【摘 要】Geogebra軟件作為一款集代數(shù)、幾何、概率統(tǒng)計(jì)、微積分等內(nèi)容于一體，源代碼開放可跨多平臺(tái)使用的免費(fèi)數(shù)學(xué)軟件，近幾年頗受歡迎，普及率逐年遞增。如此優(yōu)秀的一款軟件如何在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的各個(gè)環(huán)節(jié)中實(shí)施有效的輔助，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)概念的有效學(xué)習(xí)，本文結(jié)合具體實(shí)例進(jìn)行探討。

【關(guān)鍵詞】 Geogebra軟件；數(shù)學(xué)概念；有效學(xué)習(xí)

一、Geogebra軟件的特點(diǎn)與優(yōu)勢

Geogebra軟件自2001年由設(shè)計(jì)者開發(fā)至今，經(jīng)過了十多年的發(fā)展已在世界上獲得了無數(shù)各類獎(jiǎng)項(xiàng)，從問世開始一直堅(jiān)持開源免費(fèi)的發(fā)展思想，正是這種互聯(lián)網(wǎng)共享的開發(fā)模式不但吸引數(shù)學(xué)軟件界的精英加入研發(fā)團(tuán)隊(duì)，也使世界各地的學(xué)習(xí)者對其發(fā)展都積極貢獻(xiàn)自己的綿薄之力。對眾多語言的支持和多平臺(tái)的融合與兼容，也為軟件的更快推廣提供了技術(shù)保障。相對于幾何畫板、超級(jí)畫板等數(shù)學(xué)軟件，Geogebra不但界面友好易于初學(xué)者入手，同時(shí)能夠完成的數(shù)學(xué)功能也非常豐富，而且版本更新與完善的升級(jí)速度特別快，也適于高手的創(chuàng)造性學(xué)習(xí)。目前Geogebra不但有pc版、在線版還最新開發(fā)了平板版與手機(jī)版，更利于在信息化的課堂教學(xué)與學(xué)習(xí)中發(fā)揮技術(shù)優(yōu)勢，更加多元的進(jìn)行有效輔助。

二、數(shù)學(xué)概念有效學(xué)習(xí)的涵義

在概念的學(xué)習(xí)過程中，深刻體會(huì)概念產(chǎn)生的背景，獲得對概念的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，領(lǐng)悟概念內(nèi)涵的意義與概念外延的拓展，形成明確的概念表象并通過概念的應(yīng)用更進(jìn)一步的理解并深化認(rèn)識(shí)，與已有概念建立恰當(dāng)而準(zhǔn)確的聯(lián)系環(huán)環(huán)相扣、層層深入，從而形成條理清晰邏輯明確的概念結(jié)構(gòu)，繼而達(dá)到對數(shù)學(xué)概念的有效學(xué)習(xí)。

三、Geogebra軟件如何在數(shù)學(xué)概念有效學(xué)習(xí)的各個(gè)環(huán)節(jié)中輔助

1.豐富概念的引入

引入是概念學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)，合情合理的動(dòng)態(tài)情景可以幫助學(xué)習(xí)者體會(huì)概念生成的過程及相關(guān)背景，理解概念生成的必要性從而心悅誠服地接受并認(rèn)同。在圓錐曲線的引入中，如何讓學(xué)習(xí)者理解幾種圓錐曲線是由一個(gè)平面截圓錐得到的，并非易事僅僅依靠一成不變的靜態(tài)呈現(xiàn)也許不能很好的為學(xué)習(xí)者答疑解惑。利用Geogebra的3D繪圖功能便能恰當(dāng)?shù)慕鉀Q這種動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)的迫切需要，可以快速的繪制圓錐并通過命令欄輸入命令語句建立平面和平面的運(yùn)動(dòng)軌跡，再通過滑動(dòng)條的拖動(dòng)使平面與圓錐的相交曲線實(shí)時(shí)變化，讓學(xué)習(xí)者充分的領(lǐng)悟截面形成圓、橢圓、雙曲線、拋物線所滿足的不同條件，使概念的學(xué)習(xí)生機(jī)盎然。

