柯志堅(jiān)

【摘 要】高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心是學(xué)生思維能力的培養(yǎng)， 只有學(xué)生思維效率的提高，才能提高課堂教學(xué)效率，也才能使每個(gè)學(xué)生得到充分自主的發(fā)展。本文就在課堂中如何引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)豐富聯(lián)想、訓(xùn)練發(fā)散思維、啟發(fā)學(xué)生深入探究、最終實(shí)現(xiàn)飛躍，談?wù)勛约簬c(diǎn)粗淺的認(rèn)識(shí)。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；引領(lǐng)思維；數(shù)學(xué)語(yǔ)言；聯(lián)想；數(shù)學(xué)思想；歸納

研究背景：經(jīng)常有學(xué)生這樣說(shuō)：“高中理科數(shù)學(xué)，總是在考試時(shí)想不到那里去，看了答案后才明白，但換個(gè)題又想不到那里?！边€有一種聲音：“高中每次數(shù)學(xué)考試都太難了，都做不完”這種現(xiàn)象主要原因在于學(xué)生的思維效率不高，基于此，如何在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)將觸角延伸到學(xué)生的思維層次，提高學(xué)生思維效率，使學(xué)生在解題中能迅速地想到解題思路，縮短解題時(shí)間從而提高數(shù)學(xué)成績(jī)，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

思維效率，簡(jiǎn)言之就是在思維過(guò)程中的投入與產(chǎn)出之比。它是高中生對(duì)數(shù)學(xué)思維過(guò)程及其結(jié)果的一種綜合評(píng)定，是質(zhì)與量的統(tǒng)一。從量上講它是對(duì)高中學(xué)生解題速度的一種綜合測(cè)評(píng)；從質(zhì)上講，它是對(duì)高中學(xué)生思維結(jié)果的質(zhì)量如嚴(yán)密性、深度、廣度、正確度的評(píng)價(jià)。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》要求：“數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維和創(chuàng)新能力方面不可替代的作用。”著名教育心理學(xué)家布魯納指出：數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是“思維”的教學(xué)，數(shù)學(xué)的核心價(jià)值是發(fā)展人的思維，使人變聰明，思維更加嚴(yán)密。那么在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何提高學(xué)生的思維效率，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會(huì)由“想不到”迅速變?yōu)椤跋氲健苯忸}的明確方向，找到更加簡(jiǎn)潔的思路，筆者認(rèn)為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中主要引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會(huì)以下幾種思維習(xí)慣：

1.引領(lǐng)學(xué)生養(yǎng)成審題時(shí)對(duì)三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化的習(xí)慣

從數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)形式主要分為文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖式語(yǔ)言三種，準(zhǔn)確把握文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖式語(yǔ)言的特點(diǎn)，靈活地對(duì)三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行轉(zhuǎn)換，是提高數(shù)學(xué)解題能力的關(guān)鍵。筆者認(rèn)為這是數(shù)學(xué)思維的發(fā)展的起點(diǎn)。因此在教學(xué)時(shí)要引領(lǐng)學(xué)生對(duì)三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言及其它們之間的關(guān)系所表達(dá)的含義進(jìn)行認(rèn)真分析、仔細(xì)推敲，實(shí)現(xiàn)三種語(yǔ)言進(jìn)行轉(zhuǎn)化。這在教學(xué)上是常規(guī)現(xiàn)象，教師都要處處時(shí)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化，在此不過(guò)多累述。

2.引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生有價(jià)值的聯(lián)想

不少高中生對(duì)數(shù)學(xué)的基本定理、公理、公式及性質(zhì)都爛熟于胸，但解題時(shí)不知從何入手，其重要原因是不能對(duì)題意進(jìn)行合理、全方位的聯(lián)想。因此有必要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)產(chǎn)生有價(jià)值的聯(lián)想，找到解題突破口。

2.1審清題意的顯性條件，聯(lián)想發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的隱性條件

善于根據(jù)題意的顯性條件去聯(lián)想與其有關(guān)的定理、定義及性質(zhì)，從而轉(zhuǎn)化得到一些有利于解題的隱性條件，并要觀察結(jié)論的形式特征，盡量把聯(lián)想到的向結(jié)論靠攏。

例1：已知雙曲線■-■=1（a，b>0），過(guò)x軸上點(diǎn)P的直線L與雙曲線的右支交于M，N兩點(diǎn)（M在第一象限），直線MO交雙曲線左支于點(diǎn)Q（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），連接QN。若∠MPO=60■，∠MNQ=30■，則該雙曲線的離心率為_(kāi)____。

