梁英瓊

[摘 要]數(shù)學(xué)概念是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的前提.研究數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略具有實(shí)際意義.

[關(guān)鍵詞]高中數(shù)學(xué)；概念教學(xué)；策略

[中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1674-6058（2018）14-0015-02

新課標(biāo)指出：數(shù)學(xué)不僅要教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，而且還要揭示獲取知識(shí)的思維過(guò)程.在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，除了使學(xué)生掌握必要的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能外，還要注重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.要實(shí)現(xiàn)這一目的，就必須更新觀念，變結(jié)果教學(xué)為過(guò)程教學(xué)，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中要充分展示思維活動(dòng)的過(guò)程，展現(xiàn)知識(shí)的產(chǎn)生和演化過(guò)程，使課堂教學(xué)成為真正數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué).

一、 數(shù)學(xué)概念教學(xué)中應(yīng)重視概念的形成過(guò)程

學(xué)生正確理解概念是掌握知識(shí)的關(guān)鍵，是進(jìn)行判斷、推理的前提.只有概念明確，才能判斷準(zhǔn)確，才能推理有據(jù)；只有深刻理解概念，才能提高學(xué)生的解題能力.在課堂上，教師要結(jié)合學(xué)生已知的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從學(xué)生接觸過(guò)的具體內(nèi)容引入，運(yùn)用實(shí)物、模型、圖案、錄像、動(dòng)畫等向?qū)W生提供必要的感性材料，在引導(dǎo)學(xué)生觀察的同時(shí)，啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，使學(xué)生在感性認(rèn)知的基礎(chǔ)上上升為理性認(rèn)知，形成數(shù)學(xué)概念.這樣，在概念的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程中，讓學(xué)生看到思維的過(guò)程.通過(guò)分析、綜合、比較、抽象，學(xué)生就可以自己歸納出概念的本質(zhì)屬性，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

在函數(shù)概念的教學(xué)中，我們應(yīng)站在歷史發(fā)展的角度來(lái)看待函數(shù)概念的教學(xué).德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨（Leibniz，1646-1716）用[x]（自變量）去對(duì)應(yīng)[y=xn]（因變量）.即通過(guò)等式[y=xn]給出了對(duì)應(yīng)關(guān)系[x→xn]（這并沒(méi)有逃脫早期的函數(shù)定義）.法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy，1789-1857）在總結(jié)前人對(duì)具體的對(duì)應(yīng)關(guān)系的研究的基礎(chǔ)上，抓住了對(duì)應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)——“對(duì)于[x]的每一個(gè)值，都有唯一確定的[y]值與之對(duì)應(yīng)”.

初中教材中函數(shù)的定義：設(shè)在一個(gè)變化的過(guò)程中有兩個(gè)變量[x]與[y]，如果對(duì)于[x]的每一個(gè)值，[y]都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)[y]是[x]的函數(shù)，[x]叫作自變量.“[x]的每一個(gè)值，[y]都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)”仍然是一種模糊的表述，它掩蓋了[y]的“生成過(guò)程.”當(dāng)我們引入符號(hào)“[f（ ）]”來(lái)抽象地表達(dá)運(yùn)算“[（ ）2+（ ）+1]”時(shí)，對(duì)應(yīng)關(guān)系的產(chǎn)生過(guò)程就很清晰了.這種符號(hào)向我們展示了深層次的函數(shù)本質(zhì)特征.其實(shí)，函數(shù)就是一種對(duì)應(yīng)，只不過(guò)是一種特殊的對(duì)應(yīng)，特殊在：①A、B是非空數(shù)集；②數(shù)集A中的任意一個(gè)數(shù)[x]，通過(guò)對(duì)應(yīng)關(guān)系“[f] ”在集合B中都有唯一確定的數(shù)[y]與之對(duì)應(yīng).

[f（x）]表示的是對(duì)應(yīng)法則“[f（ ）]”在作用[x]；[f（x）]中的[x]應(yīng)該是在[x]的取值范圍A中，只有當(dāng)[x]在函數(shù)的定義域中時(shí)，符號(hào)[f（x）]才有意義，即[f（x）]的[x]必在定義域中（這是一個(gè)十分重要的蘊(yùn)含關(guān)系）.

