【摘要】2016年10月8日，教育部考試中心公布了《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》（教試中心函〔2016〕179號(hào)）.關(guān)于數(shù)學(xué)科目修訂的內(nèi)容之一就是增加了對(duì)數(shù)學(xué)文化的要求.本文由電視劇《愛情最美麗》的主臺(tái)詞編擬了一道原創(chuàng)“數(shù)學(xué)文化”高考模擬題，涉及等比數(shù)列、近似計(jì)算、計(jì)數(shù)原理和數(shù)論知識(shí)，供讀者欣賞.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)文化；等比數(shù)列；近似計(jì)算；電視劇《愛情最美麗》

題目電視劇《愛情最美麗》（張國(guó)立導(dǎo)演，北京國(guó)立常升影視文化傳播有限公司，2013年）主臺(tái)詞（見第6集）：你聽說(shuō)過(guò)嗎？前世五百次的回眸，換來(lái)今世的一次擦肩而過(guò)；前世五百次的擦肩而過(guò)，換來(lái)今世的一次相遇；前世五百次的相遇，換來(lái)今世的一次相識(shí)；前世五百次的相識(shí)，換來(lái)今世的一次相知；前世五百次的相知，換來(lái)今世的一次相愛.如果你的愛情出現(xiàn)了，你們一定會(huì)從人群中，一眼找到彼此.不管中間隔了多少險(xiǎn)阻，都一定會(huì)遇到.這，就叫做緣分！

由這段話還可得到一個(gè)首項(xiàng)和公比均為500、項(xiàng)數(shù)為5的等比數(shù)列an：

前世a1次的回眸，換來(lái)今世的一次擦肩而過(guò)；前世a2次的回眸，換來(lái)今世的一次相遇；前世a3次的回眸，換來(lái)今世的一次相識(shí)；前世a4次的回眸，換來(lái)今世的一次相知；前世a5次的回眸，換來(lái)今世的一次相愛.

請(qǐng)你回答以下問題：

（1）已知一年大約是365×24×3600=31536000（秒）.若回眸一次用時(shí)1秒，則換來(lái)今世的一次相愛，前世需用個(gè)（精確到1）十萬(wàn)年的時(shí)間來(lái)回眸；

（2）正整數(shù)a5的正約數(shù)個(gè)數(shù)是 ；

（3）若正整數(shù)a5的正約數(shù)和是A，則42047A+1是位數(shù)（其中[x]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010）

解可得a5=500·5004=210515，因而a5的全部正約數(shù)組成的集合是{2α5β|α=0，1，2，…，10；β=0，1，2，…，15}.

（1）換來(lái)今世的一次相愛，前世需用a5=5005=3.125×1013秒時(shí)間來(lái)回眸.因?yàn)?/p>

3.125×101331536000=3.125×10133.1536×107=31.253.1536×105

3.1536×9.5<3.2×9.5=30.4<31.25

9.5<31.253.1536<10.

從而可得所求答案是10.

（2）由分步計(jì)數(shù)乘法原理可得a5的正約數(shù)個(gè)數(shù)是（10+1）（15+1）=176.

（3）可得

A=（1+2+22+…+210）（1+5+52+…+515）=1-2111-2·1-5161-5=20174（516-1），

42047A+1=516，

可得42047A+1即516的位數(shù)是[16lg5]+1，也即17-[16lg2].

由lg2≈0.3010，可猜測(cè)4<16lg2<5，對(duì)其嚴(yán)格證明如下：

由4lg2=lg16>1，可得4<16lg2；由211=2048<3125=55，可得216<105，16lg2<5.

所以4<16lg2<5，17-[16lg2]=12.

因而42047A+1即516是12位數(shù).

考查目標(biāo)（1）閱讀理解能力；（2）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求法；（3）用不等式的放縮法得出相應(yīng)的近似計(jì)算估值；（4）用分步計(jì)數(shù)乘法原理解決相應(yīng)的計(jì)數(shù)問題；（5）用相應(yīng)的數(shù)論知識(shí)解題.

設(shè)計(jì)思路2016年10月8日，教育部考試中心公布了《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》（教試中心函〔2016〕179號(hào)）.關(guān)于數(shù)學(xué)科目修訂的內(nèi)容之一就是增加了對(duì)數(shù)學(xué)文化的要求.本文由電視劇《愛情最美麗》的主臺(tái)詞編擬了一道原創(chuàng)“數(shù)學(xué)文化”高考模擬題，涉及等比數(shù)列、近似計(jì)算、計(jì)數(shù)原理和數(shù)論知識(shí)，供讀者欣賞.

針對(duì)此題，筆者也談一點(diǎn)當(dāng)前的高考復(fù)習(xí)備考.最有效的教法是講練結(jié)合，最有效的學(xué)法是“夯實(shí)基礎(chǔ)、激發(fā)興趣、著眼高考、適當(dāng)提高”.學(xué)困生的學(xué)習(xí)方法必須要有一種鍥而不舍的精神：聽老師五百次的講課，換來(lái)一次聽懂；昨天五百次的聽懂，換來(lái)今天的一次會(huì)做題；昨天五百次的會(huì)做題，換來(lái)今天的一次熟練解題；昨天五百次的熟練解題，換來(lái)今天的一次巧解；昨天五百次的巧解，換來(lái)今天的一次融會(huì)貫通；昨天五百次的融會(huì)貫通，換來(lái)今天的一次考取名校.努力吧，天道酬勤！

筆者根據(jù)電視劇《政協(xié)主席》片尾曲《心里裝著誰(shuí)》（作詞：閻肅，作曲：孟慶云，演唱：佟鐵鑫）的歌詞改編成《心里裝著什么》贈(zèng)送給讀者朋友：

師心里裝著教法，生心里裝著學(xué)習(xí)，在這拼搏奮進(jìn)的時(shí)刻，想一想心里裝著什么？

馬心里裝著千里，鷹心里裝著高飛，在這潮奔浪涌的時(shí)代，問一問心里裝著什么？

我們走過(guò)了千山萬(wàn)水，面對(duì)大野的芳菲，心里裝著要用的知識(shí)啊，便心無(wú)旁騖地迎接每一個(gè)朝陽(yáng)！

有些事，一生只能遇到一次，高三就是；有些事，一次影響一生，一個(gè)人的第一學(xué)歷、第一次婚姻、第一份工作、與他人之間的第一印象等等都是.高三師生們，拼搏奮進(jìn)吧，你定會(huì)成功的！

難度估計(jì)0.52

作者簡(jiǎn)介甘志國(guó)（1971—），湖北竹溪人，高級(jí)教師，特級(jí)教師，研究方向：解題研究、高考研究和初等數(shù)學(xué)研究.