孫朝仁 朱桂鳳

摘要：基于三節(jié)優(yōu)秀課例的分析，從美的一般概念出發(fā)，數(shù)學(xué)課堂的素養(yǎng)屬性可劃分為抽象屬性、推理屬性以及模型屬性，由此反映“有素養(yǎng)”數(shù)學(xué)課堂的三個(gè)美學(xué)特征，即溶解美特征、自由美特征以及無限美特征。

關(guān)鍵詞：素養(yǎng)課堂；美學(xué)特征；數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2018）05A-0061-04

近期，《中國(guó)教育報(bào)》刊發(fā)了《尋找核心素養(yǎng)落地的力量》一文，指出“將中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的統(tǒng)一要求，轉(zhuǎn)化為學(xué)校教育教學(xué)過程中具象的內(nèi)容，就是核心素養(yǎng)的校本表達(dá)”。這里，研究者對(duì)核心素養(yǎng)范疇的“關(guān)鍵能力”進(jìn)行了共識(shí)性確認(rèn)，主要包括：注意能力、反應(yīng)能力、學(xué)會(huì)思考能力、元認(rèn)知監(jiān)控能力、價(jià)值體系性格化能力。同時(shí)，這些能力與“校本表達(dá)”之間還需要添加“人性美”的表達(dá)層次屬性，方能讓抽象的核心素養(yǎng)目標(biāo)得以真正落地。當(dāng)然，在學(xué)科教學(xué)范疇，核心素養(yǎng)目標(biāo)通常表現(xiàn)為“有素養(yǎng)”教育的無限傾向性特征。一般說來，數(shù)學(xué)課堂的素養(yǎng)屬性可劃分為抽象屬性、推理屬性以及模型屬性，涉及數(shù)學(xué)教育美的一般特征，即溶解美特征、自由美特征以及無限美特征。

本研究以優(yōu)秀課例為分析承載體，從美的一般概念出發(fā)，探討數(shù)學(xué)課堂素養(yǎng)教育的美學(xué)特征，以此示范“有素養(yǎng)”屬性課堂的操作量規(guī)，落實(shí)顯性素養(yǎng)目標(biāo)，即現(xiàn)代公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)。其中，“關(guān)鍵能力”是核心素養(yǎng)的外在表現(xiàn)，是素養(yǎng)屬性的可替代概念，包括抽象（注意行為與反應(yīng)行為）、推理（學(xué)會(huì)思考行為）、模型（元認(rèn)知監(jiān)控行為）及其思想觀念（價(jià)值體系性格化行為）。

一、溶解美特征

“數(shù)學(xué)抽象”[1]是高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組專家提出的6種核心素養(yǎng)中的一種，屬于“文化修養(yǎng)”[2]范疇，是初中段數(shù)學(xué)概念形成的思維支架，始終支配著概念的形成過程。在有素養(yǎng)教育范疇，數(shù)學(xué)抽象屬性起于概念發(fā)生的沖突內(nèi)需，終于思維素養(yǎng)定向的邏輯變遷?？梢哉f，數(shù)學(xué)概念得以抽象的過程就是學(xué)生接受“刺激-反應(yīng)”，發(fā)現(xiàn)對(duì)象本質(zhì)屬性的過程。當(dāng)然，這一過程既有“天光云影共徘徊”的師生融通行為，也有客觀化的概念溶解美特征。

在學(xué)科教學(xué)范疇，數(shù)學(xué)抽象是舍去了事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過程，主要包括從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出概念及概念之間的關(guān)系，從事物具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)予以表征。[3]而這些“關(guān)系”“結(jié)構(gòu)”“符號(hào)”以及“術(shù)語(yǔ)”本身就是一種再抽象，這就給概念的“形成”帶來思維層面的悱憤困難，如能將抽象行為提高到審美高度，則有溶解美特征的概念產(chǎn)生，進(jìn)而自然實(shí)現(xiàn)“天光云影共徘徊”的數(shù)學(xué)課堂境界美。其中，師生在有意注意和無意注意的交流形態(tài)中，成就了概念的可形成與可使用狀態(tài)。為此，有素養(yǎng)數(shù)學(xué)教育課堂需要體現(xiàn)三個(gè)層面的溶解美特征：一是先行組織材料要符合美的一般抽象特征；二是認(rèn)知、情感和動(dòng)作技能3個(gè)領(lǐng)域的目標(biāo)的設(shè)置要呈現(xiàn)層次屬性；三是實(shí)施認(rèn)知導(dǎo)向型理念，滲透抽象美的一般行為，踐行“因人施教”“因材施教”的美學(xué)認(rèn)知抽象。

