黃星銘

摘要：高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉了數(shù)學(xué)科的六個(gè)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)建模，直觀想象，數(shù)據(jù)分析。提升數(shù)學(xué)科核心素養(yǎng)需要有序培養(yǎng)，運(yùn)用批判性思維，從低級(jí)至高級(jí)、從簡(jiǎn)單至繁雜不斷質(zhì)變，不斷提高。數(shù)學(xué)新課改的核心任務(wù)就是要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，把數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落實(shí)在數(shù)學(xué)教育的各個(gè)環(huán)節(jié)。而課堂教學(xué)是學(xué)生提高學(xué)科核心素養(yǎng)的主陣地，就很有必要在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中進(jìn)行批判性思維的實(shí)踐和研究。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)，批判性思維，實(shí)踐，研究

前言：思維定勢(shì)或叫心向，是有一定的心理活動(dòng)所形成的準(zhǔn)備狀態(tài)，會(huì)影響或決定其對(duì)同類后繼心理活動(dòng)的趨勢(shì)，也就是人們按照一種固定了的傾向去反映現(xiàn)實(shí)，從而表現(xiàn)出心理活動(dòng)的趨勢(shì)性和專注性。培養(yǎng)學(xué)生有批判性思維是使學(xué)生克服思維定勢(shì)的消極影響，更新觀念，提高求異思維能力，隨時(shí)準(zhǔn)備適應(yīng)新環(huán)境，學(xué)習(xí)新知識(shí)，創(chuàng)造新方法。思維定勢(shì)與批判性思維相輔相成，互相配合，共同服務(wù)于人的思維發(fā)展，它們是矛盾的“對(duì)立統(tǒng)一”體。

人正是在學(xué)習(xí)實(shí)踐中不斷積累“經(jīng)驗(yàn)”，不斷適應(yīng)新環(huán)境的，這是一個(gè)曲折的發(fā)展過(guò)程。這種“經(jīng)驗(yàn)”實(shí)際上就是思維定勢(shì)，需要在此后的學(xué)習(xí)中多次批判，方才由“經(jīng)驗(yàn)”→“理解”→“熟能生巧”→“批判性思維”。在這動(dòng)態(tài)的發(fā)展過(guò)程中“培養(yǎng)”是少不了的。

正文

一、倡導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生的批判意識(shí)和習(xí)慣

批判性思維的特質(zhì)是獨(dú)立思考，善于質(zhì)疑，關(guān)注理由和合乎邏輯。學(xué)生的批判性思維不是先天形成的，需要不斷培養(yǎng)。

（1）在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，不斷誘導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“新問(wèn)題”的意識(shí)

中國(guó)人強(qiáng)悍于解決問(wèn)題，但是不善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。教師平常的數(shù)學(xué)教學(xué)就是培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維定勢(shì)和求異思維能力，通過(guò)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)公式的正確理解和熟練運(yùn)用，一是牢固學(xué)生的思維定勢(shì)，二是不斷批判，提升理性認(rèn)識(shí)，扎實(shí)學(xué)生的基本技能。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，要善于誘導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“新問(wèn)題”。

例1. 計(jì)算：1+1=

【批判】 （1）1群羊+1群羊=2群羊？

【變式】 （2）2-1=？

【發(fā)展】 （3）2+2+2+L+2（100個(gè)2）=2×100？

【變式】 （4）2×2×2×L×2 （100個(gè)2）=2100 ？

【再發(fā)展】 （5） =？

【再變式】 （6） =？

問(wèn)題出現(xiàn)在哪里？這是一個(gè)“量變”到“質(zhì)變”的數(shù)學(xué)問(wèn)題。具體的兩個(gè)“1”相加得“2”；然而，抽象兩個(gè)“集合”的組合仍是一個(gè)“集合”。減法是加法的逆運(yùn)算；乘法本質(zhì)上就是若干個(gè)數(shù)的直接疊加；開方是乘方的逆運(yùn)算。引入虛數(shù)來(lái)說(shuō)明負(fù)數(shù)不能開平方根的問(wèn)題。

點(diǎn)拔：數(shù)學(xué)運(yùn)算要多次批判，不斷變式，由易至難，由簡(jiǎn)至繁，不斷升華衍生出新的運(yùn)算。

（2）養(yǎng)成獨(dú)立思考的良好習(xí)慣，不斷批判固有知識(shí)、不迷信專家

數(shù)學(xué)概念不是與生俱來(lái)，需要不斷批判，多次抽象，方可歸納出來(lái)。在繼承傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化與發(fā)展新型數(shù)學(xué)分支中，批判已有的數(shù)學(xué)知識(shí)，不迷信專家，不斷突破數(shù)學(xué)學(xué)科頸瓶。

例2. 數(shù)域的擴(kuò)充

自然數(shù)：像0，1，2，3，L。它們是為了計(jì)數(shù)的需要，一一衍生出來(lái)；

【發(fā)展】素?cái)?shù)（質(zhì)因數(shù)）：像2，3，5，7，L；

合數(shù)：像4，6，8，9，L；

既不是素?cái)?shù)，也不是合數(shù)：像0，1；

【批判】為了表示相反意義的量，引入負(fù)數(shù)，像-1，-2，L；

【發(fā)展】把自然數(shù)和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為“整數(shù)”。