2.體驗(yàn)概念的形成

概念的形成是學(xué)習(xí)者通過自身的直觀感覺或者某方面的知覺，感受概念表象的基礎(chǔ)上多重整合，從而進(jìn)一步的分析、整理、篩選、提煉出概念的本質(zhì)為抽象概括奠定一定的認(rèn)知基礎(chǔ)。利用祖暅原理的重要方法對球的體積公式的推理過程教材中是以閱讀材料的方式給出的，雖未要求掌握但不少學(xué)習(xí)者還是很有興趣深入理解并探索的，運(yùn)用傳統(tǒng)教學(xué)方式的嚴(yán)謹(jǐn)演繹推導(dǎo)未嘗不可，滿足科學(xué)性卻相對耗時(shí)耗力，顯然想尋求更合理的處理方式。利用Geogebra的度量功能就可以比較快速的完成驗(yàn)證，同時(shí)Geogebra強(qiáng)大的3D作圖功能也使圖形唾手可得毫不費(fèi)時(shí)費(fèi)力，為此類探究性問題提供了一種務(wù)實(shí)、高效的解決途徑。

3.啟發(fā)概念的概括

概念的概括是通過對表象的分析理解從一類具有諸多相同屬性的對象中抽象概括出其本質(zhì)屬性，并能借助升華后的思維模式與方法將其適時(shí)的運(yùn)用到屬性相同的對象中去。函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念在高中階段是由其幾何意義出發(fā)引出的，由于其抽象程度較高有別于高中階段大多的概念定義形式而難于概括，其出發(fā)的是割線斜率為函數(shù)值的平均變化率，切線斜率即函數(shù)的瞬時(shí)變化率即為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用Geogebra軟件的恰當(dāng)設(shè)計(jì)可以將這一過程，連續(xù)而動(dòng)態(tài)的表現(xiàn)出來，數(shù)與形的同步變化也會(huì)促進(jìn)學(xué)習(xí)者對概念形式的直觀猜想與歸納，從而衍生出更貼切的形式化概括。平面向量基本定理是向量體系的基礎(chǔ)，對向量的后繼學(xué)習(xí)意義非凡但究其形式也相對不易提煉，其中涉及的數(shù)量與向量的計(jì)量與運(yùn)算也較繁雜，借助Geogebra強(qiáng)大的計(jì)算功能將其中的狀態(tài)對應(yīng)形式準(zhǔn)確量化，親身體驗(yàn)變化中的不變與規(guī)律，在Geogebra輔助下完成對定理文字?jǐn)⑹龅臏?zhǔn)確提煉，并自主發(fā)現(xiàn)其特殊情況與約束條件達(dá)到深入的理解概括。

4.深化概念的理解

概念的理解是結(jié)合一些適合的具體實(shí)例與變式，使學(xué)習(xí)者對概念所蘊(yùn)含的多層次意義與所能展開的多角度延伸，聯(lián)系相應(yīng)的表示形式與直觀圖像形成具體的、動(dòng)態(tài)的、邏輯條理清晰的概念意象。在現(xiàn)行的高中階段教材中，對定積分的要求是結(jié)合具體的連續(xù)函數(shù)，由求解相關(guān)曲邊梯形的面積和的極限為出發(fā)點(diǎn)，期望學(xué)習(xí)者理解定積分的概念。這類復(fù)雜度高略顯抽象且敘述起來較為冗長，出錯(cuò)率高計(jì)算量大的概念學(xué)習(xí)容易流于形式不易深入。借助Geogebra學(xué)習(xí)者可以自己動(dòng)手將曲邊梯形任意分割成n個(gè)部分，求在一個(gè)區(qū)間范圍內(nèi)的積分上和與相應(yīng)的積分下和比較，體會(huì)從兩個(gè)方向無限接近于定積分的一個(gè)動(dòng)態(tài)變化及無限趨近的極限思想。整個(gè)過程中避免運(yùn)算錯(cuò)誤及繁雜化簡帶來的厭倦感，為概念本質(zhì)與核心的深入理解掃清了障礙，Geogebra軟件的技術(shù)支持使定積分的概念更加易于被學(xué)習(xí)者深入的理解，也為學(xué)習(xí)者大學(xué)階段對微積分的進(jìn)一步探索提供了可借鑒的平臺(tái)，這種支持是可以延續(xù)且終身受益的寶貴財(cái)富。