我們不妨以“一元一次不等式組”起課模塊為例，說明“天光云影共徘徊”的抽象過程美的一般特征。這里的“天光云影”特指師生慢格調(diào)的思維溶解，“徘徊”則是概念得以“完形”抽象和再抽象的向美形態(tài)。溶解美的思維線索簡(jiǎn)概如下：首先，讓學(xué)生通過比較教師與學(xué)生的身高這一來源現(xiàn)實(shí)的問題，建立不同形式的不等關(guān)系，進(jìn)而獲得不等式組的結(jié)構(gòu)成分，并用規(guī)范的數(shù)學(xué)言語(yǔ)描述主概念（一元一次不等式組），進(jìn)一步舉例說明不等式組的形態(tài)特征；其次，讓學(xué)生在畫圖中，結(jié)合“數(shù)”“形”思想方法，直觀感受不等式組的解集確立的方法體系，進(jìn)而在具象言語(yǔ)描述（同大取大；同小取??；比大的小，比小的大，取中間；比小的小，比大的大，無解）的背景下，落實(shí)符號(hào)化表達(dá)的一般意義；再次，讓學(xué)生任意寫一個(gè)簡(jiǎn)單的二元一次方程組和一元一次不等式組，比較方程組的解與不等式組的解集之間的差異，支持課堂主體間的合作學(xué)研；最后，通過“學(xué)以致用”板塊，討論不等式組解集確立的基本使用范式，以此把握一元一次不等式組及其相關(guān)概念的“全息”意義。

教育即生活，生活是美的抽象來源，有素養(yǎng)數(shù)學(xué)教育當(dāng)是如此?？死刮譅枏拿赖某橄竽繕?biāo)出發(fā)，將情感領(lǐng)域的目標(biāo)，從低到高劃分為5個(gè)屬性層次：一是注意，二是反應(yīng)，三是價(jià)值化，四是組織，五是價(jià)值與價(jià)值體系性格化。具體到有素養(yǎng)數(shù)學(xué)課堂，注意與反應(yīng)屬于一維抽象目標(biāo)，價(jià)值化與組織屬于二維抽象目標(biāo)，價(jià)值與價(jià)值體系性格化屬于三維抽象目標(biāo)。如果說，由比較師生身高要素行為抽象出概念的初始形態(tài)，是一種先行組織美的話，那么通過直觀的數(shù)軸確立不等式組解集的過程，是一種思維情感凸顯溶解美的具體表現(xiàn)。而“任意寫+用概念”行為則是認(rèn)知導(dǎo)向理念得以有序?qū)嵤┑耐庠诒憩F(xiàn)，以落實(shí)人人學(xué)好數(shù)學(xué)的素養(yǎng)取向目標(biāo)。其中，先行組織美與注意、反應(yīng)心理成分顯著相關(guān)，屬于一級(jí)抽象目標(biāo)；“數(shù)”與“形”的交替使用與價(jià)值傾向、自組織系統(tǒng)正向溶解，屬于二級(jí)抽象；“經(jīng)世致用”思想落地與性格化價(jià)值體系具有內(nèi)部關(guān)系一致性，屬于三級(jí)抽象，這些抽象屬性的完善過程就是概念溶解美的實(shí)現(xiàn)過程，體現(xiàn)了有素養(yǎng)教育的數(shù)學(xué)課程目標(biāo)。