【批判】測(cè)量或分配當(dāng)中，經(jīng)常得不到整數(shù)值，為了表示這些“數(shù)值”，引入了“分?jǐn)?shù)”，像 。

【發(fā)展】真分?jǐn)?shù)：像 ；

假分?jǐn)?shù)：像 L；

帶分?jǐn)?shù)：像 L；

【再發(fā)展】把整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為“有理數(shù)”。整數(shù)可以看作分母為1的分?jǐn)?shù)，任意有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)均可化為“ ”形式。

【批判】像 ，L，它們均是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，沒(méi)有規(guī)律性可言，簡(jiǎn)直是“蠻橫無(wú)理”！稱它們?yōu)椤盁o(wú)理數(shù)”。

【發(fā)展】把有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為“實(shí)數(shù)”，它們是實(shí)實(shí)在在的一個(gè)數(shù)。

【批判】像 L，二次根式的被開方數(shù)中出現(xiàn)“負(fù)數(shù)”，它們虛構(gòu)的，現(xiàn)實(shí)不存在的“數(shù)”，稱為“虛數(shù)”。

【發(fā)展】虛數(shù)：a+bi中虛部b≠0；虛數(shù)不能比較大??；

實(shí)數(shù)：a+bi中虛部b=0；實(shí)數(shù)可比較大??；

【再發(fā)展】把實(shí)數(shù)和虛數(shù)統(tǒng)稱為“復(fù)數(shù)”。

數(shù)域的不斷擴(kuò)充，給數(shù)集的發(fā)展不斷注入了新鮮血液。

二、培養(yǎng)學(xué)生批判性思維的基本前提

（1）熟悉數(shù)學(xué)文化，明確學(xué)生的現(xiàn)有思維水平

與其昏昏就無(wú)法使人昭昭。數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)文化要有一個(gè)清楚的認(rèn)識(shí)，通過(guò)課堂教學(xué)不斷挖掘和揭示數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵，使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)、欣賞數(shù)學(xué)，進(jìn)而掌握數(shù)學(xué)的真誠(chéng)。

數(shù)學(xué)文化有以下特征：

其一：在現(xiàn)實(shí)與科學(xué)的互動(dòng)中形成。人類的一切文化活動(dòng)都離不開現(xiàn)實(shí)生活的實(shí)踐，數(shù)學(xué)也不例外。古埃及人在尼羅河畔的測(cè)繪實(shí)踐中孕育了幾何測(cè)量學(xué)；具有柏拉圖傳統(tǒng)的古希臘人在天文學(xué)與聲學(xué)的研究中開創(chuàng)了公理化體系的思想，為人類科學(xué)探索中的理性思維豎立起光輝的典范；文藝復(fù)興時(shí)期以牛頓為代表的學(xué)者將自然哲學(xué)科學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)原理，創(chuàng)立微積分，給數(shù)學(xué)文化注入新的活力，并且使數(shù)學(xué)在物理學(xué)和工程技術(shù)等得到了廣泛的應(yīng)用，將人類文明推進(jìn)到一個(gè)全新的時(shí)代；從十七世紀(jì)歐洲保險(xiǎn)的博彩業(yè)中誕生和發(fā)展而來(lái)的概率統(tǒng)計(jì)其應(yīng)用正方興未艾LL所有這一切說(shuō)明數(shù)學(xué)文化與現(xiàn)實(shí)世界有高度有同構(gòu)關(guān)系。

其二：在發(fā)展與包容中完善。數(shù)學(xué)文化在不斷隨著社會(huì)科技的發(fā)展中與時(shí)俱進(jìn)，外部的文化環(huán)境是數(shù)學(xué)文化發(fā)展的外推力，而數(shù)學(xué)文化中包容與自我完善的機(jī)制是數(shù)學(xué)文化發(fā)展的內(nèi)驅(qū)力，其包容性和自我完善性是其他學(xué)科所無(wú)法比擬的，數(shù)學(xué)以抽象嚴(yán)謹(jǐn)著稱，但這不能概括為數(shù)學(xué)文化的全部特征，數(shù)學(xué)的許多理論并不是絕對(duì)真理，數(shù)學(xué)文化的歷史性和相對(duì)性決定了數(shù)學(xué)文化必須遵循“否定之否定”哲學(xué)原理，在包容中由不嚴(yán)格到嚴(yán)格，在揚(yáng)棄中不斷自我完善和發(fā)展數(shù)學(xué)文化，這才是數(shù)學(xué)文化的顯著特征。

其三：在整合與創(chuàng)新中超越。今天數(shù)學(xué)在各行各業(yè)的應(yīng)用之所以從幕后走到臺(tái)前，除了數(shù)學(xué)文化能很好地提示客體發(fā)展的客觀規(guī)律外，還由于數(shù)學(xué)文化的前瞻性隨著時(shí)代的發(fā)展而愈發(fā)顯現(xiàn)出來(lái)。眾所周知，著名物理學(xué)家麥克斯韋在十九世紀(jì)由電磁規(guī)律所建立的麥克斯韋微分方程組，不僅從理論上證明了光也是一種電磁波，還預(yù)言了電磁波的存在，從而把電、磁、光統(tǒng)一起來(lái)，這一切均被實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。非歐幾何引起數(shù)學(xué)思想的巨大變化，是數(shù)學(xué)在整合創(chuàng)新中極具超越精神的光輝例證，盡管一些數(shù)學(xué)模型在建立之初是如此抽象和不可理解，但是具有超前意識(shí)的數(shù)學(xué)家找到了它們的現(xiàn)實(shí)背景，非歐幾何成為了相對(duì)論、視覺空間理論的基礎(chǔ)，難怪物理大師愛因斯坦不得不驚呼“理論物理學(xué)家越來(lái)越不得不服從純數(shù)學(xué)的形式支配”。

