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)地解決問(wèn)題之能力.