摘要：《排列與排列數(shù)公式》是高中選修2-3內(nèi)容，是中學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)數(shù)方法基本公式。本文中，在排列與排列數(shù)公式教學(xué)設(shè)計(jì)中引入探究式教學(xué)模式，用探究性的問(wèn)題串引領(lǐng)數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建。

關(guān)鍵詞：排列；排列數(shù)；教學(xué)設(shè)計(jì)；數(shù)學(xué)概念；構(gòu)建

教學(xué)過(guò)程

一、 問(wèn)題引入

1. 請(qǐng)你例舉出一個(gè)車牌照號(hào)碼！

2. 隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長(zhǎng)，汽車牌照號(hào)碼需要擴(kuò)容。交通管理部門(mén)出臺(tái)了一種汽車牌照組成辦法，每一個(gè)汽車牌照都必須有3個(gè)不重復(fù)的英文字母和3個(gè)不重復(fù)的阿拉伯?dāng)?shù)字，并且3個(gè)字母必須合成一組出現(xiàn)，3個(gè)數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn)，字母在前，數(shù)字在后，那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照？

二、 鋪墊

從生活中三個(gè)簡(jiǎn)單常見(jiàn)的計(jì)數(shù)問(wèn)題出發(fā)，激發(fā)學(xué)生探究的興趣。

問(wèn)題一：從紅、黃、藍(lán)三種顏色中選出兩種給地圖上的淮安市和南京市上色，有多少種不同的著色方案？

問(wèn)題二：從1、2、3、4、5、6這六個(gè)數(shù)字中，每次取出3個(gè)不同的數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù)，一共可以得到多少個(gè)不同的三位數(shù)？

問(wèn)題三：10名同學(xué)站成一排照相，有多少種不同的排法？

第一個(gè)問(wèn)題以淮安市和南京市上色作為背景，讓學(xué)生了解顏色區(qū)分地圖的背后，蘊(yùn)涵了豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)和文化，既為抽象概括排列定義，也為最后回到著色問(wèn)題埋下伏筆。

第二個(gè)問(wèn)題排數(shù)問(wèn)題來(lái)自教材，既為抽象概括排列定義，也為后面探究二中順利加大排數(shù)問(wèn)題的難度做好的鋪墊。

第三個(gè)排隊(duì)問(wèn)題，排隊(duì)照片為本班10名同學(xué)，激發(fā)學(xué)生對(duì)問(wèn)題本身感興趣的同時(shí)，能深入挖掘問(wèn)題的本質(zhì)屬性，也為后面全排列概念的順理成章地得出及課后探究中有條件的排隊(duì)做好鋪墊！

【教師提問(wèn)1】：你能利用前面所學(xué)計(jì)數(shù)原理的知識(shí)解決問(wèn)題嗎？

【學(xué)生探究1】：鞏固復(fù)習(xí)分步計(jì)數(shù)原理（可借助框圖直觀表示），同時(shí)會(huì)用列舉法或樹(shù)形圖把結(jié)果一一列出。

三、 特點(diǎn)探尋，歸納提煉

【教師提問(wèn)2】：這三個(gè)問(wèn)題有哪些共同特征？

【學(xué)生探究2】：引導(dǎo)學(xué)生得出都是分步計(jì)數(shù)問(wèn)題，運(yùn)算有規(guī)律，都是從若干個(gè)不同元素選出元素，選出的對(duì)象都要排序，順序不同方案不同。

難點(diǎn)突破：引導(dǎo)學(xué)生從三個(gè)問(wèn)題的事情本身出發(fā)，將顏色、數(shù)字、同學(xué)抽象為元素，元素順序不同結(jié)果就不一樣。

四、 探究歸納，形成概念

排列：從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列（Arrangement），這樣的所有排列的個(gè)數(shù)叫排列數(shù)。

【教師提問(wèn)3】：這三個(gè)問(wèn)題有無(wú)不同點(diǎn)？

【學(xué)生探究3】：學(xué)生探究得出全排列、選排列的定義。

五、 概念辨析，引出排列數(shù)符號(hào)

引導(dǎo)學(xué)生對(duì)排列定義的再理解，讓學(xué)生歸納出值得注意的關(guān)鍵詞：

（1）n個(gè)不同的元素；（2）取出m（m≤n）個(gè)元素；（3）一定的順序。

對(duì)排列定義的鞏固，判定下面問(wèn)題哪些是排列問(wèn)題，如果是排列數(shù)是多少？

（1）從四個(gè)男生中，任選兩名同學(xué)組成一隊(duì)參加年級(jí)乒乓球男雙比賽；

（2）從四位男同學(xué)中，任選兩位同學(xué)分別參加上下午的活動(dòng)；

（3）從0～9這9個(gè)數(shù)字中，任選4個(gè)不同的數(shù)字（可重復(fù)）作為手機(jī)的密碼；

（4）從8名同學(xué)中選4人參加4×100米接力賽；

（5）圓上10個(gè)不同點(diǎn)，過(guò)每2個(gè)點(diǎn)，畫(huà)一條弦；

（6）圓上10個(gè)不同點(diǎn)，以其中每2個(gè)點(diǎn)作有向線段；

（7）1、3、5、7、11這5個(gè)質(zhì)數(shù)任選兩個(gè)相乘；

（8）1、3、5、7、11這5個(gè)質(zhì)數(shù)任選兩個(gè)相除；

（9）一個(gè)學(xué)生有20本不同的書(shū)，這些書(shū)以不同的方式排在一個(gè)單層的書(shū)架上；

（10）53位同學(xué)隨機(jī)選8位派往8個(gè)不同的地方參加活動(dòng)，每個(gè)地方派一人。

學(xué)生爭(zhēng)論辨析判定后再追問(wèn)，其中的排列問(wèn)題各有多少個(gè)不同的排列？類比問(wèn)題一、二、三用分步計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題，分別得到：