數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)教學(xué)的底蘊(yùn)，而數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)精神是學(xué)生的靈魂，數(shù)學(xué)文化正是把它們二者高度地統(tǒng)一起來(lái)。

（2）合理設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)內(nèi)容，循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維

數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)：抽象性、嚴(yán)密性和廣泛應(yīng)用性。而對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的認(rèn)識(shí)要經(jīng)過(guò)“實(shí)踐——認(rèn)識(shí)——再實(shí)踐——再認(rèn)識(shí)”這一過(guò)程，換言之，對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，始終是一個(gè)歷史，發(fā)展的動(dòng)態(tài)過(guò)程，這種過(guò)程不會(huì)終結(jié)，只有更加完善。

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要設(shè)計(jì)出切合實(shí)際的學(xué)習(xí)任務(wù)，優(yōu)化處理數(shù)學(xué)教材，發(fā)動(dòng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，不面面俱到，要舍得放棄，突出重點(diǎn)，走出數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的窘境。

不滿堂灌，不拘泥于某一種教學(xué)模式，不迷戀于一種教法，批判性地認(rèn)識(shí)教學(xué)方法，融入個(gè)人思想，匯集當(dāng)?shù)靥厣?，把?shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，分層施教，和而不同、和而不流，讓不同程度的學(xué)生能在有限的時(shí)間內(nèi)啟迪心智、提升品格，使數(shù)學(xué)教學(xué)步入佳境，循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維。

例3.求函數(shù)y=x（1-x），0

【初中數(shù)學(xué)的解法】配方法，

y=-x2+x （去括號(hào)）

=-（x- ）2+ （配方）

∵0

∴x= 時(shí)，函數(shù)的最大值= （在頂點(diǎn)處取最大值）

【高中數(shù)學(xué)的解法1】應(yīng)用均值不等式

∵0

∴1-x>0， （驗(yàn)證“一正、二定、三相等”條件）

∴y=x（1-x）≤ ，

當(dāng)且僅當(dāng)x=1-x，即x= 時(shí)，等號(hào)成立。

【高中數(shù)學(xué)的解法2】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)

∵0

∴yˊ=-2x+1 （求導(dǎo)）

∵00；

∴函數(shù)在（0， ）上遞增，在（ ，1）上遞減，

∴x= 時(shí)，函數(shù)取最大值，即ymax=f（ ）= 。

注意：因人而異，因材施教，實(shí)現(xiàn)百花齊放。

三、培養(yǎng)學(xué)生批判性思維對(duì)教師提出的種種挑戰(zhàn)

社會(huì)迅猛發(fā)展，學(xué)生要求教師專業(yè)素質(zhì)越來(lái)越高，不斷提出他們學(xué)習(xí)發(fā)展的需求。打籃球，要求老師像姚明一樣，一伸手就扣籃；跑起步，要求老師像蘇炳添一樣，一溜煙就跑完；游起泳，要求老師像孫陽(yáng)一樣，魚一樣穿梭；LL教師永遠(yuǎn)是學(xué)者，活到老學(xué)到老，與學(xué)生一起學(xué)習(xí)，不斷進(jìn)步，不斷提升自身的專業(yè)技術(shù)水平，不斷滿足學(xué)生日益發(fā)展需要。教師又是教練，怎樣帶好隊(duì)員？怎樣帶好隊(duì)伍？怎樣發(fā)揮出隊(duì)伍的最大效率？均是給教師提出的種種挑戰(zhàn)。冷靜面對(duì)挑戰(zhàn)，靈活應(yīng)對(duì)，深刻透視以下四個(gè)的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題：

（1）正確認(rèn)識(shí)“為什么要學(xué)數(shù)學(xué)”？

首先，數(shù)學(xué)是有用的。在生活、生產(chǎn)、科學(xué)和技術(shù)中，我們都會(huì)看到數(shù)學(xué)的許多應(yīng)用。數(shù)學(xué)學(xué)科是“研究數(shù)量關(guān)系和空間形式”，在理論中，在物質(zhì)世界中，在精神世界中，處處都有用場(chǎng)。數(shù)學(xué)就在我們身邊，她是科學(xué)的語(yǔ)言，她是一切科學(xué)和技術(shù)的基礎(chǔ)，她是我們思考和解決問(wèn)題的工具。

其次，學(xué)數(shù)學(xué)能提高能力。數(shù)學(xué)學(xué)得好，更容易學(xué)好其他理論。理論之間往往有彼此想通和共同的東西，而“數(shù)量關(guān)系與空間形式”、邏輯結(jié)構(gòu)及探索思維等正是它們支架或脈絡(luò)，因而數(shù)學(xué)恰在它們的核心處。這樣，在數(shù)學(xué)中得到的訓(xùn)練和修養(yǎng)會(huì)很好地幫助我們學(xué)習(xí)其他理論，數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高對(duì)于個(gè)人能力的發(fā)展至關(guān)重要。

