摘要：偏微分方程在數(shù)字圖像處理中的運(yùn)用是近幾年應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)展研究的重要方向。文章在闡述偏微分方程內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，具體分析偏微分方程在數(shù)字圖像處理中的運(yùn)用，旨在借助偏微分方程能夠有效提升數(shù)字圖像的處理成效。

關(guān)鍵詞：偏微分方程；數(shù)字圖像處理；應(yīng)用

圖像是獲取信息的重要媒介，在科技的發(fā)展下，數(shù)字圖像處理技術(shù)被人們廣泛地應(yīng)用到生活和社會(huì)生產(chǎn)中。偏微分方程是數(shù)字圖像處理的一種重要技術(shù)形式，對(duì)偏微分方程應(yīng)用的分析能夠進(jìn)一步拓展圖像處理的基本思路，實(shí)現(xiàn)對(duì)多種數(shù)學(xué)方法的綜合應(yīng)用。

一、 偏微分方程概述

在圖像處理領(lǐng)域，偏微分方程將數(shù)學(xué)方法和圖像處理技術(shù)充分結(jié)合在一起，并將偏微分方程方法廣泛的應(yīng)用到一定空間區(qū)域內(nèi)，在一個(gè)偏微分方程模型中進(jìn)化圖像、曲線或者曲面，通過(guò)求解這個(gè)偏微分方程能夠得到理想的數(shù)字圖像處理結(jié)果。

一個(gè)偏微分方程對(duì)變量求導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)被稱為偏微分方程的階數(shù)，數(shù)字圖像處理過(guò)程中需要應(yīng)用二階偏微分方程。

二、 偏微分方程在數(shù)字圖像處理中的運(yùn)用

（一） 偏微分方程在數(shù)字圖像中的降噪應(yīng)用

圖像去噪最為經(jīng)典的算法是高斯低通濾波器，也被人們稱作是熱擴(kuò)散方程。但是從實(shí)際應(yīng)用情況來(lái)看，高斯濾波器在降噪的過(guò)程中無(wú)法有效保持邊緣性的特點(diǎn)。由此，在此基礎(chǔ)上有很多學(xué)者提出了偏微分方程這一改造方式，具體應(yīng)用表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1. 打造用各向異性擴(kuò)散的偏微分方程模型

學(xué)者在熱傳導(dǎo)理論基礎(chǔ)上提出了各向異性擴(kuò)散的偏微分方程圖像去噪模型（P-M方程），具體如（1）所示。

2. 打造基于能量函數(shù)優(yōu)化的偏微分方程去噪模型

變分原理為原始圖像灰度信息打造能量泛函提供了重要支持，通過(guò)對(duì)能量泛函的優(yōu)化能夠在一定程度上降低圖像內(nèi)的噪聲。

偏微分方程在數(shù)字圖像降噪中的應(yīng)用局限具體體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：第一，偏微分方程是基于局部幾何特點(diǎn)的一種擴(kuò)散形式，經(jīng)過(guò)處理之后的圖像存在塊狀效應(yīng)。第二，高階偏微分方程在計(jì)算的過(guò)程中含有大量不確定的參數(shù)信息，在使用的時(shí)候無(wú)法滿足各類圖像處理需要。第三，偏微分方程在使用的過(guò)程中僅僅局限對(duì)局部數(shù)據(jù)信息的處理，經(jīng)過(guò)處理的圖像信息不具備全局性的特點(diǎn)。

（二） 偏微分方程在數(shù)字圖像分割中的應(yīng)用

圖像分割是圖像處理和計(jì)算機(jī)視覺(jué)領(lǐng)域研究的重要內(nèi)容，結(jié)合圖像特點(diǎn)，圖像分割是基于邊界的一種分割體現(xiàn)，在具體分割操作的過(guò)程中應(yīng)用到了多種混合分割方式，結(jié)合圖像分割所使用數(shù)據(jù)工具和數(shù)學(xué)模型的不同，圖像分割具體包含以下幾種內(nèi)容：基于聚類的圖像分割方法；基于統(tǒng)計(jì)的圖像分割方法；基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的圖像分割方法、基于偏微分方程的圖像分割方法。偏微分方程在數(shù)字圖像分割中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在蛇模型方面。蛇模型是基于能量變分的活動(dòng)輪廓模型。蛇模型的應(yīng)用意義不僅是提出一種新的分割方法，而且還對(duì)之前學(xué)者提出的獨(dú)立分層視覺(jué)計(jì)算理論應(yīng)用提出了新的應(yīng)用挑戰(zhàn)。蛇模型主要包含闡述模型和幾何模型兩種。其中，參數(shù)模型是應(yīng)用一條闡述曲線來(lái)代表蛇模型的基本活動(dòng)輪廓，之后通過(guò)最小能量函數(shù)的使用使得這條曲線能夠在圖像上按照一定規(guī)律進(jìn)行移動(dòng)，最終結(jié)合需要收縮到等待分割的目標(biāo)邊界上。幾何蛇模型是曲線理論基礎(chǔ)上衍變發(fā)展而來(lái)的，需要應(yīng)用水平集的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)。

