陳建茂

【摘 要】“教什么”和“怎么教”是課堂教學(xué)需要思考和解決的兩個(gè)問(wèn)題，教師正確把握數(shù)學(xué)本質(zhì)、實(shí)證研究學(xué)生學(xué)情是破解這兩個(gè)問(wèn)題的有效途徑。通過(guò)不同版本教材的比較研究，對(duì)正、反比例意義的數(shù)學(xué)本質(zhì)教學(xué)進(jìn)行了梳理與思考，運(yùn)用前測(cè)與后測(cè)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)正、反比例的認(rèn)知起點(diǎn)和思維障礙進(jìn)行了實(shí)證研究，以求探索基于本質(zhì)把握和學(xué)情研究的有效教學(xué)策略。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)本質(zhì)；學(xué)情研究；教學(xué)策略；正、反比例

劉加霞教授撰寫(xiě)的《小學(xué)數(shù)學(xué)有效教學(xué)》一書(shū)中，其引言部分的標(biāo)題就是“把握數(shù)學(xué)本質(zhì) + 研究學(xué)生 = 有效教學(xué)”。筆者覺(jué)得這很有道理，因?yàn)閿?shù)學(xué)教學(xué)教什么，要看數(shù)學(xué)本質(zhì)；怎么教，則要看學(xué)生。

本文筆者想從“基于數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握”和“基于學(xué)生學(xué)情的研究”兩個(gè)維度與讀者共同探討小學(xué)“正、反比例”的一些教學(xué)思考，從而追求有效教學(xué)。

一、基于數(shù)學(xué)本質(zhì)把握的“正、反比例”教學(xué)思考

《小學(xué)數(shù)學(xué)有效教學(xué)》一書(shū)中提出了五個(gè)方面的數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，分別是：本質(zhì)1是對(duì)基本數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解；本質(zhì)2是對(duì)重要數(shù)學(xué)思想方法的理解與把握；本質(zhì)3是對(duì)數(shù)學(xué)特有思維方式的感悟與運(yùn)用；本質(zhì)4是對(duì)數(shù)學(xué)美的體驗(yàn)與鑒賞；本質(zhì)5是對(duì)數(shù)學(xué)精神（理性精神與探究精神）的追求。

（一）正、反比例的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么？

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀》中對(duì)正、反比例的數(shù)學(xué)本質(zhì)做了如下描述：在現(xiàn)實(shí)中，有許多數(shù)量關(guān)系可以表示為呈正比例的量和呈反比例的量，其本質(zhì)是兩個(gè)量按一定的比例關(guān)系發(fā)生變化。如果一個(gè)量增加（減少），另一個(gè)量按一定的比例增加（減少），則這兩個(gè)量是呈正比例的量。如果一個(gè)量增加（減少），另一個(gè)量按一定的比例減少（增加），則這兩個(gè)量是反正比例的量。如果分別用x和y表示兩個(gè)量，前者可以表示成y=ax（a>0），后者可以表示成y=[ax]，或xy=a（a>0）。

正比例和反比例的關(guān)系本質(zhì)上是函數(shù)關(guān)系，函數(shù)的核心是“把握并刻畫(huà)變化中的不變，其中變化的是‘過(guò)程，不變的是‘規(guī)律（關(guān)系）”。學(xué)生愿意去發(fā)現(xiàn)“規(guī)律”并能夠?qū)ⅰ耙?guī)律”表述出來(lái)的意識(shí)與能力，就是函數(shù)思想在教學(xué)中的滲透。

（二）有哪些可行性的教學(xué)策略呢？

1.多樣材料，在辨析中豐富對(duì)變量及其關(guān)系的感受，初步體會(huì)函數(shù)思想

正、反比例的教學(xué)內(nèi)容是學(xué)生從對(duì)“常量”的認(rèn)識(shí)過(guò)渡到對(duì)“變量”認(rèn)識(shí)的一次飛躍，是函數(shù)思想滲透的重要契機(jī)。

筆者比較了人教版、北師大版、浙教版、蘇教版以及青島版五個(gè)版本的教材，只有北師大版教材在學(xué)習(xí)正比例和反比例之前，安排了 “變化的量” 一課，旨在結(jié)合具體情境認(rèn)識(shí)“變化的量”，知道生活中存在大量互相依存的變量，并通過(guò)描述，了解其中一個(gè)變量是怎樣隨著另一個(gè)變量而變化的，積累表征變量的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。其他四個(gè)版本教材都是在比例的意義和性質(zhì)之后直接安排正、反比例教學(xué)內(nèi)容的。