（2）如何才能學(xué)好數(shù)學(xué)？

數(shù)學(xué)是自然的，數(shù)學(xué)內(nèi)容是在人類長(zhǎng)期的實(shí)踐中經(jīng)過(guò)千錘百煉的數(shù)學(xué)精華和基礎(chǔ)，其中的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展都是自然的。如果有人感到某個(gè)概念不自然，是強(qiáng)加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成過(guò)程，它的應(yīng)用，以及它與其他概念的聯(lián)系，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)它實(shí)際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理，甚至很有人情味，這有助于大家的學(xué)習(xí)。

數(shù)學(xué)是清楚的。清楚的前提，清楚的推理，得出清楚的結(jié)論，數(shù)學(xué)中命題，對(duì)就是對(duì)，錯(cuò)就是錯(cuò)，不存在絲毫的含糊。我們說(shuō)，數(shù)學(xué)是易學(xué)的，因?yàn)樗乔宄?，只要大家按照?shù)學(xué)規(guī)則，按部就班地學(xué)，循序漸進(jìn)地想，絕對(duì)可以學(xué)懂；我們又說(shuō)，數(shù)學(xué)是難學(xué)的，也因?yàn)樗乔宄模绻腥瞬皇前凑諗?shù)學(xué)規(guī)則去學(xué)去想，總想把“想當(dāng)然”的東西強(qiáng)加給數(shù)學(xué)，在沒(méi)有學(xué)會(huì)加法的時(shí)候就想學(xué)乘法，那就要處處碰壁，學(xué)不下去了。

在對(duì)數(shù)學(xué)有一個(gè)正確認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，還要講究一點(diǎn)方法。學(xué)數(shù)學(xué)要摸索自已的學(xué)習(xí)方法。學(xué)習(xí)、掌握并能靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)的途徑有千萬(wàn)條，每個(gè)人都可以有與眾不同的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。做習(xí)題、用數(shù)學(xué)解決各種問(wèn)題是必需的，理解概念、學(xué)會(huì)證明、領(lǐng)會(huì)思想、掌握方法也是必需的，還要充分發(fā)揮問(wèn)題的作用，問(wèn)題使我們的學(xué)習(xí)更主動(dòng)、更生動(dòng)、更富探索性。要善于提問(wèn)，學(xué)會(huì)提問(wèn)，“凡事問(wèn)個(gè)為什么”，用自已的問(wèn)題和別人的問(wèn)題帶動(dòng)自已的學(xué)習(xí)，類比地學(xué)、聯(lián)系地學(xué)，既要從一般概念中看到它的具體背景，不使概念“空洞”，又要在具體例子中想到它蘊(yùn)含的一般概念，以使事物有“靈魂”。

學(xué)數(shù)學(xué)趁年輕。高中生正處在一生中接受數(shù)學(xué)訓(xùn)練、打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的最佳時(shí)期。這個(gè)時(shí)期下點(diǎn)兒功夫?qū)W數(shù)學(xué)，將會(huì)終身受益。

（3）怎樣教好數(shù)學(xué)？

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的基本流程：提出問(wèn)題——嘗試解法——分析比較——解決問(wèn)題——方法提煉——問(wèn)題拓展。

南京師范大學(xué)附中特級(jí)教師陶維林就“一節(jié)好的數(shù)學(xué)課的標(biāo)準(zhǔn)”作個(gè)性鮮明的說(shuō)明：①學(xué)生參與度越高越好；②教師如何教？如何引領(lǐng)學(xué)生思考？如何引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)問(wèn)題？③讓學(xué)生學(xué)會(huì)了多少？學(xué)得越多越好；④數(shù)學(xué)教學(xué)的特色是什么？要有個(gè)性；⑤合理地教學(xué)設(shè)計(jì)，越大氣越好；

如何上好一節(jié)數(shù)學(xué)課目前尚沒(méi)有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。個(gè)人認(rèn)為課前充分備好課，備學(xué)生、備教材、備課時(shí)教案、備教法、備教具，優(yōu)化設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，有舍有棄，胸有成竹；課堂教學(xué)要靈活互動(dòng)教學(xué)，突出重點(diǎn)，不面面俱到，精講多練；課后及時(shí)反思，不斷提升教學(xué)水平。

（4）怎樣處理教學(xué)實(shí)踐中的矛盾？

矛盾一：一節(jié)課40分鐘，讓“學(xué)生討論”與“教師講授”的時(shí)間如何分配？頗受爭(zhēng)議。讓學(xué)生互動(dòng)多、練習(xí)多，自然要求教師要少講；如果教師講少了，許多內(nèi)容得不到強(qiáng)調(diào)，學(xué)生會(huì)自主學(xué)會(huì)嗎？

目前，各地流行“大班教學(xué)”，克服學(xué)生人數(shù)多的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。分層教學(xué)固然重要，因材實(shí)教。如果學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力強(qiáng)，點(diǎn)拔一下，他們就會(huì)了，教師肯定要“少講”多練。如果學(xué)生的基礎(chǔ)差，則需要教師反復(fù)點(diǎn)拔，講的時(shí)間肯定“多”。不管如何，一節(jié)課要有取舍，突出重點(diǎn)，必須完成主要的教學(xué)內(nèi)容，多講少講沒(méi)有個(gè)準(zhǔn)，學(xué)生能掌握東西就才OK！