（三） 偏微分方程在數(shù)字圖像修復(fù)中的應(yīng)用

圖像修復(fù)是圖像處理研究的重要課題，應(yīng)用帶有選擇性擴(kuò)散的保持邊緣的各向異性擴(kuò)散方程替代平滑濾波方程開(kāi)創(chuàng)了偏微分方程在數(shù)字圖像修復(fù)中的新應(yīng)用領(lǐng)域。偏微分方程在數(shù)字圖像修復(fù)中的應(yīng)用形式具體如（2）所示。

水平集曲線能量泛函優(yōu)化模型：∫|Dv|（1+curvn）dx||，vIΩ=uIαΩ

Bertalmio擴(kuò)散方程：I（n+1）（i，j）=In（i，j）+ΔtInt（i，j）∈Ω∪Ω（2）

偏微分方程在數(shù)字圖像修復(fù)中的應(yīng)用局限表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：第一，偏微分方程僅僅適合應(yīng)用在自然場(chǎng)景圖像處理中，對(duì)于一些擴(kuò)散部分的數(shù)據(jù)信息是很難能夠在一定時(shí)間有效恢復(fù)某些信息。因此，在處理紋理圖像的時(shí)候無(wú)法保持?jǐn)?shù)據(jù)信息的周期性。第二，偏微分方程模型的打造充分參考了目標(biāo)區(qū)域范圍內(nèi)的已知信息，通過(guò)向內(nèi)部信息的擴(kuò)散來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)各類數(shù)據(jù)信息的恢復(fù)。為了能夠進(jìn)一步改善圖像處理修復(fù)效果，有學(xué)者提出了具有形態(tài)不變形的聯(lián)合擴(kuò)散修復(fù)模型。

三、 數(shù)字圖像處理中的偏微分方程的應(yīng)用意義和未來(lái)發(fā)展前景

在社會(huì)經(jīng)濟(jì)和科技的發(fā)展之下，數(shù)字圖像處理技術(shù)得到了快速的發(fā)展，在軍事、工業(yè)、農(nóng)業(yè)、航空航天等多個(gè)領(lǐng)域都得到了應(yīng)用，在廣泛應(yīng)用的背景下也使得工程師加強(qiáng)了對(duì)數(shù)字圖像處理的關(guān)注。但是從數(shù)字圖像處理應(yīng)用發(fā)展實(shí)際情況來(lái)看，在其中沒(méi)有涉及到相關(guān)數(shù)學(xué)理論，而偏微分方程在數(shù)字圖像處理中的應(yīng)用則是能夠提升各類數(shù)字信息的處理質(zhì)量，比如基于偏微分方程的去噪方式，通過(guò)擴(kuò)散系統(tǒng)能夠讓模型體現(xiàn)出較好的光滑性特點(diǎn)，并確保模型能夠沿著某一個(gè)方向擴(kuò)散、移動(dòng)。

四、 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，偏微分方程是一種有效的數(shù)學(xué)處理工具，在數(shù)字圖像處理領(lǐng)域顯示出廣闊的發(fā)展前景，將偏微分方程應(yīng)用到數(shù)字圖像處理中具有以下幾個(gè)方面的現(xiàn)實(shí)意義：第一，能夠在連續(xù)性的區(qū)域上打造模型，從而為問(wèn)題的有效解決提供更多契機(jī)支持。第二，在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域上擁有豐富的偏微分方程研究理論和數(shù)值方法，在應(yīng)用的過(guò)程中能夠?yàn)閳D像處理理論的分析和計(jì)算提供重要幫助。第三，偏微分方程理論為物理學(xué)和流體力學(xué)領(lǐng)域的研究提供了重要參考支持。但是從實(shí)際應(yīng)用情況來(lái)看，偏微分方程在使用的過(guò)程中也擁有自身的應(yīng)用局限，在數(shù)字圖像的處理操作上仍然存在一些需要深入思考和解決的問(wèn)題。

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作者簡(jiǎn)介：

劉艷，高級(jí)講師，新疆維吾爾自治區(qū)烏魯木齊市，新疆建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院。