4×3，8×7×6×5，10×9，5×4，4×3，

20×19×18×17×…×2×1，

53×52×51×50×…×47×46

【教師提問(wèn)4】：結(jié)合前面的三個(gè)問(wèn)題，這些排列數(shù)有哪些共同特征？

【學(xué)生探究4】：學(xué)生找出規(guī)律的同時(shí)，指出書(shū)寫(xiě)繁瑣的共同點(diǎn)，類比小學(xué)引入乘號(hào)簡(jiǎn)化加法運(yùn)算，自然引入數(shù)學(xué)符號(hào)Amn，對(duì)比運(yùn)算符號(hào)Amn更簡(jiǎn)潔，從而體現(xiàn)了數(shù)學(xué)符合的簡(jiǎn)潔美，隨之簡(jiǎn)單介紹排列數(shù)符號(hào)的發(fā)明者法國(guó)數(shù)學(xué)家范德蒙德，體現(xiàn)數(shù)學(xué)豐厚的文化背景。

六、 揭示規(guī)律，導(dǎo)出公式

【教師提問(wèn)5】：A23、A34，A410、A48，A2n、A3n表示什么？等于多少，繼續(xù)追問(wèn)更為一般的Amn表示什么？等于多少？

【學(xué)生探究5】：學(xué)生獨(dú)立思考分析解決并展示。

Amn=n（n-1）（n-2）…（n-m+1），（m，n∈N*，且m≤n）。

引導(dǎo)學(xué)生對(duì)公式的理解：

（1）從n開(kāi)始依次遞減連續(xù)m個(gè)正整數(shù)的積；

（2）m、n都是正整數(shù)且m≤n；

（3）符號(hào)Amn既表示一個(gè)結(jié)果，又表示一種運(yùn)算。

這樣，一個(gè)問(wèn)題若是排列問(wèn)題，就可用上式求出具體的排列個(gè)數(shù)。（簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程）

說(shuō)明特殊情況Ann=n（n-1）（n-2）…3×2×1。

簡(jiǎn)單記為n！，讀作n的階乘，強(qiáng)調(diào)這個(gè)符號(hào)更為簡(jiǎn)潔的同時(shí)，順提階乘符號(hào)的發(fā)明者法國(guó)數(shù)學(xué)家基斯頓·卡曼。

七、 公式應(yīng)用，突出優(yōu)越性

探究二：從0～6這7個(gè)數(shù)字中，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

學(xué)生結(jié)合所學(xué)知識(shí)多角度對(duì)問(wèn)題進(jìn)行思考，對(duì)比分步計(jì)數(shù)原理的解題方法，突現(xiàn)排列優(yōu)化步驟的特點(diǎn)，并進(jìn)一步跟進(jìn)對(duì)引例步驟的優(yōu)化：

隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長(zhǎng)，汽車牌照號(hào)碼需要擴(kuò)容。交通管理部門(mén)出臺(tái)了一種汽車牌照組成辦法，每一個(gè)汽車牌照都必須有3個(gè)不重復(fù)的英文字母和3個(gè)不重復(fù)的阿拉伯?dāng)?shù)字，并且3個(gè)字母必須合成一組出現(xiàn)，3個(gè)數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn)，字母在前，數(shù)字在后，那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照？

學(xué)生獨(dú)立思考并完成優(yōu)化6個(gè)步驟簡(jiǎn)化為2個(gè)步驟，再次讓學(xué)生體會(huì)排列的優(yōu)越性。

八、 強(qiáng)化公式，跟進(jìn)新公式

學(xué)生計(jì)算排列數(shù)（1）A38；（2）A88A55；（3）A37；（4）7！4！。

【教師提問(wèn)6】：學(xué)生給出答案后問(wèn)，有何數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)？

【學(xué)生探究6】：猜測(cè)出一般的結(jié)論Amn=n！（n-m）！，

根據(jù)課堂時(shí)間讓學(xué)生嘗試證明，讓學(xué)生展示并點(diǎn)評(píng)，否則作為課后作業(yè)，順便說(shuō)明公式中如果m=n時(shí)，Ann=n！0！，Ann=n！，故規(guī)定0！=1。

九、 小結(jié)

1. 本節(jié)課我們學(xué)到了哪些基本概念和公式？

2. 研究過(guò)程中體會(huì)了哪些數(shù)學(xué)思想和方法？

3. 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)有哪些收獲和困惑？

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：

陳海波，江蘇省淮安市，江蘇省盱眙中學(xué)。