5.探索概念的應(yīng)用

將概念運(yùn)用到千變?nèi)f化的問題情境中，并在具體環(huán)境中提煉甄別反饋，在靈活變通的各類問題中追根溯源形成對概念的再認(rèn)識(shí)，提升概念的理解水平尋找與已有知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)千絲萬縷的聯(lián)系，鞏固理解同時(shí)創(chuàng)造性的運(yùn)用概念探索解決問題的新途徑。如探究圓周率的近似值，古往今來在數(shù)學(xué)發(fā)展的任何階段都是數(shù)學(xué)家嘔心瀝血孜孜以求的一個(gè)重要問題，也是弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化價(jià)值的一個(gè)優(yōu)秀案例，是概率的定義與定積分概念靈活運(yùn)用的典例。因其難于省時(shí)而準(zhǔn)確的模擬問題情境，在高中階段的教學(xué)中實(shí)現(xiàn)適時(shí)滲透絕非易事，借助技術(shù)優(yōu)勢便可解決這一矛盾。利用Geogebra可以輕松實(shí)現(xiàn)大量重復(fù)試驗(yàn)的隨機(jī)模擬與定積分的逼近求和，如可借助幾何概率模型模擬在正方形與其內(nèi)切圓中撒豆子的實(shí)驗(yàn)，體驗(yàn)概率意義下的簡單估計(jì)方法。又如可用Geogebra體會(huì)祖沖之割圓術(shù)中的夾逼思想，結(jié)合曲邊梯形的積分上下和構(gòu)造這一趨勢形成對割圓術(shù)所蘊(yùn)含的豐富思想的深刻領(lǐng)悟與啟示，讓學(xué)習(xí)者充分體驗(yàn)與探究，使他們在對概念的科學(xué)探索中不斷進(jìn)步。

6.建構(gòu)概念的結(jié)構(gòu)

要達(dá)到對概念結(jié)構(gòu)的有效建構(gòu)，需要將新概念與已有知識(shí)建立起廣泛而深入的聯(lián)系，既要理清他們的關(guān)系也要明確他們之間的區(qū)別，從不同的角度進(jìn)行深入分析，從不同的方向進(jìn)行廣泛的整合，使概念在頭腦中的表征更加明了，從而有機(jī)而高效的整合形成新的概念結(jié)構(gòu)和更完備的知識(shí)體系。高中階段對圓錐曲線的學(xué)習(xí)是對橢圓、雙曲線、拋物線三種圓錐曲線分別深入探討后尋求他們的統(tǒng)一定義與共同性質(zhì)的建構(gòu)。圓錐曲線統(tǒng)一定義的具體實(shí)施與學(xué)習(xí)的過程卻并不輕松，甚至有些學(xué)習(xí)者理解起來也是困難重重，借助Geogebra操作恰當(dāng)?shù)姆诸惻c整合、自主探索、小組合作、資源共享設(shè)計(jì)適合學(xué)習(xí)者的操作流程，可以輔助學(xué)習(xí)者尋找相互關(guān)系，全方位多視角的建構(gòu)知識(shí)之間的聯(lián)系，完善知識(shí)體系。

四、研究的展望

本文主要探討Geogebra軟件在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的各個(gè)環(huán)節(jié)中如何有效的輔助，Geogebra軟件在解題的學(xué)習(xí)等其他形式的教與學(xué)過程中如何更好地發(fā)揮技術(shù)優(yōu)勢，還有待進(jìn)一步研究，同時(shí)Geogebra軟件的平板版和手機(jī)版的廣泛應(yīng)用，也必將改變技術(shù)參與學(xué)習(xí)的傳統(tǒng)形式，相信在不久的將來，技術(shù)的輔助以傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)形式會(huì)更加相得益彰。

【參考文獻(xiàn)】

[1]李丹.Geogebra軟件輔助數(shù)學(xué)概念理解性學(xué)習(xí)的研究[D].福州：福建師范大學(xué)，2014