二、數(shù)學(xué)概念教學(xué)中要重視變式的應(yīng)用

概念的變式教學(xué)，使學(xué)生進(jìn)一步深入透徹地理解概念，辨別概念各要素間的聯(lián)系，并能運(yùn)用概念進(jìn)行解題，也能使學(xué)生簡(jiǎn)縮解題過(guò)程，從而提高學(xué)生思維的敏捷性.

【例1】 已知△ABC的邊長(zhǎng)BC的長(zhǎng)為8，周長(zhǎng)為18，求頂點(diǎn)A的軌跡方程.

變式1：已知橢圓的方程為 [x225+y29=1]，點(diǎn)P為橢圓任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為多少？

變式2：已知橢圓的方程為 [x225+y29=1]，[F1，F(xiàn)2]分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)， CD為過(guò)[F1]的弦，且[∠CF1F2=θ，（0<θ<π）]，則[△F2CD]的周長(zhǎng)為多少？

變式3：若將“周長(zhǎng)為18”改為“[b，a，c]三邊成等差數(shù)列”，求頂點(diǎn)A的軌跡方程.

變式4：若將“周長(zhǎng)為18”改為“[sinB+sinC=2sinA]”，求頂點(diǎn)A的軌跡方程.

變式5：若將已知改為“△ABC的邊長(zhǎng)BC的長(zhǎng)為8，要使點(diǎn)A的軌跡為橢圓可添加什么條件？”

在概念教學(xué)中，要從感性認(rèn)識(shí)開(kāi)始，使學(xué)生對(duì)概念表象再上升到理性認(rèn)識(shí)，并在“理解”與“使用”的多次反復(fù)中深刻理解概念.

三、教材例題教學(xué)中要重視分析、探索過(guò)程

在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)注意創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，從具體實(shí)例出發(fā)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，使學(xué)生能夠從中體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的思維過(guò)程，也能使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過(guò)程，從而了解知識(shí)的來(lái)龍去脈.

【例2】 已知[f（x）=3x]，求證：

（1）[f（x）f（y）=f（x+y）]；

（2）[f（x）÷f（y）=f（x-y）]是否有[f（x）f（y）=f（x+y）][?][f（x）÷f（y）=f（x-y）]？

教學(xué)中教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：是否只有[2x]，[3x]滿足關(guān)系[f（x）f（y）=f（x+y）]呢？

【例3】 已知定義域?yàn)閇R]的函數(shù)[f（x）]滿足[f（x）f（y）=f（x+y）]，且存在[x=c]使[f（c）≠0]，求函數(shù)[f（x）].

通過(guò)賦值法，我們可以證明[f（nx）=[f（x）]n][?][f1n=[f（1）]1n][?][fmn=[f（1）]mn]，從而得出一般結(jié)論.

結(jié)論1：當(dāng)[x]為正有理數(shù)時(shí)，[f（x）=ax（a>0]且[a≠1）].又由[f（0）=a0=1]，[f（x）=ax]也成立.

結(jié)論2：當(dāng)[x]為負(fù)有理數(shù)時(shí)，[f（x）=ax（a>0]且[a≠1）].

結(jié)論3：已知定義域?yàn)閇R]的連續(xù)單調(diào)函數(shù)[f（x）]滿足[f（x）f（y）=f（x+y）]，且存在[x=c]使[f（c）≠0]，則[f（x）=ax（a>0]且[a≠1）]，[x∈R].

我們可以通過(guò)此例引導(dǎo)學(xué)生完成高中階段對(duì)抽象函數(shù)關(guān)系的所有討論.

好的數(shù)學(xué)教學(xué)不能僅僅局限于教學(xué)生解題，應(yīng)該讓學(xué)生通過(guò)解題，明白一些原理，學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度思考問(wèn)題，這是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的領(lǐng)悟.一節(jié)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)課，猶如一段美妙的旋律，給人一種神奇的、美的體驗(yàn).高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該呈現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，跳出題海，回歸本源，切實(shí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)“知識(shí)與技能，過(guò)程、方法與解決問(wèn)題的能力以及學(xué)生的情感、態(tài)度與價(jià)值觀”的和諧發(fā)展.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）