師：由題“已知雙曲線”想到什么？

生1：雙曲線的定義、性質(zhì)。

師：根據(jù)題意，我們要先怎么做？

生：數(shù)形結(jié)合（文字語(yǔ)文轉(zhuǎn)化成圖形語(yǔ)言）

師：由“∠MPO=60■，∠MNQ=30■，”想到什么？

生2：解三角形；

生3：角度轉(zhuǎn)化為斜率。

師：“則該雙曲線的離心率”怎么求？

生4：找出一個(gè)關(guān)于a，b，c的“齊次式”。

師：你們的聯(lián)想哪個(gè)較有價(jià)值？

生5：生1聯(lián)想的定義沒(méi)價(jià)值，因?yàn)轭}目與焦點(diǎn)無(wú)關(guān)；應(yīng)是生1提到的性質(zhì)中的雙曲線的中心對(duì)稱性較有價(jià)值。生2的解三角形MNQ有角沒(méi)邊，解不了三角形，應(yīng)是生3提到的角度與斜率有關(guān)?？梢灾繩■=-■。

生6：“點(diǎn)o是MN的中點(diǎn)”，可以想到構(gòu)造△MPQ中位線。取MN的中點(diǎn)G，連OG，如圖（2）可以得到∠OGM=∠MNQ=30■從而可得到∠POG=∠OGM=∠MNQ=30■即得K■=-■。由“點(diǎn)差法”。易得：K■·K■=1，∴e■=1+■=2。

當(dāng)然教師也可以再適當(dāng)?shù)匕l(fā)散學(xué)生的思維進(jìn)行變式練習(xí)，將雙曲線變?yōu)闄E圓或圓等。

2.2引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會(huì)“執(zhí)果索因，尋根求源”的思維方式

分析和解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)“不要忘記為何出發(fā)”，也就是要從結(jié)論出發(fā)，逐步地追溯使結(jié)論成立的條件，反映在解法上就是分析法，也稱之為逆推法。筆者認(rèn)為“執(zhí)果索因”的方法不僅是數(shù)學(xué)解題的思維方式，也是生活中的思維方式，它能使人更聰明。培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力。

例2：證明：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。

已知：α⊥β，a α，α∩β=b，a⊥b，求證：a⊥β。

分析：要證明這個(gè)面面垂直的性質(zhì)定理，不少高一學(xué)生會(huì)無(wú)從下手，教師可以這樣引導(dǎo)。

師：如何證α⊥β？

生：只需證a垂直β內(nèi)的兩條相交直線。

師：題目只有a⊥b，怎么辦？ 生：創(chuàng)造一條。

師：如何創(chuàng)造這一條？還需要關(guān)注題目的哪個(gè)條件？

生：由α與β所成的二面角的平面角為90■，過(guò)a和b的交點(diǎn)O

在β面內(nèi)做b的垂線c，由二面角的定義可得a⊥c如圖3所示，進(jìn)而得到證明。

3.引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)并運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想分析問(wèn)題

高考解題需要靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法才能突破。教學(xué)的時(shí)候應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生先認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的七大重要思想，如什么是函數(shù)與方程、分類與整合、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、特殊與一般、有限與無(wú)限這七大思想的意義。此處重點(diǎn)舉例函數(shù)與方程的思想和轉(zhuǎn)化歸的思想在課堂教學(xué)中的滲透。

3.1重視滲透函數(shù)的思想，提升學(xué)生的思維效率

函數(shù)與方程思想就是通過(guò)函數(shù)問(wèn)題與方程問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化，從而解決問(wèn)題的一種思維方式。簡(jiǎn)單的講就是“設(shè)量、找等量關(guān)系、消元、構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)、用函數(shù)的圖象或性質(zhì)分析解決問(wèn)題?！保龑?dǎo)學(xué)生應(yīng)用思想方法分析，讓學(xué)生的思維多點(diǎn)開(kāi)花，迅速找到解題最佳途經(jīng)。

例3：在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，角A=■，若D為BC上一點(diǎn)，且A=■且■=2■，b=3，AD=■，求a。

師：此題應(yīng)當(dāng)如何分析呢？

生1：求值問(wèn)題求范圍問(wèn)題應(yīng)當(dāng)用函數(shù)與方程的思想來(lái)分析解題。

生2：以數(shù)解形的數(shù)形結(jié)合的思想，題目有A=■即可建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。

