李春光

【摘要】數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該著眼于讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)探索活動(dòng)的過程.按照概念形成的學(xué)習(xí)模式對曲線與方程進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，強(qiáng)調(diào)問題設(shè)計(jì)應(yīng)突出概念的本質(zhì)，應(yīng)樹立“產(chǎn)生需要，形成體驗(yàn)，獲得發(fā)展”的基本教學(xué)理念，重視學(xué)生的數(shù)學(xué)精神、思想和方法的形成.

【關(guān)鍵詞】教學(xué)設(shè)計(jì)；過程；體驗(yàn)；思想

“曲線與方程”的概念，從理論上揭示了幾何中的“形”與代數(shù)中的“數(shù)”的統(tǒng)一.曲線和方程建立了對應(yīng)關(guān)系以后，曲線的很多性質(zhì)可以反映在方程上，方程的某些性質(zhì)又反映在曲線上.筆者結(jié)合“曲線與方程”的教學(xué)設(shè)計(jì)，著眼于讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)探索活動(dòng)的過程，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的探索經(jīng)歷和得出新發(fā)現(xiàn)的體驗(yàn).

在進(jìn)行“曲線與方程”的教學(xué)之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線的方程，對于直線和方程之間的對應(yīng)關(guān)系有了一種初步的認(rèn)識.“曲線與方程”的教學(xué)在已有知識基礎(chǔ)上，從理論上提高了對曲線和方程關(guān)系的認(rèn)識，定義了“方程的曲線”和“曲線的方程”.本節(jié)課是采用“概念形成”的概念學(xué)習(xí)方式來設(shè)計(jì)“曲線與方程”的教學(xué)，以“曲線與方程”的教學(xué)內(nèi)容作為載體，以知識的建構(gòu)、發(fā)展學(xué)生思維和認(rèn)識能力為目標(biāo)，通過教師創(chuàng)造性地設(shè)置教學(xué)情境來展示知識的形成，突出學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)和再創(chuàng)造過程.

一、“曲線與方程”的教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）引例（課題的提出）

（1）畫出兩坐標(biāo)軸所成的角在第一、三象限的平分線L，并寫出其方程.

（2）畫出函數(shù)y=2x2的圖像C.

思考、討論：符合某種條件的點(diǎn)的集合L和C分別與其方程是怎樣地聯(lián)系起來的？

用幾何畫板設(shè)計(jì)直線和方程、拋物線和方程的動(dòng)態(tài)變化的關(guān)系，向?qū)W生展示直線和方程、拋物線和方程的動(dòng)態(tài)變化，讓學(xué)生充分觀察并組織討論，對曲線上不同的點(diǎn)對應(yīng)的坐標(biāo)和方程的解關(guān)系得到充分感知，獲得豐富的表象和信息，產(chǎn)生眾多的聯(lián)想.由此引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生得出結(jié)論：（1）直線上的點(diǎn)與二元一次方程的解有如下的關(guān)系：直線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是這條直線上的點(diǎn)；（2）拋物線上的點(diǎn)與二元二次方程的解有如下的關(guān)系：拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是這條拋物線上的點(diǎn).

（二）運(yùn)用反例，揭示內(nèi)涵

下述方程分別表示所對應(yīng)圖上的曲線嗎？為什么？

（1）x-y=0（x>0） （2）y=2x2（-1≤x≤2）

學(xué)生通過對一些反例的觀察和討論，進(jìn)一步理解本節(jié)課問題的實(shí)質(zhì)性內(nèi)涵，通過以上兩步教學(xué)，學(xué)生對于曲線的方程和方程的曲線的概念的本質(zhì)已基本上了然于心.曲線的方程和方程的曲線的概念的得出已是水到渠成.但是，不要把概念過早地“符號化”，要延長知識的發(fā)生與發(fā)展的過程，要學(xué)生充分經(jīng)歷過程，以使學(xué)生達(dá)到對概念的真正理解.

（三）啟發(fā)學(xué)生討論、歸納，得出定義

直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f（x，y）=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：

（1）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解.（一點(diǎn)不多——純粹性）

（2）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).（一點(diǎn)不少——完備性）

那么，這個(gè)方程叫作曲線的方程，這條曲線叫作方程的曲線.

在觀察以上幾個(gè)曲線與方程的關(guān)系正例和反例的基礎(chǔ)上，啟發(fā)學(xué)生討論、歸納，得出定義，這種啟發(fā)，是以探索“曲線與方程的等價(jià)關(guān)系”為載體，啟發(fā)學(xué)生提出問題、分析和研究問題；啟發(fā)學(xué)生尋找曲線與方程的關(guān)系；啟發(fā)學(xué)生提出對“曲線與方程”的關(guān)系的猜想：曲線上的點(diǎn)集與方程的解集是一一對應(yīng)關(guān)系.

對本質(zhì)意義的認(rèn)識逐步分化，不斷綜合貫通.教學(xué)時(shí)要多舉實(shí)例，增加變式思維訓(xùn)練，盡可能形象說明定義中兩個(gè)條件的含義，強(qiáng)化和深入理解“一點(diǎn)不多”和“一點(diǎn)不少”缺一不可，要注重淡化形式，重在實(shí)質(zhì)，對于究竟是不滿足“純粹性”還是不滿足“完備性”不必追究，關(guān)鍵是“缺不缺”，缺哪一個(gè)都不行.當(dāng)然，這個(gè)過程并不是在這一節(jié)課里就能全部解決的，更多的是需要個(gè)人的體驗(yàn)和感悟，因而，需要在后繼教學(xué)中，繼續(xù)對概念的同化過程，不斷加深學(xué)生對定義的理解.

二、對課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的思考

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該是一個(gè)體驗(yàn)和探索的過程.對于數(shù)學(xué)教學(xué)而言，學(xué)什么和怎樣學(xué)同樣重要，甚至有時(shí)過程更重于知識.課堂教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)樹立“產(chǎn)生需要形成體驗(yàn)獲得發(fā)展”的基本理念，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的形成過程.學(xué)生通過這一過程，理解一個(gè)問題是怎樣提出來的，一個(gè)數(shù)學(xué)概念是怎樣形成的，一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論是怎樣獲得的.這樣學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不再是單一的、枯燥的，以被動(dòng)聽講和練習(xí)為主的方式，它是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的充滿生命力的過程.在親身體驗(yàn)和探索中認(rèn)識和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，解決問題，理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識、技能和方法.這是學(xué)生生存、成長、發(fā)展創(chuàng)造所必須經(jīng)歷的過程，它留給學(xué)生的是一些對他們終身學(xué)習(xí)和發(fā)展有用的數(shù)學(xué)的精神、思想和方法.