矛盾二：教學(xué)手?jǐn)嗍遣皇窃礁呒?jí)越好？多媒體教學(xué)與傳統(tǒng)教學(xué)矛盾沖撞！

個(gè)人認(rèn)為：數(shù)學(xué)教育手?jǐn)嗖灰姷迷礁呒?jí)越好！多媒體教學(xué)僅僅是輔助教學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)是抽象的教育活動(dòng)，很多情況下需要傳統(tǒng)的“手把手”點(diǎn)拔、推理。目前，很多優(yōu)質(zhì)課競(jìng)賽均采用多媒體教學(xué)，表面上教學(xué)容量大、師生互動(dòng)多，實(shí)際上那些是花架的，不實(shí)用，一閃一閃的屏幕，學(xué)生無(wú)法正常記錄、反應(yīng)、思考，像看電影似的，坐著看上一把癮，談不上發(fā)現(xiàn)問(wèn)題或提出問(wèn)題。

矛盾三：高中數(shù)學(xué)解題難度大，專項(xiàng)訓(xùn)練耗時(shí)多，是不是訓(xùn)練越多越好？

自中央落實(shí)“八項(xiàng)規(guī)定”以來(lái)，一周五天教學(xué)工作制，周未沒(méi)補(bǔ)課。時(shí)間緊，教學(xué)任務(wù)卻不減。上課起來(lái)像跑步一樣，飛著不著地。數(shù)學(xué)訓(xùn)練更是沒(méi)有個(gè)譜，有日考、周考、月考、統(tǒng)測(cè)，就沒(méi)有時(shí)間完整點(diǎn)評(píng)，滑著跑。數(shù)學(xué)光講不練，萬(wàn)萬(wàn)不行；數(shù)學(xué)光練不講，效果不行。

“精講”與“多練”矛盾沖突，需要平衡。復(fù)雜問(wèn)題可以歸類教學(xué)，一一化解難點(diǎn)，通過(guò)“專題比較”教學(xué)，讓函數(shù)圖像變換帶來(lái)勃勃生機(jī)，讓學(xué)生就平移的方向、平移的位置、伸縮量的大小、對(duì)稱性質(zhì)等等，多視角批判思考，從而提升完整的系統(tǒng)認(rèn)知。

例4.說(shuō)說(shuō)下列函數(shù)的圖象變換

（1）y=sin x→y=sin（x-2）； （向右平移兩個(gè)長(zhǎng)度單位）

（2）y=sin x→y=sin（x+2）； （向左平移兩個(gè)長(zhǎng)度單位）

（3）y=sin x→y=sin2x； （縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短兩倍）

（4）y=sin x→y=sin ； （縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)兩倍）

（5）y=sin x→y=sin x+2； （向上平移兩個(gè)長(zhǎng)度單位）

（6）y=sin x→y=sin x-2； （向下平移兩個(gè)長(zhǎng)度單位）

（7）y=sin x→y=cos x； （向左平移 個(gè)長(zhǎng)度單位）

（8）y=f（x）→y=|f（x）|； （x軸上方部分保留，下方部分對(duì)折到上方來(lái)）

（9）y=f（x）→y=f（-x）； （圖象關(guān)于y軸對(duì)稱）

（10）y=f（x）→y=-f（-x）； （圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱）

小結(jié)：函數(shù)的變換要熟記，可運(yùn)用多媒體輔助教學(xué)，加以深刻認(rèn)識(shí)。對(duì)于繁雜函數(shù)的圖象，需要轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型或常見函數(shù)類型，方可作圖。對(duì)于分段函數(shù)的圖象，需要逐段繪圖，不可馬虎，它只是一個(gè)函數(shù)，不是多個(gè)函數(shù)。

四、四、探索培養(yǎng)學(xué)生批判性思維的有效資源與良好的教學(xué)方式

1.

學(xué)生接觸的教學(xué)資源主要是教材、學(xué)校征訂資料、報(bào)紙雜志、手機(jī)搜索、電腦下載等等，涉及面大，內(nèi)容多，無(wú)時(shí)不出現(xiàn)新問(wèn)題，無(wú)處不存在新問(wèn)題。

1、 教學(xué)資源泛濫，良莠不齊，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生批判性思維有負(fù)面影響

當(dāng)下是網(wǎng)絡(luò)時(shí)代，學(xué)生獲得教學(xué)資源的途徑有多種多樣。有自已主動(dòng)上網(wǎng)搜索，或與同伴交流共享，或閱讀新聞媒體，或詢問(wèn)長(zhǎng)輩等等，主要來(lái)自于個(gè)人的學(xué)習(xí)需要。然而，學(xué)習(xí)信息有真有假，資料良莠不齊，媒體眾說(shuō)不一，長(zhǎng)輩各有說(shuō)辭，造就了學(xué)生思想混亂，很難理清頭緒。面對(duì)數(shù)學(xué)課堂中出現(xiàn)的新問(wèn)題、新思想，批判性的主見很難形成，頭腦往往思維定勢(shì)，屢屢出現(xiàn)隨大流的現(xiàn)象。

針對(duì)教學(xué)資源泛濫問(wèn)題，需要過(guò)濾網(wǎng)絡(luò)資源，辯其真?zhèn)危瑑?yōu)化選擇公信度更高的信息作為培養(yǎng)學(xué)生具有批判性思維的素材，若能組織一些老師自編教材，開展校本課程開發(fā)，對(duì)學(xué)生的批判性思維必有很大的推動(dòng)作用。