筆者認(rèn)為北師大版教材的編排非常好，建議教師設(shè)計(jì)多個(gè)不同內(nèi)容、不同變化類型、不同呈現(xiàn)方式的情境，讓學(xué)生在觀察、辨析、描述中進(jìn)行分類，豐富對(duì)變量和變量之間相互依存的關(guān)系以及變化之中的不變的感受，初步體會(huì)函數(shù)思想。（詳見(jiàn)北京海淀邸莉的教學(xué)課例）

2.多重表示，在對(duì)比中豐富正、反比例意義的理解，初步建構(gòu)函數(shù)模型

正比例關(guān)系和反比例關(guān)系是兩個(gè)重要的函數(shù)模型。函數(shù)有三種表示方法：表格、關(guān)系式（解析式）和圖象，有專家認(rèn)為學(xué)生樸素的語(yǔ)言描述也可以算一種，這就是人們通常所說(shuō)的函數(shù)的多重表示（Multiple representation）。

筆者比較了國(guó)內(nèi)五個(gè)不同版本的教材，梳理了各版本教材對(duì)正、反比例函數(shù)的表示方法，從中可知：（1）除了北師大版教材和青島版教材，其他三個(gè)版本教材中都呈現(xiàn)了函數(shù)的四種表示方法，但北師大版教材反比例教學(xué)內(nèi)容的第一個(gè)表格材料中，出現(xiàn)了用x、y表示長(zhǎng)方形相鄰兩邊的邊長(zhǎng)，這為學(xué)生抽象出解析式函數(shù)表示方法做了很好的鋪墊。（2）五個(gè)版本教材在正比例函數(shù)圖象的呈現(xiàn)方式上略有不同：北師大版教材是單獨(dú)安排了一課時(shí)“畫(huà)一畫(huà)”；蘇教版教材呈現(xiàn)了半成品，讓學(xué)生連點(diǎn)成線；其他三個(gè)版本教材都是直接呈現(xiàn)正比例圖象的。（3）除了浙教版，其他四個(gè)版本教材的反比例圖象都是安排在“你知道嗎”欄目中，作為一項(xiàng)“了解”的目標(biāo)。

筆者認(rèn)為，教師可以整合各版本教材的編寫(xiě)意圖，鼓勵(lì)學(xué)生經(jīng)歷正、反比例關(guān)系的多重表示，在表示、觀察、對(duì)比中，充分感知正、反比例關(guān)系的多種表征，豐富正、反比例意義的理解，初步建構(gòu)函數(shù)模型。

二、基于學(xué)生學(xué)情研究的“正、反比例”教學(xué)思考

學(xué)生學(xué)習(xí)正、反比例之前，已經(jīng)具備了哪些認(rèn)知基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)?zāi)?？學(xué)習(xí)正、反比例的困難在哪？又有哪些基于學(xué)生情況分析的“正、反比例”教學(xué)策略呢？

（一）學(xué)生學(xué)習(xí)“正、反比例”會(huì)出現(xiàn)哪些情況呢？

1.前測(cè)情況

筆者于2017年3月對(duì)麗水市蓮都區(qū)的蓮?fù)庑W(xué)（城區(qū)學(xué)校）和碧湖二小（鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校）的六年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了關(guān)于反比例認(rèn)識(shí)的前測(cè)。下面呈現(xiàn)其中兩道選擇題的前測(cè)情況。

（1）前測(cè)題

①下面（ ）表中的兩種量，一種量變化，另一種量也隨著變化；（ ）表中的兩種量，不但一種量變化，另一種量也隨著變化，而且它們相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的乘積不變。

A.小明讀一本書(shū)，已讀頁(yè)數(shù)和剩下頁(yè)數(shù)的情況如下表：

[已讀頁(yè)數(shù) 1 2 3 4 5 … 剩下頁(yè)數(shù) 79 78 77 76 75 … ]

B.一輛卡車運(yùn)一批大米，卡車載重量與運(yùn)的次數(shù)的情況如下表：

[卡車載重量/噸 1.5 2 3 5 10 … 運(yùn)的次數(shù) 20 15 10 6 3 … ]

C.一輛車以同樣的速度前行，行駛的路程和時(shí)間如下表：

[時(shí)間/時(shí) 1 2 3 4 5 … 路程/千米 90 180 270 360 450 … ]

②下面（ ）中的兩個(gè)量，一個(gè)量變化會(huì)引起另一個(gè)量變化，而且它們相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的乘積一定。

