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(廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣東 廣州 510006)

●關(guān)麗娜

(深圳大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣東 深圳 518060)

三角形“五心”的向量表示指的是如下定理：

定理1在△ABC中，設(shè)P是三角形所在平面上任意一點(diǎn)，則

(1)

其中S△PBC,S△PCA,S△PAB表示有向面積.這個(gè)既有面積又有向量的等式(1)，稱為三角形“五心”的向量形式.它將三角形“五心”的向量表達(dá)式統(tǒng)一起來.這里的“五心”指的是三角形的重心、內(nèi)心、外心、旁心、垂心.

從形式上看，上述定理當(dāng)屬三角形“五心”的一個(gè)幾何刻畫.我們知道一個(gè)數(shù)學(xué)研究對(duì)象如果具有幾何和代數(shù)上的兩種刻畫，那么該對(duì)象從某種程度上來說是優(yōu)美的.“數(shù)形結(jié)合”思想說的就是這樣的一種數(shù)學(xué)美.

數(shù)學(xué)具有美，三角形“五心”是其中一種數(shù)學(xué)美.那么用純坐標(biāo)(不涉及角度、邊長)表示三角形“五心”的坐標(biāo)也應(yīng)該有它的優(yōu)美.遺憾的是，國內(nèi)少見有對(duì)三角形“五心”純坐標(biāo)形式進(jìn)行刻畫的文獻(xiàn)(對(duì)于三角形外心和垂心的代數(shù)刻畫可參見文獻(xiàn)[1]).本文介紹Wildberger教授在文獻(xiàn)[2]中引入的符號(hào)在刻畫三角形重心、外心、垂心、九點(diǎn)圓圓心的坐標(biāo)表達(dá)式中的應(yīng)用.這種刻畫是代數(shù)的，筆者利用三角形重心、外心、垂心的坐標(biāo)表示給出了三角形重心、外心、垂心三點(diǎn)共線的一個(gè)證明.

1 符號(hào)的規(guī)定及例子

Wildberger教授在文獻(xiàn)[2]第29頁中引入了以下記號(hào)：

(2)

符號(hào)(2)等號(hào)的右邊是一個(gè)3階行列式.根據(jù)行列式運(yùn)算法則，得

不失一般性，我們可以定義如下更一般的符號(hào)：

(3)

我們先看一些例題：

證明若直線li:Aix+Biy+Ci=0(其中i=1,2,3)三線共點(diǎn)，則

證明由三角形的面積公式可得

評(píng)注由例4和例5可知，在式(2)的使用下，三線共點(diǎn)和三點(diǎn)共線的充要條件變得異常簡單.

2 符號(hào)在表示三角形重心、垂心、外心、九點(diǎn)圓圓心中的應(yīng)用

有了式(2)的規(guī)定，我們可以得到三角形重心的坐標(biāo)表示，即以下的命題(重心的橫坐標(biāo)詳見文獻(xiàn)[1])：

命題1設(shè)△ABC頂點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為(x1,y1)，(x2,y2),(x3,y3),則△ABC的重心坐標(biāo)為

(x1+x2)x1y2+(x1+x3)x3y1+(x2+x3)x2y3-(x2+x3)x3y2-(x1+x2)x2y1-(x1+x3)x1y3=

(x1+x2+x3)(x1y2+x2y3+x3y1-x1y3-x3y2-x2y1),

對(duì)應(yīng)于三角形的外心和垂心，有以下兩個(gè)命題，證明過程詳見文獻(xiàn)[2].

若設(shè)△ABC各邊中點(diǎn)分別為D,E,F，各頂點(diǎn)到對(duì)邊的垂足分別為M1,M2,M3，設(shè)△ABC的垂心為H，且設(shè)HA,HB,HC的中點(diǎn)分別為N1,N2,N3，則由九點(diǎn)共圓定理可知點(diǎn)D,E,F,M1,M2,M3,N1,N2,N3在△DEF的外接圓上.用式(2)，我們還可以給出這個(gè)九點(diǎn)圓圓心的一個(gè)坐標(biāo)表示，即以下命題.X為實(shí)心圓點(diǎn)，其證明過程與命題2類似,不再贅述.

命題4[2]設(shè)△ABC頂點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為(x1,y1)，(x2,y2),(x3,y3),且設(shè)線段BC,CA,AB的中點(diǎn)分別為D,E,F，則△DEF的外心為

有了三角形的重心、外心、垂心的坐標(biāo)表示，接下來我們給出三點(diǎn)共線的一個(gè)證明.

定理1[3]△ABC的外心、垂心、重心三點(diǎn)共線(歐拉線).

證明設(shè)△ABC頂點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，且△ABC的重心、垂心、外心分別記為G,H,O,則由命題1～3可得點(diǎn)G,H,O的坐標(biāo)分別為

故點(diǎn)G,H,O共線.

從上面的討論過程可以看出：和三角形的五心向量表示一樣，可以用純坐標(biāo)(不涉及邊長和角度)將三角形的重心、外心、垂心、九點(diǎn)圓圓心優(yōu)美地刻畫出來.截止目前，筆者依舊沒有找到三角形內(nèi)心的純坐標(biāo)表示的相關(guān)資料，它是不是也可以用式(2)優(yōu)美地表示出呢？有興趣的讀者可以自己探討.