2、 2.教師的教學(xué)方式與學(xué)生的學(xué)習(xí)方式要和諧發(fā)展，實(shí)現(xiàn)雙贏

教學(xué)是一門交流藝術(shù)，老師的教與學(xué)生的學(xué)，雙向互動(dòng)。

如果學(xué)生素質(zhì)好，老師點(diǎn)拔一下就可以了，教的時(shí)間不長(zhǎng)，主要讓學(xué)生不斷批判，自主探索新問(wèn)題。“拔尖”的學(xué)生不是教出來(lái)的，而是指導(dǎo)出來(lái)的，沒(méi)有必要花過(guò)多的時(shí)間在管理的細(xì)節(jié)上，專攻教學(xué)點(diǎn)拔即可。如果學(xué)生素質(zhì)不好，老師要預(yù)留出問(wèn)題或引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，讓學(xué)生批判已有的知識(shí)，找出新問(wèn)題的對(duì)策，逐漸提升數(shù)學(xué)思維能力，時(shí)間要有保證，更要突出“教法”的優(yōu)化。

數(shù)學(xué)是清楚的，相似或相近的教學(xué)內(nèi)容可采用“專題類比”，集中比較各異，上下貫通，讓學(xué)生前后比較，批判方程結(jié)構(gòu)的差異性，批判方程成立的適用條件，批判方程的完整性，不斷加深認(rèn)識(shí)，形成完整的系統(tǒng)認(rèn)知。

例5.類比學(xué)習(xí)圓錐曲線方程

1. 圓的方程

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

① （x-a）2+（y-b）2=R2； 圓心（a，b），半徑=R；離心率e=0

② x2+y2=R2； 圓心（0，0），半徑=R；離心率e=0

圓的一般方程： x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D2+E2-4F>0）

圓的參數(shù)方程：

① 圓心（a，b），半徑=R；

② 圓心（0，0），半徑=R；

2. 橢圓的方程

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

橢圓的一般方程： mx2+ny2=1 （m>0，n>0）；

橢圓的參數(shù)方程：

（1） （a>b>0） 焦點(diǎn)在x軸，

（2） （a>b>0） 焦點(diǎn)在y軸，

3. 雙曲線的方程

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

雙曲線的一般方程： mx2+ny2=1 （mn<0）；

雙曲線的參數(shù)方程：

（1） （a>0，b>0） 焦點(diǎn)在x軸，

（2） （a>0，b>0） 焦點(diǎn)在y軸，

4. 拋物線的方程

（1）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

y2=2px，p>0； p為焦準(zhǔn)距，焦點(diǎn)在x軸，開口向右；

y2=-2px，p>0； p為焦準(zhǔn)距，焦點(diǎn)在x軸，開口向左；

x2=2py，p>0； p為焦準(zhǔn)距，焦點(diǎn)在y軸，開口向上；

x2=-2py，p>0； p為焦準(zhǔn)距，焦點(diǎn)在y軸，開口向下；

（2）拋物線的參數(shù)方程

p為焦準(zhǔn)距，焦點(diǎn)在x軸，開口向右；

p為焦準(zhǔn)距，焦點(diǎn)在x軸，開口向左；

p為焦準(zhǔn)距，焦點(diǎn)在y軸，開口向上；

p為焦準(zhǔn)距，焦點(diǎn)在y軸，開口向下；

小結(jié)：通過(guò)類比學(xué)習(xí)，明確方程的結(jié)構(gòu)特征，各有千秋，一目了然。

五、總結(jié)歸納培養(yǎng)學(xué)生批判性思維的結(jié)構(gòu)化程序

上一節(jié)數(shù)學(xué)課之前，教師首先要備課，事先要備好學(xué)生目前的思維水平、備教材、備教學(xué)內(nèi)容、備教具等。選定教學(xué)課題之后，要優(yōu)化該課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容，精選教學(xué)素材。教師課前預(yù)設(shè)出批判內(nèi)容，好讓學(xué)生有目的地去探索。課堂教學(xué)中，教師主動(dòng)讓學(xué)生批判。學(xué)生發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)很多越好。教師引導(dǎo)學(xué)生逐一解決新問(wèn)題，初步形成學(xué)生批判思維。經(jīng)多次升華，反復(fù)批判，思維能力才牢固形成。下圖形象地表示出“批判性思維的一個(gè)變化周期”。

批判性思維的一個(gè)變化周期示意圖

人的思維經(jīng)常定勢(shì)，起始水平為A。經(jīng)過(guò)批判性學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、解決新問(wèn)題之后，思維水平升為B。若不繼續(xù)加以批判性學(xué)習(xí)，他的思維水平就定勢(shì)在B上。學(xué)習(xí)無(wú)止境，活到老學(xué)到老，需要后續(xù)不斷的批判性學(xué)習(xí)，方可不斷提升思維水平。為解決此類問(wèn)題，老師經(jīng)常要“變式訓(xùn)練”，通過(guò)微妙差異性的訓(xùn)練題強(qiáng)化學(xué)生的應(yīng)對(duì)能力，多方位提升學(xué)生的批判性思維水平。

例6.（1）若函數(shù)f（x）=x2+ax+1，當(dāng)x?[0，2]時(shí)恒有f（x）>0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若函數(shù)f（x）=x2+ax+1，當(dāng)a?[0，2]時(shí)恒有f（x）>0，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；

【分析】問(wèn)題（1）中x是主元；問(wèn)題（2）中a是主元。不斷批判數(shù)學(xué)問(wèn)題，提升分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=1>0恒成立，得a?R；