二、自由美特征

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，推理是思維的基本運(yùn)作狀態(tài)。數(shù)學(xué)推理屬性起于問題思路的探索，終于數(shù)學(xué)結(jié)論的邏輯運(yùn)演。其間，“探路”的過程帶有規(guī)則性自由特征，而“運(yùn)演”則是一種“眾里尋她千百度”的思維情結(jié)。事實(shí)上，推理一直是認(rèn)知心理學(xué)和中觀數(shù)學(xué)教育研究的話題，林崇德先生在中小學(xué)生邏輯思維能力的發(fā)展方面做了大量研究，得到一些有價(jià)值的結(jié)論。在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》看來，推理能力應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，推理是思維的基本方式。推理涵蓋“合情”和“演繹”兩個(gè)維度成分，前者是從事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比推斷出某些結(jié)果及其結(jié)果關(guān)系；后者從事實(shí)性命題和確定的規(guī)則出發(fā)，按照邏輯秩序進(jìn)行定向證明或計(jì)算推理，終于數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)與使用。

確切地說，人們只有通過美才能走向思維自由，才能激發(fā)出“眾里尋她千百度”的推理情緒。換言之，推理是現(xiàn)代公民必備的思考方式，知覺沖突需要推理、表象建立需要推理、數(shù)學(xué)思考更需要推理。獨(dú)立思考是好奇心和求知欲的就緒狀態(tài)，而學(xué)會(huì)思考則支配著自由思維的一切存在形式，契合了“眾里尋她千百度”的情意信念。懷特海認(rèn)為，“教育不是往行李箱里塞滿物品的過程”，這一觀念的背面，可以確認(rèn)克服“塞物品”的最好方式就是解放思維、自由思考，讓學(xué)習(xí)者有“眾里思維”“千百度尋她”的內(nèi)部自由，最終實(shí)現(xiàn)“學(xué)會(huì)思考”的思考目標(biāo)。盡管這樣的思維組織方式耗時(shí)而又收效慢，但對(duì)終身思考習(xí)慣的養(yǎng)成是不可替代的。為此，有素養(yǎng)數(shù)學(xué)課堂勢(shì)必要關(guān)注三個(gè)層面的推理行為：一是借助獨(dú)立思考，驅(qū)動(dòng)問題發(fā)現(xiàn)；二是使用自由思考，養(yǎng)成問題意識(shí)；三是學(xué)會(huì)定位思考，形成提出問題能力，落實(shí)數(shù)學(xué)思考向美的一般目標(biāo)。

我們不妨以“二次根式”概念形成模塊為例，說明推理對(duì)自由美的支配作用，以及美的思維自由對(duì)推理屬性的反哺力。具體推理范式如下。首先，讓學(xué)生通過計(jì)算確定長(zhǎng)方形宣傳畫的對(duì)角線的長(zhǎng)，引進(jìn)二次根式概念的具體形式，同時(shí)，讓學(xué)生再寫出幾個(gè)類似的式子，并描述二次根式形式的含義以及被開方數(shù)的約束性；其次，讓學(xué)生通過“判別推理”“辨析推理”剔除二次根式概念的非本質(zhì)屬性，確立概念的本質(zhì)特征，進(jìn)而通過舉例實(shí)現(xiàn)類化概念的一般屬性；再次，讓學(xué)生借助乘方運(yùn)算與開方運(yùn)算的互逆關(guān)系，實(shí)現(xiàn)對(duì)二次根式本質(zhì)屬性的理性理解，即概念有意義的算理依據(jù)；最后，讓學(xué)生在使用概念的過程中，突出概念之間的邏輯關(guān)系特征，進(jìn)一步理解數(shù)與式的劃分依據(jù)，及其二次根式與算術(shù)平方根的異同點(diǎn)，落實(shí)把握概念的本體意義。

