●

(咸陽師范學(xué)院課程研究中心，陜西 咸陽 712000)

不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，不等式的性質(zhì)是不等式的核心知識，諸如同向不等式相加、相乘的性質(zhì)等.筆者思考的問題是：異向不等式相加、相乘與同向不等式相減、相除，可以獲得怎樣的不等式呢？本文通過實際例子探究這個問題.

1 兩個不等式相加

兩個同向不等式可以疊加，產(chǎn)生第3個不等式.而兩個異向不等式的兩邊是不可以進行相加推理的，但有時兩個異向不等式的兩邊相加，選擇一個不等號的方向，可能產(chǎn)生一個新穎的正確的不等式，這是一件十分有趣的事情，它可以幫助我們?nèi)ヌ骄?、發(fā)現(xiàn)一些不等式的加強.

例1設(shè)a,b>0，求證：

證明待證不等式

?

?

?

只要證明

?

?

?

得證.

說明十分有趣的是：兩個異向的不等式的兩邊分別相加，選擇一個不等號的方向，有時可以獲得一個正確的不等式，有時獲得的不等式是錯誤的，這就需要讀者深入探究、舉反例、修改和論證.

我們知道：若a,b,c>0，則有常見不等式

將這兩個異向不等式相加，得到：若a,b,c>0，則：

這就說明，一些錯誤的做法里蘊含著正確的成分，需要人們?nèi)リP(guān)注、去挖掘.又如：已知a,b,c是正實數(shù)，求證：

2 兩個不等式相減

對于兩個同向的不等式，將不等式的兩邊分別相減，獲得的不等式是否正確需要論證.若是正確的，則獲得了一個十分有用的局部不等式，這也為一些不等式的證明提供了一種有效的可能通道.

探究由待證不等式

得

將這兩個同向不等式相減，得

(1)

下面證明不等式(1)成立，它是證明本題的一個有用的局部不等式.

事實上，

即不等式(1)成立.取k=1,2,3,…,n,得到n個不等式，疊加立知待證不等式成立.

說明從要證不等式得出一個不等式，并把兩個同向的不等式相減，產(chǎn)生的不等式可能是錯誤的，也可能是正確的，這需要舉反例或論證之.先猜后證是數(shù)學(xué)解題分析、解題思維的有效途徑之一，從自己已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，思考并獲得一個有用的局部不等式，有時顯得尤為重要.

(2)

即

用導(dǎo)數(shù)方法，容易證明此不等式成立，即式(2)成立.取k=1,2,…,n，得到n個不等式，疊加立知待證不等式成立.

當(dāng)然，在具體的解題中，探究發(fā)現(xiàn)局部不等式的過程可以隱藏，不讓其出現(xiàn).

3 兩個不等式相乘

對于兩邊均為正值的兩個異向不等式，把它們的兩邊分別相乘，選擇一個不等號方向，也許可以產(chǎn)生一個新穎有趣的正確不等式，它可能是一個常見經(jīng)典不等式的加強.

例3設(shè)a,b,c>0,求證：

探究對a,b,c>0,熟知的不等式有

a3+b3+c3≥3abc，

ab+bc+ca≤a2+b2+c2.

將這兩個異向不等式相乘，可得

(a3+b3+c3)(ab+bc+ca)≥3abc(a2b2+c2),

變形得

這是《數(shù)學(xué)教學(xué)》2012年第10期問題869，稍作加強，就有上述不等式.

證明待證不等式

因為a2+b2+c2≥ab+bc+ca,所以只要證明

即 (a+b+c) (ab+bc+ca)2≥

3abc(a2+b2+c2+ab+bc+ca).

(3)

事實上，應(yīng)用二元均值不等式，得

(ab+bc+ca)2=

(ab)2+(bc)2+(ca)2+2abc(a+b+c)≥

ab·bc+bc·ca+ca·ab+2abc(a+b+c)=

3abc(a+b+c),

從而(a+b+c)(ab+bc+ca)2≥3abc(a+b+c)2,

即不等式(3)獲得證明，于是所要證明的不等式成立.

說明應(yīng)用“異向不等式相乘”的方法，通過對接、調(diào)整、探究、修改和證明，有時可加強一些常見的經(jīng)典不等式，獲得某些新穎的不等式.

4 兩個不等式相除

對于兩邊均是正值的兩個同向不等式，把它們的兩邊分別相除，也許可以產(chǎn)生一個正確且有用的局部不等式，據(jù)此容易證明所給的不等式.

例4[2]已知n∈N+，求證：

探究由待證不等式

得

將這兩個不等式相除，得

(4)

下面證明不等式(4)成立.事實上,

取k=1,2,…,n,得到n個同向不等式，疊乘即有

說明將兩個同向不等式相除，獲得的局部不等式可能是正確的，也可能是錯誤的，這就需要判斷或論證，這樣產(chǎn)生的局部不等式為證明目標不等式起到了關(guān)鍵作用.例4等價于1985年上海市數(shù)學(xué)高考試題第8題：對于一切大于1的自然數(shù)n，證明：

聯(lián)想到2012年的一道IMO不等式賽題：設(shè)n≥3,正數(shù)a2,a3,…,an滿足a2a3…an=1,求證：

(a2+1)2(a3+1)3…(an+1)n>nn.

可以試一試“同向不等式相除”研究該賽題.由待證不等式

(a2+1)2(a3+1)3…(ak+1)k>kk,

得(a2+1)2(a3+1)3…(ak-1+1)k-1>(k-1)k-1,

這兩個同向不等式相除，得

(5)

這個顯然是不對的，因為式(5)的左邊有字母ak,而右邊沒有.事實上，

(6)

顯然，不等式(6)是不等式(5)的修正.由式(6)即有

以上筆者通過具體的例子探究了不等式證明里的“加、減、乘、除”運算技巧，它可以幫助我們找到證明不等式的局部不等式或獲得一個已知不等式的加強結(jié)果，更多的例子留給有興趣的讀者去探究、尋找和發(fā)現(xiàn).

在“錯誤”的做法里尋找正確的因素有時可以發(fā)現(xiàn)新的不等式，找到對證明不等式有用的“局部不等式”，這也是筆者的一點經(jīng)驗積累，通過本文希望給讀者提供一些思維的啟示.