當(dāng)x?（0，2]時(shí)，由x2+ax+1>0恒成立，得a

∵ （當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立）

∴a>-2。

（2）由a?[0，2]，恒有f（x）=x2+ax+1>0

設(shè)g（a）=ax+x2+1=f（x），

∴

∴x?R，x≠-1。

【注意】批判相近的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)比較，找出關(guān)鍵因素，迎刃而解。

例7.已知兩個(gè)函數(shù)f（x）=8x2+16x-k，g（x）=2x3+5x2+4x，x?[-3，3]，k?R。

（1）若對(duì)任意x?[-3，3]，都有f（x）≤g（x）成立，求k的取值范圍；

（2）若存在x?[-3，3]， 使得f（x）≤g（x）成立，求k的取值范圍；

（3）若對(duì)任意x1，x2?[-3，3]，都有f（x1）≤g（x2）成立，求k的取值范圍；

解：（1）設(shè)h（x）=g（x）-f（x）=2x3-3x2-12x+k，

∵任意x?[-3，3]，都有f（x）≤g（x）成立；即h（x）?0恒成立；

∴[h（x）]min?0

∵h(yuǎn)ˊ（x）=6x2-6x-12=6（x-2）（x+1）>0?x<-1或x>2；

hˊ（x）<0?-1

∴h（x）在（-∞，-1）上遞增，在（-1，2）上遞減，在（2，+∞）上遞增；

∵h(yuǎn)（-3）=k-45，h（-1）=k+7，h（2）=k-20，h（3）=k-9，

∴[h（x）]min=k-45?0，∴k?45；

（2）問(wèn)題等價(jià)于h（x）=g（x）-f（x）?0在x?[-3，3]有解，

∴[h（x）]max?0

由（1）得知：[h（x）]max=k+7?0，∴k?-7；

（3）問(wèn)題等價(jià)于[f（x）]max≤[g（x）]min在x?[-3，3]恒成立，

∵[f（x）]max=120-k，[g（x）]min=-21，

∴120-k≤-21， ∴k?141。

【小結(jié)】要“等價(jià)轉(zhuǎn)化”數(shù)學(xué)問(wèn)題，使其變?yōu)槲覀兡軌蚧蛉菀滋幚淼暮瘮?shù)類型，運(yùn)用化歸思想，化難為易。

六、與批判性思維培養(yǎng)相關(guān)的教學(xué)反思

案例+反思=教師的專業(yè)成長(zhǎng)。也就是說(shuō)教師的成長(zhǎng)過(guò)程可以歸結(jié)為通過(guò)反思積累教學(xué)案例的過(guò)程?？梢哉n前反思或課后反思，通常在上第一次課時(shí)要采用課前反思，上第二次課時(shí)要采用課后反思。

課后反思，顧名思義就是上課之后進(jìn)行教學(xué)反思，其內(nèi)容主要是反思備課的效果和教案的預(yù)設(shè)。

經(jīng)常性的進(jìn)行課后反思，不僅可以同以往的教學(xué)工作聯(lián)系，起到承上啟下的作用，還能夠從整體上觀察本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，查漏補(bǔ)缺；能夠進(jìn)一步明確教學(xué)目標(biāo)，確定教學(xué)起點(diǎn)；能夠檢測(cè)預(yù)設(shè)方案和學(xué)生的符合程度。在研究實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)，能夠經(jīng)常做課后反思的教師對(duì)課堂把握的程度要更好，課堂教學(xué)效果也更加理想。因?yàn)樗呀?jīng)實(shí)踐過(guò)一次，先前遇到的問(wèn)題、節(jié)奏的掌控、重難點(diǎn)的把握愈發(fā)靈活應(yīng)付。同一個(gè)教師上兩個(gè)班數(shù)學(xué)課，后一個(gè)班級(jí)的效果是要比前一個(gè)好，就是這個(gè)道理。

同樣地，課前反思也有一定的預(yù)設(shè)功效，事先評(píng)估學(xué)生的實(shí)際，科學(xué)設(shè)計(jì)教案，盡量減少課堂教學(xué)失誤。

筆者在這里，只就課后反思的內(nèi)容作深入闡述。

（1）反思課程內(nèi)容

本節(jié)課要上什么是反思的首選。教學(xué)內(nèi)容要符合學(xué)生實(shí)際，符合課程體系，逐步培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手能力，循序漸進(jìn)提升學(xué)生批判性思維，不可恣意更改或添加輔助教學(xué)內(nèi)容。例如：人教A版《數(shù)學(xué)必修3》第三章第一節(jié)“隨機(jī)事件的概率”這一知識(shí)點(diǎn)的講授中，新課程標(biāo)準(zhǔn)明確要求讓學(xué)生“會(huì)用列舉法計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率”，但是筆者發(fā)現(xiàn)：許多教師事先為學(xué)生講解了計(jì)數(shù)的加法原理和乘法原理，而忽視了讓學(xué)生理解隨機(jī)事件的具體含義，沒(méi)有培養(yǎng)學(xué)生尋找基本事件的能力，而且這不是個(gè)別現(xiàn)象。