一般來說，產(chǎn)生數(shù)學(xué)美的對(duì)象和方法，可來自超越自然后的自由心境，也可以來自超越自然后的理性自由，而“自由—心境—理性—自由”是自由推理作用的結(jié)果狀態(tài)。為此，理性主義美學(xué)家笛卡爾認(rèn)為，有了理性才會(huì)有美，他指出：“思維顯示了人的本質(zhì)，也顯示了人的偉大，哪里有理性的使用，哪里才有人，哪里才有高貴，哪里才有美?！盵4]這里，我們把推理作為理性生長(zhǎng)的工具，而把高貴作為自由的表現(xiàn)形式，把美作為自由理性的統(tǒng)一形態(tài)。進(jìn)而可以推斷，數(shù)學(xué)推理屬性集美與自由于一身，推理屬性得以確認(rèn)的過程就是“眾里尋她千百度”的自由思維疊合成美的本質(zhì)過程?？梢源_認(rèn)上述課例中的“發(fā)生概念行為”是發(fā)現(xiàn)問題的一個(gè)樣例，“舉例類化”及其“概念關(guān)系”的建立是自由思考的表現(xiàn)形式，“使用概念”及其關(guān)聯(lián)的過程是學(xué)會(huì)思考的一個(gè)微觀案例。如此，把握概念的行為就帶有強(qiáng)烈的推理意義（意義建構(gòu)、約束條件的確立、類比歸納等行為），也有自由美的選擇特征（互逆關(guān)系的使用等層次屬性），由此落實(shí)“眾里尋”“千百度”的思維自由與美的一般能力。

三、無限美特征

數(shù)學(xué)模型屬性起于美的無限傾向性特征，終于素養(yǎng)數(shù)學(xué)教育的課程目標(biāo)?！暗郎鸁o限”是模型屬性的本質(zhì)外化。在學(xué)科審美范疇，一個(gè)科學(xué)理論成就的大小，事實(shí)上就是它的美學(xué)價(jià)值的大小，科學(xué)理論的合理性要在它的審美價(jià)值中去尋找，并用它來判斷科學(xué)方法的合理性。[5]這里的“審美價(jià)值”可以看作是美的無限性取向特征，而“方法的合理性”則是模型屬性的內(nèi)在沖突的不斷外化性平衡的體現(xiàn)，是“柳暗花明又一村”的積極就緒狀態(tài)。換句話說，審美視域下的方法體系的價(jià)值判斷，就是數(shù)學(xué)建模得以心理確認(rèn)的過程，經(jīng)歷了“山重水復(fù)”的思維監(jiān)控，確證了“柳暗花明”的模型體系。當(dāng)然，在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》看來，模型屬性的微觀目標(biāo)就是要重視學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程。

于是乎，在學(xué)科素養(yǎng)教育范疇，模型思想是義務(wù)教育階段課程實(shí)施的一個(gè)重要目標(biāo)，是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。其本質(zhì)是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來解釋現(xiàn)實(shí)世界，因而具有強(qiáng)烈的現(xiàn)實(shí)性；同時(shí)，帶有一定的變量特點(diǎn)（含有參數(shù)），反應(yīng)一類規(guī)律性的事物的應(yīng)用性特點(diǎn)。正是基于這一屬性意義，模型本身就帶有無限美的傾向性價(jià)值特征，是數(shù)學(xué)教育核心素養(yǎng)的主要目標(biāo)成分，各學(xué)科需要下大功夫監(jiān)控培養(yǎng)。尤其是具有工具性特征的數(shù)學(xué)課堂，更要在元認(rèn)知監(jiān)控層面提高興趣的悱憤狀態(tài)和審美創(chuàng)新意識(shí)，方能實(shí)現(xiàn)模型思想的厚積薄發(fā)作用，進(jìn)而提高學(xué)生的元認(rèn)知能力。可以說，沒有滲透模型培養(yǎng)意識(shí)的數(shù)學(xué)課堂是不合格的課堂，沒有數(shù)學(xué)建模能力的學(xué)生，其學(xué)業(yè)成績(jī)“好也好得有限，而壞則每況愈下”。為此，素養(yǎng)性數(shù)學(xué)課堂必須從三個(gè)層面進(jìn)行建模：一是，立美性情境建模，形成微觀的模型參照系統(tǒng)；二是，向美性方法建模，形成問題解決產(chǎn)生式系統(tǒng)；三是，審美性思想建模，促進(jìn)基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，進(jìn)而形成“個(gè)”模型審美系統(tǒng)，并進(jìn)行性格化價(jià)值取析。

