史青

[摘要]針對中職網(wǎng)絡專業(yè)學生的情況，闡述“點到直線的距離”一課的教學設計，并對每一個教學環(huán)節(jié)進行解釋。

[關鍵詞]職業(yè)學校;教學設計;創(chuàng)設情境

[中圖分類號]G712??????????? ?? ??????? [文獻標志碼]? A???????? ????????????? [文章編號]? 2096-0603（2018）36-0118-02

“點到直線的距離”選自江蘇教育出版社《數(shù)學》第二冊第八章第5節(jié)，教學對象為我校網(wǎng)絡專業(yè)中職學生，他們已掌握了兩點間距離公式、直線方程、兩條直線的位置關系等有關知識，具備一定利用代數(shù)方法研究幾何問題的能力。職業(yè)學校學生數(shù)學基礎薄弱，但動手操作能力強，對數(shù)學軟件的熟悉度高。基于以上分析，我將教學目標定為：（1）了解點到直線的距離公式的推導過程;（2）能應用點到直線的距離公式解題;（3）培養(yǎng)學生運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。其中，公式的應用是重點，公式的推導是難點。本課分為以下五個教學環(huán)節(jié)。

一、創(chuàng)設情境

引入課本中的例子：在已有公路附近有一大型倉庫，現(xiàn)在要修建一條公路與之連接起來，便于運貨。那么怎樣設計才能使這段公路最短？最短路程是多少？（引例貼近學生生活，調(diào)動學生的學習興趣）

二、新知探索：點到直線的距離公式的推導過程

小組進行討論，學生提出將公路看做一條直線，將超市看做一個點，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，那么超市到公路的距離就轉(zhuǎn)化為了點P到直線的距離。

為幫助學生更好地理解，我設置了問題1，給出具體的點的坐標和具體的直線方程，為后面從特殊情況推廣到一般情況作好鋪墊。

問題1 假設P點的坐標為P（2，1），直線方程為l∶2x-y+1=0，那么如何求點P到直線的距離？

學生不難發(fā)現(xiàn)，點P到直線l的距離就是點P、垂足Q兩點之間的距離，點線問題此時就轉(zhuǎn)化成了點點問題。

（將上述分析的過程反過來就是解題的過程）

從特殊到一般，給出點和直線的一般形式，提出問題2。

問題2 如何求點P（x₀，y₀）到直線Ax+By+C=0（A²+B²≠0）的距離？

從特殊到一般，假設P（x₀，y₀），l∶Ax+By+C=0，根據(jù)上述的解題過程

學生類比問題1，說出解題思路，由于運算中含有大量字母，不要求學生說出具體解題過程。其中對A=0或B=0這兩種特殊情況，我們需要借助圖像進行分析，把它放在下面的例1中加以強調(diào)。

三、鞏固提高：點到直線的距離公式的應用及平行線間的距離公式

本環(huán)節(jié)的三個例題中，例1是教材中的例題，第（1）小題中所給直線的方程已經(jīng)是一般式，學生直接代入公式即可。因此在做第（2）小題時，容易忽略將方程化為一般形式的這個前提條件，學生在做錯的過程中發(fā)現(xiàn)問題，進行自我糾錯，強化記憶運用公式的前提條件。第（3）小題考查的是A=0的特殊情況，可以直接得出結(jié)論。這里只列舉了平行于x軸的直線，平行于y軸的情況可以同時進行補充。

例1 求點P0（-1，2）到下列直線的距離：

（1）2x+y-10=0 （2）y=-2x+10 （3）y-4=0

練習1：求下列點到相應直線的距離：

（1）P（1，2）， l∶3x-2y+4=0 （2）P（3，-3）， l∶x+1=0

例2 （1）已知點A（-2，3）到直線y=ax+1的距離為，求a的值;

（2）已知點A（-2，3）到直線y=-x+a的距離為，求a的值。

在解決了例1的基礎上，結(jié)合學生熟悉軟件和動手操作能力強的專業(yè)特點，由淺入深，增加了含有參數(shù)的情況，讓學生通過操作數(shù)學軟件進行驗證。

例2的兩個問題中，直線方程所含參數(shù)a都具有明顯的幾何意義：一個表示直線的斜率，另一個表示直線在軸上的截距，時間允許的話，解出參數(shù)a的值后，可以讓學生在“Geogebra”軟件中進行操作，通過改變拖動直線，參數(shù)值和點線距離都發(fā)生改變，調(diào)整點線距，驗證自己的結(jié)論，也鍛煉了學生用信息環(huán)境解決問題的能力。

在處理完點到直線的公式應用后，引入例3解決平行線間的距離公式。

例3 求平行線2x+3y-8=0和2x+3y+5=0的距離。

例3緊扣教材，由于學生剛剛學過點到直線的距離公式，有過一次體驗從特殊到一般的過程。于是我讓學生進行自主探究，學生分組進行探究，并匯報自己的結(jié)論。結(jié)合平行線間距離相等這一特點，很自然地想到在其中一條直線上取一個特殊點，用數(shù)學中轉(zhuǎn)化的思想方法將兩條平行線之間的距離轉(zhuǎn)換為點到線的距離。

練習2：求下列兩條平行線間的距離

（1）x+2y-1=0，x+2y-2=0 （2）x+3y-4=0，2x+6y-7=0

練習2是對平行線間距離公式的直接運用，也是熟悉記憶公式的過程，在做第（2）小題時學生會發(fā)現(xiàn)兩條直線的A、B不同，這里既要復習平行直線的相關內(nèi)容，也要提示學生，將對兩個平行直線的系數(shù)A、B進行處理。

此時，本課教學任務已基本完成，通過兩次具體到抽象，特殊到一般的過程，學習了點線、線線間的距離公式。這時回到本課開頭的引例，用本節(jié)課所學的知識解決引例中的倉庫到公路之間的距離問題，前后呼應，學以致用，在此基礎上進行課堂小結(jié)并布置作業(yè)。

四、課堂總結(jié)

由學生自主歸納、總結(jié)本節(jié)課所學習的主要內(nèi)容，教師加以補充說明。

（1）點到直線的距離公式（補充：使用該公式的前提是將直線方程化為一般形式）。

（2）兩平行線間的距離公式。

（3）轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想：點點距？圮點線距？圮線線距

五、課后作業(yè)

必做：P86練習1、2，習題1。

選做：P86習題2。

課后作業(yè)進行了分層處理，選做題需要結(jié)合直線和圓的知識，給學有余力的學生進行思考。

本次課通過兩次轉(zhuǎn)化，化未知為已知，讓學生掌握了點線距、點點距兩個公式。學生在從特殊到一般、具體到抽象的數(shù)學思想中，通過動手操作作圖軟件、小組探討等方式自主進行探究，構建新知識，不僅培養(yǎng)了他們解決實際問題的能力，也培養(yǎng)了他們自主學習的綜合素養(yǎng)。