（2）反思教學(xué)目標(biāo)是否明確

教學(xué)目標(biāo)中的行為動(dòng)詞應(yīng)該是可測(cè)量的，也就是說(shuō)我們可以通過(guò)某一道習(xí)題或者某種測(cè)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)我們的教學(xué)目標(biāo)是否達(dá)到了，如果教學(xué)目標(biāo)達(dá)成，我們才可以進(jìn)行下一章節(jié)的學(xué)習(xí)，反之則不行。例如：“讓學(xué)生掌握（理解）一元二次不等式的解法”就是一個(gè)錯(cuò)誤的教學(xué)目標(biāo)。這里的掌握、理解均是抽象的行為動(dòng)詞，不可測(cè)量。正確的教學(xué)目標(biāo)可以是“學(xué)生能解決三步以內(nèi)的一元二次不等式的解法”，這樣我們就能夠清楚地評(píng)估出本節(jié)課達(dá)到什么程度就是教學(xué)成功。

（3）反思學(xué)生的當(dāng)前水平

教師要反思學(xué)生的當(dāng)前發(fā)展水平，簡(jiǎn)單地說(shuō)，好的教學(xué)內(nèi)容不能夠太難，也不能太簡(jiǎn)單，而應(yīng)該是讓學(xué)生“跳一跳，就能夠得到的”。新課程改革下強(qiáng)調(diào)為學(xué)生終身發(fā)展服務(wù)，我們的教學(xué)工作一定要有人性化，符合學(xué)生本身發(fā)展，選擇合理的教學(xué)內(nèi)容，有效地提高課堂教學(xué)效率，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生積極向上的品質(zhì)。

（4）情境引入是否恰當(dāng)

新課程改革下，課堂引入可以分為兩種，一種是“創(chuàng)設(shè)情境教學(xué)，另一種為“情境—教學(xué)”。前者是傳統(tǒng)意義上的情境引入式教學(xué)，后者是西南地區(qū)開展的“設(shè)置數(shù)學(xué)情境與提出數(shù)學(xué)問(wèn)題”教學(xué)實(shí)驗(yàn)所提出來(lái)的教學(xué)基本模式。兩者的共同點(diǎn)都是通過(guò)一個(gè)現(xiàn)實(shí)情境來(lái)引入教學(xué)。

新課程改革主張：數(shù)學(xué)生活化，強(qiáng)調(diào)情境設(shè)計(jì)的生活性。

創(chuàng)設(shè)情境首先要注重聯(lián)系學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活，在學(xué)生鮮活的日常生活環(huán)境中發(fā)現(xiàn)、挖掘?qū)W習(xí)情境的資源。其次要挖掘和利用學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，強(qiáng)調(diào)情境創(chuàng)設(shè)的形象性。再次要體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科特色，緊扣教學(xué)內(nèi)容，能夠簡(jiǎn)單明了地讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)情境中蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)問(wèn)題，能夠激發(fā)學(xué)生情感。

（5）課件使用是否得當(dāng)

不能為了省事而用課件代替板書，把教學(xué)內(nèi)容羅列在POWERPOINT上，缺乏互動(dòng)性、時(shí)效性差。

哪些教學(xué)內(nèi)容要呈現(xiàn)在課件上，哪些則不需要，必須要明確，精選教學(xué)素材，突出重點(diǎn)，不能面面俱到。

課件展現(xiàn)形式有靜態(tài)、動(dòng)態(tài)之分。無(wú)論選擇+哪一種制作方式，課件要科學(xué)、準(zhǔn)確地反映教學(xué)內(nèi)容，簡(jiǎn)潔地表達(dá)出設(shè)計(jì)目標(biāo)，充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)思想和方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和學(xué)習(xí)興趣。

（6）反思教材

新課程改革后，教材一再變動(dòng)，有刪減、有增加、有變化。要正確理解新教材的編寫意圖，正確理解教材中的內(nèi)容，有利于開展課堂教學(xué)，有利于教師專業(yè)素質(zhì)的提高。

（7）反思一題多解

數(shù)學(xué)和其他學(xué)科相比，有一個(gè)顯著的區(qū)別就是出現(xiàn)“一題多解”頻次高。反思我們準(zhǔn)備的習(xí)題是否有“一題多解”，反思我們的思想是否考慮周全。一旦發(fā)現(xiàn)有“一題多解”，要善于提問(wèn)學(xué)生，啟發(fā)學(xué)生的批判性思考，讓學(xué)生探索出多個(gè)解題方法，各抒已見。

結(jié)束語(yǔ)：思維定勢(shì)與批判性思維是矛盾的“對(duì)立統(tǒng)一體”，在人的思維活動(dòng)發(fā)展中，它們互相促進(jìn)，互相轉(zhuǎn)化，它們和諧發(fā)展過(guò)程就是人辯證思維能力的提高過(guò)程，我們惟有對(duì)思維和求異思維能力各自的作用加以利用，不斷批判性思考，最大程度地培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人，充分感受數(shù)學(xué)求知的樂(lè)趣，在不斷探究和合作學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，在解決問(wèn)題的過(guò)程中全面提高批判性思維。

參考文獻(xiàn)：

（1）普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書系列用書（有必修、選修）：人民教育出版社、課程教材研究所、中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心編著，劉紹學(xué)主編，2017；

（2）《教育學(xué)新編》：廣西師范大學(xué)出版社，徐瑩主編，2000年10月；

（3）《心理學(xué)》：廣西師范大學(xué)出版社，沈陽(yáng)主編，2000年10月；

（4）《數(shù)學(xué)分析講義》（第三版），高等教育出版社，劉玉璉、傅沛仁主編，1994，

（5） 《近世代數(shù)基礎(chǔ)》，高等教育出版社，張禾瑞著，1978年修訂本，