我們不妨以“銳角三角函數(shù)”復(fù)習(xí)課的思維發(fā)生模塊為樣例，闡釋模型屬性對(duì)素養(yǎng)層級(jí)的積極作用，進(jìn)而提高學(xué)生的元認(rèn)知監(jiān)控水平，到達(dá)“柳暗花明”思維無限美的境界。模型建立的一般線索簡(jiǎn)括如下。首先，教師讓學(xué)生任意畫一個(gè)直角三角形，并寫出直角三角形中的邊角關(guān)系，以此引發(fā)復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)概念的積極情緒，進(jìn)一步聯(lián)動(dòng)特殊角的銳角三角函數(shù)值的使用系統(tǒng)及其還原系統(tǒng)。其次，教師讓學(xué)生舉例說明對(duì)銳角三角函數(shù)的使用及其層次性變式。量化統(tǒng)計(jì)顯示，外顯變式的學(xué)生約占7成，內(nèi)顯變式的學(xué)生占2成左右，綜合變式的學(xué)生占不到1成。正是基于“不同”的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，教師通過監(jiān)控調(diào)節(jié)，在自由思維的支配下，實(shí)現(xiàn)了不同人獲得不同的數(shù)學(xué)理解，呈現(xiàn)出概念復(fù)習(xí)的羅森塔爾效應(yīng)。最后，教師讓學(xué)生構(gòu)建本章概念圖，并舉例說明自己對(duì)主概念的理解，找出課本中可以考查的“基本題”，并進(jìn)行三度改編，使其與中考中檔題水平具有信度一致性，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)概念的全息使用與層次性把握。

史寧中教授指出，數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)就是“三個(gè)會(huì)”[6]：會(huì)看，會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界；會(huì)想，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界；會(huì)說，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。我們認(rèn)為，可以把會(huì)看當(dāng)作情境建模的初始目標(biāo)，把會(huì)想當(dāng)作方法建模的程序性目標(biāo)，把會(huì)說當(dāng)作思想建模的過程性終結(jié)目標(biāo)。這樣，上述樣例中的“畫+寫≥概念意識(shí)”的引課行為是情境建模的一個(gè)經(jīng)典例子，反映了“刺激—會(huì)看—反應(yīng)”的初始審美目標(biāo)；樣例中學(xué)生的“舉例說明+層次變式”的演課監(jiān)控行為是方法建模的立美途徑，反映了“關(guān)系直覺監(jiān)控=美的直覺監(jiān)控+概念直覺監(jiān)控+證偽直覺調(diào)節(jié)”的模型視美目標(biāo)；樣例中的“概念圖+找基題+作改編”的課堂行為升值是思想建模的審美表現(xiàn)，反映了元認(rèn)知監(jiān)控層面的“創(chuàng)造向美力=分析思維力×透視屬性力×價(jià)值知識(shí)量×性格化審美力”的無限美目標(biāo)，有道生無限而又天地同根、大美不言的境界成分，終于人學(xué)審美素養(yǎng)的層級(jí)實(shí)現(xiàn)。

通常，有素養(yǎng)數(shù)學(xué)課堂的基本特征是相對(duì)復(fù)雜的，不止于“天光云影”的抽象屬性、“眾里尋她”的推理屬性以及“柳暗花明”的模型屬性，還有“望盡天涯路”的觀念屬性及其美的一般觀念的添加，限于研究篇幅，本研究暫不通過剖析實(shí)例加以詳細(xì)分析。

參考文獻(xiàn)：

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責(zé)任編輯：石萍

Aesthetic Features of Mathematics Class with Accomplishments

SUN Chao-ren & ZHU Gui-feng

（Suzhou Institute for Education Research， Suzhou 215004， China）

Abstract： Based on analysis of three good example lessons， the accomplishment attributes of mathematics class can be divided into abstract， reasoning and modeling attributes from the general concept of beauty， reflecting three aesthetic features of mathematics class with accomplishments： dissolving beauty， free beauty and limitless beauty.

Key words： class with accomplishment； aesthetic feature； mathematics teaching