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(虞陽中學(xué),福建 福清 350307)

近年來高考試題的命制越來越新穎多變，但萬變不離其宗，大多數(shù)高考題都能在教材或往年高考真題中找到其“原形”.高考對(duì)三角最值的考查也不例外，通過背景包裝、更換數(shù)字、變條件、變結(jié)論等多種方式對(duì)教材的例題、習(xí)題以及高考真題進(jìn)行重新加工，看似平常，實(shí)則有很多值得品位的東西.現(xiàn)以2018年全國(guó)卷Ⅰ理科試題第16題為例，從解法探究、尋根探源、同源變式等角度來欣賞它，從而輕松突破求三角最值問題的思維瓶頸.

例1已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin 2x，則f(x)的最小值是______.

(2018年全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科試題第16題)

該題表述簡(jiǎn)潔，考查的內(nèi)容豐富，主要考查二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式以及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求最值或利用基本不等式的推論求最值等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查考生的轉(zhuǎn)化和化歸能力、運(yùn)算求解能力，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng).在近5年的全國(guó)卷中，求三角函數(shù)的最值在2017年卷Ⅱ理科第14題、2017年卷Ⅲ文科第6題、2014年卷Ⅱ文(理)科第14題都出現(xiàn)過，這些題多利用二倍角公式、兩角和差的正余弦公式以及輔助角公式對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性，即可求其最值.本題若不會(huì)利用導(dǎo)數(shù)法或基本不等式的推論，則即使會(huì)利用三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，也求不出最值.這樣設(shè)制高考題規(guī)避了特殊技巧，凸顯了數(shù)學(xué)本質(zhì)，能有效地考查考生的創(chuàng)新意識(shí).

1 解法探究

解法1因?yàn)?/p>

f(x)= 2sinx+sin 2x=2sinx(1+cosx)=

于是

點(diǎn)評(píng)本解法的關(guān)鍵：一是“化簡(jiǎn)”，即利用二倍角的正弦公式與余弦公式，對(duì)三角函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)；二是“用推論”，即利用基本不等式的推論，求出三角函數(shù)的最值，此時(shí)需注意等號(hào)成立條件的檢驗(yàn).

解法2因?yàn)閒(x)=2sinx+sin 2x=2sinx(1+cosx)，所以

f2(x)= 4sin2x(1+cosx)2=

4(1-cosx)(1+cosx)3≤

于是

解法3因?yàn)閒(x)=2sinx+sin 2x=2sinx(1+cosx),所以

f2(x)= 4sin2x(1+cosx)2=

4(1-cosx)(1+cosx)3.

設(shè)y=f2(x),cosx=t，則

y=4(1-t)(1+t)3(其中-1≤t≤1)，

從而y′= 4[-(1+t)3+3(1-t)(1+t)2]=

8(1+t)2(1-2t)，

即

進(jìn)而

點(diǎn)評(píng)本解法的關(guān)鍵：一是“會(huì)化簡(jiǎn)”，只需用二倍角公式與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，把f2(x)化為同角同名的函數(shù)式；二是“會(huì)換元”，即通過三角換元，把三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為四次函數(shù)，此時(shí)需注意利用余弦函數(shù)的有界性，求出新元的取值范圍；三是“用導(dǎo)數(shù)”，即對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出其最值，從而得到f2(x)的最值，即可求出f(x)的最小值.

解法4因?yàn)閒(x)=2sinx+sin 2x，所以

f′(x)=2cosx+2cos 2x=4cos2x+2cosx-2.

設(shè)y=f′(x),cosx=t，則

y= 4t2+2t-2(其中-1≤t≤1),

點(diǎn)評(píng)與前3種解法相比，本解法跳過對(duì)函數(shù)f(x)的三角化簡(jiǎn)，直接對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，再通過三角換元(注意新元的取值范圍)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，直接求出f(x)的最小值，實(shí)屬干凈利落.

