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        再探“等弧度三圓共點圖”*

        2018-09-07 11:09:24
        中學教研(數(shù)學) 2018年9期
        關(guān)鍵詞:共圓共線弧度

        (溫州市教育教學研究院,浙江 溫州 325000)

        筆者曾在本刊發(fā)表了題為“‘等弧度三圓共點圖’的幾個有趣性質(zhì)”和“‘等弧度三圓共點圖’中一個神奇的四點共圓”兩篇文章,給出了等弧度三圓共點圖的許多有趣性質(zhì).本文將繼續(xù)探究等弧度三圓共點圖并進一步揭示其內(nèi)在的數(shù)學性質(zhì),給出一系列有趣的四點共圓.

        圖1 圖2

        文獻[1]揭示了“黃圓圖”中隱含的一個漂亮的四點共圓:

        性質(zhì)1在“黃圓圖”中,點O1,O2,O3,D共圓.

        文獻[2]又給出性質(zhì)1中的四點共圓存在一個美妙的性質(zhì):

        本文將繼續(xù)探究“等弧度三圓共點圖”中內(nèi)在的性質(zhì),給出一系列有趣的四點共圓.

        圖3 圖4

        證明聯(lián)結(jié)MO1,NO1,O2D,O3D,MD,ND(如圖4),顯然MO1經(jīng)過點O2,NO1經(jīng)過點O3,根據(jù)性質(zhì)1可知,點O2,O1,D,O3共圓,從而

        ∠DO2O1=∠DO3O1.

        又因為∠DO2O1=2∠MDO2,∠DO3O1=2∠NDO3,所以

        ∠MDO2=∠NDO3,

        從而

        圖5 圖6

        先給出一個結(jié)論:

        ∠MAB+∠CAN+∠CAB=180°,

        即點M,N,A共線.

        下證點A,E,F(xiàn),H共線.聯(lián)結(jié)AF,AE,F(xiàn)N,EM,延長AE交⊙O1于點H′(如圖7).由FN,EM分別是⊙O3,⊙O2的直徑,知FA⊥MN,EA⊥MN,從而點A,E,F(xiàn)共線.又

        ∠H′AB=∠BAM=∠CAH′+∠CAN=90°,

        于是

        ∠H′AB=∠CAH′,

        圖7 圖8

        ∠M+∠MED=∠N+∠NFD=90°,

        ∠MED=∠NFD,

        故點O1,E,D,F(xiàn)共圓,從而

        圖9 圖10

        證明先證點O1,H,C,F(xiàn)共圓.

        ∠HO1C=∠HFC,

        因此,點O1,H,C,F(xiàn)共圓,從而

        圖11

        △BO1E≌△AO1E, ∠B=∠A.

        而O1H=O1A,于是∠A=∠H,得∠B=∠H,因此,點O1,B,H,E共圓.由

        △BO1H≌△CO1H,

        故經(jīng)過點O1,H,C,F(xiàn)的圓與經(jīng)過點O1,B,H,E的圓是等圓.

        圖12

        關(guān)于這個“黃圓圖”,肯定還有許多有趣的性質(zhì),有待數(shù)學愛好者繼續(xù)研究(見文獻[1-3]).下面我們再給出“黃圓圖”的一個性質(zhì),限于篇幅,其證明不再贅述,留給讀者完成.

        1)⊙O2,⊙O3與大圓O1分別內(nèi)切于點M,N;

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