王鳳春 張冰

在選修教學中，為了證明不等式aba>0，m>0），我作了如下教學設計.

1教學設計

例題若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水會變得更甜，試將這一事實用數學關系式反映出來，并證明之.

分析本例實質上是化學問題，由濃度概念可知aba>0，m>0），即糖水中加糖甜更甜.

注保和溶液時，m有取值范圍.

解師生合作給出了如下證明.

證法一（比較法）a+mb+m-ab=b（a+m）-a（b+m）b（b+m）=m（b-a）b（b+m）.

因為b>a>0，m>0，所以b-a>0，b+m>0，所以m（b-a）b（b+m）>0，即a+mb+m>ab.

證法二（放縮法）因為b>a>0且m>0，所以ab=a（b+m）b（b+m）=a+abmb+m

瘙 綊 BD，

因為△ABC∽△ADF，

所以ab=a+mb+CF

完成證明，師生共同給出如下推廣：

設真分數a1b1

則a1b1

原來的教學設計是推廣（*）后，講解兩道基本例題，便完成本課的教學.但是，學生甲追問（*）如何證明？這個提問既打亂了教學設計，也激發(fā)了學生的思考.課堂上片刻的沉靜后，學生乙受生活模型，即上述糖水混合的啟發(fā)，給出了如下證明.

2意外生成

2.1化學模型

有一種化學溶液，裝在標號分別為1號，2號，…，n號的瓶中，其溶質和溶液的質量分別是（a1，b1），（a2，b2），…，（an，bn），且濃度滿足a1b1

若將1號，2號混合，其濃度為a1+a2b1+b2，所以有

a1b1

將1號，2號，3號混合，其濃度為a1+a2+a3b1+b2+b3，

所以有a1b1

依次類推，（*）式成立.

這個模型直觀易懂，無需數學的邏輯推理，說出了（*）式的本質.

2.2幾何模型

圖2如圖2，設AC1=a1，AA1=b1，A1D2=a2，A1A2=b2，A2D3=a3，A2A3=b3.

因為a1b1

顯然有a1b1

a1b1

經過一番討論，學生甲給出這個模型，全班學生無言，同學們對他們豎起了大拇指，一種成功感溢于言表，我也為弟子們的精彩表現而自豪.

3精彩應用

學生的精彩發(fā)現，讓我對學生的思維有了更高的預期，于是我改動了例題，把原本當做思考題的題目作為課堂練習.

練習（2013年北大保送生）

已知：正數a，b，c，滿足a

求證：a1+a

證明：因為ab+c+bc1+b+c+bc>b+c1+b+c>a1+a.

應用公式，學生很快給出了上述解答.學生意猶未盡，但此時鈴聲已響……

課后反思本課由于一位學生的疑問，引發(fā)了全班學生的思考.兩個模型的建立，讓學生產生興奮驚奇，無字的證明，將課堂氣氛推向高潮，扣人心弦.其間，老師及時捕捉學生靈光閃現的思維火花，調動學生積極參與，充分暴露學生的思維過程，才有如此大的收獲.模型二實質上是對不等式鏈的幾何解釋.如何落實中學數學核心素養(yǎng)，設計具有挑戰(zhàn)性的問題，深度學習，啟發(fā)學生的高階思維是個有效的途徑，新課程以學生發(fā)展為本的口號喊了多年，然而，課堂教學真正體現這種理念，還需經常反思自己的教學行為.學生帶著自己的知識、經驗、思考、興趣參與課堂活動，可以獨立思考、個性化理解、自由表達，可以質問、懷疑、批判教師觀點或教材觀點，從而使課堂教學呈現出多樣性、豐富性和隨機性.這樣的教學對教師提出了新的要求，不僅要有新的理念，還必須具有深厚的學科底蘊，才能把握課堂，使課堂教學煥發(fā)出生命活力.

作者簡介王鳳春（1962—），男，江蘇徐州市人，上海市特級教師，上海師范大學數理學院碩士生導師.主要研究方向為中學數學教育和教育科研.出版《中學數學教育科研》等著作；解決了最優(yōu)化問題中 Lagrange乘數法的相關問題，論文發(fā)表在《高等數學研究》.

張冰（1979—），女，湖北黃岡市人，中學高級教師，主要研究方向為高中數學教學和教育科研，寶山區(qū)學科帶頭人，寶山區(qū)教育學院高中數學兼職教研員.