解法5因?yàn)閒(x)=2sinx+sin 2x，所以

f(x+2π)= 2sin(x+2π)+sin 2(x+2π)=

2sinx+sin 2x=f(x)，

從而2π是函數(shù)f(x)的周期，于是欲求函數(shù)f(x)=2sinx+sin 2x的最小值，等價(jià)于求函數(shù)f(x)=2sinx+sin 2x(其中0≤0≤2π)的最小值.求導(dǎo)得

f′(x)= 2cosx+2cos 2x=

4cos2x+2cosx-2=

其中0≤x≤2π.令f′(x)=0，得

即

由于

f(π)=0，f(0)=0，f(2π)=0，

點(diǎn)評(píng)本解法的關(guān)鍵：一是“會(huì)轉(zhuǎn)化”，即利用周期函數(shù)的定義，判斷三角函數(shù)的周期性，把求函數(shù)f(x)在定義域R內(nèi)的最小值轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)在[0,2π]上的最小值；二是“用導(dǎo)數(shù)”，即求方程f′(x)=0的根，求出根所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值與端點(diǎn)的函數(shù)值，比較大小得函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上的最值.

2 尋根探源

本題來源于人教A版教材第147頁復(fù)習(xí)參考題A組第11題的第1)小題[1]：

例2已知函數(shù)f(x)=2sinx(sinx+cosx)，求f(x)的最大值.

3 同源變式

思考1若把例1中的“函數(shù)f(x)=2sinx+sin 2x”變?yōu)椤癴(x)=2sinx+sin2x”，其他都不變，即可得到如下難度降低的好題：

變式1已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x，則f(x)的最小值是______.

分析設(shè)t=sinx(其中-1≤t≤1)，則

y=t2+2t，

即

y=(t+1)2-1.

當(dāng)-1≤t≤1時(shí)，函數(shù)y=t2-4t+5單調(diào)遞增，從而當(dāng)t=-1時(shí)，函數(shù)y=t2+2t(其中-1≤t≤1)取得最小值ymin=-1，即f(x)的最小值是-1.

點(diǎn)評(píng)求形如y=acos2x+bcosx+c或y=asin2x+bsinx+c(其中a,b,c,d均為常數(shù)，且ab≠0)的函數(shù)最值，常用三角換元法，將所給的函數(shù)化成最值容易確定的另一個(gè)函數(shù).一般可設(shè)t=cosx(其中-1≤t≤1)或t=sinx(其中-1≤t≤1)，再利用配方法，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求出原函數(shù)的最值.但在換元時(shí)應(yīng)注意等價(jià)性，即關(guān)注新元的取值范圍.

思考2若把例1中的“函數(shù)f(x)=2sinx+sin 2x”變?yōu)椤癴(x)=2sin2x+sin 2x”，其他都不變，即可得到如下難度降低的好題：

變式2已知函數(shù)f(x)=2sin2x+sin 2x，則f(x)的最小值是______.

分析因?yàn)閒(x)=2sin2x+sin 2x，所以

f(x)= 1-cos 2x+sin 2x=

點(diǎn)評(píng)破解此類三角函數(shù)最值問題的關(guān)鍵：一是化簡(jiǎn)三角函數(shù)的解析式，化簡(jiǎn)的目標(biāo)為“角化同”(如本題，優(yōu)先考慮“冪降一次角翻倍”，即先把“2sin2x”轉(zhuǎn)化為“1-cos 2x”，再利用輔助角公式，把函數(shù)f(x)轉(zhuǎn)化為形如f(x)=Asin(ωx+φ)+h的形式)；二是利用正弦函數(shù)的最值性，即可求出三角函數(shù)的最值.

變式3已知函數(shù)

則f(x)的最小值與最大值之和為______.

分析因?yàn)?/p>

M+m=(3-M′)+(3-m′)=6-(M′+m′)=6.

所以函數(shù)g(x)為奇函數(shù).設(shè)g(x)的最大值和最小值分別為M′，m′,則M′+m′=0.設(shè)函數(shù)f(x)的最大值為M，最小值為m，則

點(diǎn)評(píng)破解此類題的關(guān)鍵：一是巧妙變形，對(duì)所給函數(shù)的解析式進(jìn)行適當(dāng)變形；二是巧構(gòu)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的解析式所具有的明顯特征，巧妙構(gòu)造函數(shù)；三是活用性質(zhì)，即活用奇函數(shù)的性質(zhì)，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可輕松求出最值.

從以上3個(gè)角度可窺：對(duì)典型高考題從不同角度進(jìn)行變式探究，是深化知識(shí)、提升能力的重要途徑.