師：除了這兩種思想，那還有沒(méi)有其它聯(lián)想呢？

生3：由題意中有向量、模長(zhǎng)和角度，可選擇用向量基底表示來(lái)解此題。

生4：點(diǎn)D為BD的三等分點(diǎn)，想到做輔助線，構(gòu)造兩個(gè)三角形相似。

師：同學(xué)們分別用這幾種思想對(duì)比下，時(shí)間有限，你們認(rèn)為哪種方法最快呢？大家試試。

思路1：函數(shù)與方程的思想的應(yīng)用

生5：題目中角A=■且■=2■，b=3，AD=■，為了求出目標(biāo)需要知道|AB|。

第一步：設(shè)量：可設(shè)|AB|=C，但用公式時(shí)還需要進(jìn)行設(shè)BD=x則BD=2x，BC=3x。

第二步：找兩個(gè)等量關(guān)系：有三個(gè)等量，找三個(gè)等量關(guān)系。在△ABD，和△ABC中，

由余弦定理cosB=■=■得：3x■-c■+27=0 （1）

或者由cos∠BDA=-cos∠CDA=■=-■得3x■-c■+27=0 （1）

在△ABC中，由余弦定理得：9x■=c■+9-3C （2）

第三步：消元：聯(lián)立（1）、（2）可求出a=3x=3■。

當(dāng)然還可以有以下思路如：

思路2：數(shù)形結(jié)合，以數(shù)輔形

以A為原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸建立如圖直角坐標(biāo)系，如圖7所示：設(shè)B（x，0），易求出C坐標(biāo)并用x表示點(diǎn)D的坐標(biāo)由|AD|=■得x=6，在△ABC中，由余弦定理得a=BC=3■。

思路3：聯(lián)想到向量法

以■，■為基底，則■=■■+■■又■■=21，得：■AB■+■（AB）+1=21，可得■=6。

思路4：初中的補(bǔ)割法

如圖8，過(guò)D作DE//AC交AB于E，通過(guò)相似比，可發(fā)現(xiàn)∠EDB=∠ACB=90■得解。

3.2引領(lǐng)學(xué)生善于化“陌生”為“熟悉”，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思維方式

在高中數(shù)學(xué)解題中所用到的數(shù)學(xué)思想其實(shí)歸根結(jié)底都是化歸思想因此化歸思想是高中階段數(shù)學(xué)思想的精髓。

例4：（2015全國(guó)Ⅰ卷理12）設(shè)函數(shù)f（x）=e■（2x-1）-ax+a，其中a≤1，若存在唯一的整數(shù)x■，使得f（x■）<0，則a的取值范圍是___。

分析1：考慮轉(zhuǎn)化為e■（2x-1）

分析2：考慮用較為熟悉的“參數(shù)分離法”技巧，分離成一個(gè)可通過(guò)求導(dǎo)畫(huà)出草圖的定曲線h（x）=■和參數(shù)a，但須要進(jìn)行分類討論。

略解1：設(shè)g（x）=e■（2x-1），h（x）=a（x-1），由題知存在唯一的整數(shù)x■，使得g（x■）在直線h（x）的下方.易畫(huà)出g（x）的草圖如圖9所示，求出g（x）■=-2e■，且g（x）過(guò)點(diǎn)A（0，-1），B（-1，-■）。直線h（x）恒過(guò)點(diǎn)P（1，0），由圖象可得故K■≤a

略解2：當(dāng)x>1時(shí)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)x■，使得h（x■）■

可得函數(shù)h（x）在（1，+∞）的草圖如圖10所示，可得h（x）■=h（■）=4e■>1，舍去

當(dāng)x=1時(shí)，h（1）=e>1，舍去。當(dāng)x<1時(shí)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)x■，使得h（x■）

可得h（x）■=h（0）=1，h（-1）=■，如圖11所示，即■≤a<1。

4.要求并引導(dǎo)學(xué)生自我歸納總結(jié)提升

歸納的意義在于抓住本質(zhì)，切中要害，由表及里，以此及彼，去粗取精，抓住主線，不僅在題型的歸納，更在于如何思維的歸納，使學(xué)生的解題效率更高，數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到提升。

總之，在傳統(tǒng)的教學(xué)中，一堂課下來(lái)很多教師的做法是直接灌輸，講好幾道題，教學(xué)效率看似很高，但學(xué)生的基本技能、數(shù)學(xué)方法、科學(xué)的探究以及解決問(wèn)題的思維能力沒(méi)有得到發(fā)展。因此，在高中教學(xué)中更要強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣，除了數(shù)學(xué)知識(shí)的攝入，還應(yīng)通過(guò)引導(dǎo)、聯(lián)想、發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)燃學(xué)生的智慧，挖掘?qū)W生的潛力，提高思維效率，實(shí)現(xiàn)真正意義上的素質(zhì)提高。

【參考文獻(xiàn)】

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