A.長(zhǎng)方形的面積不變，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬。

B.一個(gè)人的年齡和體重。

C.天數(shù)一定，生產(chǎn)零件的總個(gè)數(shù)與生產(chǎn)的天數(shù)。

D.直角三角形中，兩個(gè)銳角的度數(shù)。

（2）前測(cè)結(jié)果及分析

第①題前測(cè)結(jié)果：

[題號(hào) 學(xué)校 選A人數(shù)及比例 選B人數(shù)及比例 選C人數(shù)及比例 第一小題 蓮?fù)庑W(xué) 27人

（71.1%） 14人

（36.8%） 30人

（78.9%） 碧湖二小 14人

（36.8%） 5人

（13.2%） 25人

（65.8%） 第二小題 蓮?fù)庑W(xué) 1人

（2.6%） 35人

（92.1%） 2人

（5.3%） 碧湖二小 7人

（18.4%） 25人

（65.8%） 6人

（15.8%） ]

第①題多數(shù)學(xué)生進(jìn)行了多項(xiàng)選擇，部分學(xué)生只選了一個(gè)選項(xiàng)。

第②題前測(cè)結(jié)果：

[學(xué)校 選A人數(shù)及比例 選B人數(shù)及比例 選C人數(shù)及比例 選D人數(shù)及比例 蓮?fù)?/p>

小學(xué) 34人

（89.5%） 0人 2人

（5.3%） 2人

（5.3%） 碧湖

二小 18人

（47.4%） 8人

（21.1%） 9人

（23.6%） 3人

（7.9%） ]

分析上述數(shù)據(jù)，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)變量及變量之間相互依存關(guān)系的判斷能力較強(qiáng)，對(duì)兩個(gè)變量是否呈正、反比例關(guān)系的判斷也有一定的認(rèn)知基礎(chǔ)；學(xué)生對(duì)不同呈現(xiàn)方式的判斷結(jié)果也略有不同，其中表格法呈現(xiàn)的判斷正確率高于純文字描述的呈現(xiàn)方式，可見(jiàn)學(xué)生還是需要借助直觀性強(qiáng)的素材來(lái)理解正、反比例的意義；鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)遠(yuǎn)低于城區(qū)學(xué)校學(xué)生，多數(shù)學(xué)生理解正、反比例的意義和掌握判斷兩個(gè)變量是否呈正、反比例關(guān)系的方法仍是教學(xué)的重點(diǎn)。

2.后測(cè)情況

筆者于2017年5月在六年級(jí)學(xué)生進(jìn)入總復(fù)習(xí)前，對(duì)蓮?fù)庑W(xué)和碧湖二小兩所學(xué)校參加過(guò)前測(cè)的學(xué)生進(jìn)行了后測(cè)。

（1）部分后測(cè)題及結(jié)果統(tǒng)計(jì)

[后測(cè)題①：判斷下面各題中兩種量是否呈比例，呈什么比例，為什么？ 蓮?fù)庹_率

（城區(qū)學(xué)校） 碧湖二小正確率

（鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校） A.分子一定，分母和分?jǐn)?shù)值 78.6% 42.9% B.正方形的面積和邊長(zhǎng) 100% 28.6%（一名骨干教師送教下鄉(xiāng)，復(fù)習(xí)課后的再測(cè)結(jié)果為94.7%） C.圖上距離和實(shí)際距離 3.6% 20.4% D.式子“2×甲數(shù)=乙數(shù)×5”中的甲數(shù)和乙數(shù) 73.7% 34.2% ]

其中，C題蓮?fù)庑W(xué)的正確率只有3.6%，筆者覺(jué)得好奇，于是進(jìn)行了學(xué)生訪談。訪談結(jié)果是：學(xué)生認(rèn)為圖上距離除以實(shí)際距離等于比例尺，比例尺不會(huì)變。

后測(cè)題：有關(guān)正、反比例的知識(shí)，你還想研究什么？

統(tǒng)計(jì)顯示，學(xué)生主要想研究四個(gè)方面的內(nèi)容：一是想繼續(xù)研究判斷是否呈比例的方法；二是正、反比例在生活中有哪些應(yīng)用；三是想學(xué)會(huì)正、反比例的圖象是怎么畫(huà)的；四是想知道正、反比例的由來(lái)。

（2）后測(cè)帶來(lái)的困惑

筆者對(duì)比了后測(cè)題①和前測(cè)題②的答題情況，產(chǎn)生了新的困惑：為什么學(xué)生學(xué)習(xí)了正、反比例才一個(gè)多月，后測(cè)的正確率不見(jiàn)得高于前測(cè)？為什么一堂骨干教師的復(fù)習(xí)課能讓鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校的正確率從28.6%提高到94.7%？

帶著對(duì)學(xué)生情況的分析和困惑，重新思考正、反比例的課堂教學(xué)，又有哪些可行性的教學(xué)策略呢？

（二）基于學(xué)情研究的教學(xué)策略

1.重視圖表教學(xué)，直觀理解抽象的正、反比例意義及函數(shù)模型

學(xué)生的前測(cè)與后測(cè)情況都反映出一個(gè)現(xiàn)象：根據(jù)圖表判斷兩個(gè)變量的關(guān)系易于根據(jù)語(yǔ)言描述或解析式的判斷。因此，我們要重視“正、反比例”的圖表教學(xué)，尤其是圖象教學(xué)，正如北師大版教材單獨(dú)設(shè)置了“畫(huà)正比例圖象”一課，豐富了變量的經(jīng)歷，感受了正比例圖象的動(dòng)態(tài)形成過(guò)程，體會(huì)了兩個(gè)變量的一一對(duì)應(yīng)和連續(xù)性，幫助學(xué)生直觀理解了正比例的意義。筆者認(rèn)為，反比例圖象也可以采用動(dòng)態(tài)的方式呈現(xiàn)。

另外，還有很重要的一點(diǎn)就是要充分溝通圖象語(yǔ)言、表格語(yǔ)言、描述語(yǔ)言以及解析式（關(guān)系式）語(yǔ)言之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生深化正、反比例的認(rèn)識(shí)，逐步建構(gòu)正、反比例關(guān)系的函數(shù)模型。

2.回歸四則運(yùn)算，喚醒已有經(jīng)驗(yàn)，深刻掌握辨析正、反比例關(guān)系的方法

教材中呈現(xiàn)的正、反比例概念的描述比較冗長(zhǎng)且抽象，學(xué)生運(yùn)用抽象的概念辨析生活中的兩個(gè)變量是否呈比例存在一定困難，然而正、反比例的關(guān)系式以及其中兩個(gè)變量的變化規(guī)律與乘、除法運(yùn)算模型及各部分的變化規(guī)律是基本一致的。如若一個(gè)乘數(shù)擴(kuò)大（縮?。┑皆瓉?lái)的幾倍（幾分之幾），另一個(gè)乘數(shù)縮?。〝U(kuò)大）到原來(lái)的幾分之幾（幾倍），則積不變，這與呈反比例關(guān)系的兩個(gè)量的變化規(guī)律是一樣的。即呈反比例關(guān)系中兩個(gè)變量相當(dāng)于乘法算式中兩個(gè)變化的乘數(shù)，其中不變的量就相當(dāng)于乘法算式中的乘積。

筆者認(rèn)為，這樣的回歸與溝通能夠幫助學(xué)生理解正、反比例的意義，更能幫助學(xué)生正確辨析兩個(gè)變量呈什么比例關(guān)系。

3.基于學(xué)生需求，加強(qiáng)正、反比例應(yīng)用的教學(xué)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)正、反比例

筆者進(jìn)行前測(cè)與后測(cè)的對(duì)象都是使用北師大版教材的學(xué)生。北師大版教材沒(méi)有單獨(dú)安排正、反比例應(yīng)用的教學(xué)，相關(guān)的練習(xí)也很少，學(xué)生提出“想研究正、反比例在生活中有哪些應(yīng)用”是順理成章的事。所以，筆者認(rèn)為使用北師大版教材的區(qū)域，教師在教學(xué)中補(bǔ)充正、反比例應(yīng)用的教學(xué)也是理所應(yīng)當(dāng)?shù)氖?，何況知識(shí)的形成本就需要經(jīng)歷知識(shí)的運(yùn)用過(guò)程。

對(duì)正、反比例意義及應(yīng)用的研究還在繼續(xù)，本文僅從“數(shù)學(xué)本質(zhì)”和“學(xué)生研究”兩個(gè)維度對(duì)之前的研究做了一些不成熟的闡述，以盼自己能逐步走近“有效教學(xué)”。

參考文獻(xiàn)：

[1]張丹.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)策略[M].北京師范大學(xué)出版社，2010（8）.

[2]劉加霞.小學(xué)數(shù)學(xué)有效教學(xué)[M].北京師范大學(xué)出版社，2015（5）.

（浙江省麗水市蓮都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 323000）