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        靈活選擇參數(shù)優(yōu)化解題思路

        2018-05-08 02:28:32薛飛
        中學數(shù)學雜志(初中版) 2018年3期
        關鍵詞:關系式化簡原點

        薛飛

        現(xiàn)行普通高中課程標準實驗教科書選修44《坐標系與參數(shù)方程》中第33頁例3為:

        如圖, O是直角坐標原點,點A和點B是拋物線y2=2px(p>0)上原點以外的兩個動點,若OA⊥OB,OM⊥AB并與AB相交于點M,求點M的軌跡方程,并說明它表示什么曲線.

        本題主要考察直線,拋物線的基礎知識,考察由動點求軌跡方程的基本方法以及方程化簡的基本技能.

        教材中給出的解答為:

        根據(jù)條件,設點M,A,B的坐標分別為(x,y),(2pt21,2pt1),(2pt22,2pt2)(t1≠t2)且(t1·t2≠0),則OM=(x,y),OA=(2pt21,2pt1),OB=(2pt22,2pt2),AB=(2p(t22-t21),2p(t2-t1))

        因為OA⊥OB所以OA⊥OB,所以OA·OB=0,即(2pt1t2)2+(2p)2t1t2=0,所以t1t2=-1.①

        因為OM⊥AB,所以OM·AB=0,

        即2px(t22-t21)+2py(t2-t1)=0,所以

        x(t1+t2)+y=0,即t1+t2=-yx(x≠0),②

        因為AM=(x-2pt21,y-2pt1),MB=(2pt22-x,2pt2-y),且A,B,M三點共線,

        所以(x-2pt21)(2pt2-y)=(y-2pt1)(2pt22-x),化簡得y(t1+t2)-2pt1t2-x=0, ③

        將①②代入③,得到y(tǒng)(-yx)+2p-x=0,即x2+y2-2px=0(x≠0)這就是點M的軌跡方程.

        本題是由2000年春季高考試題(北京,安徽卷)改編而來的,當時命題組給出的解答為:

        因為點A,B在拋物線y2=2px上,故設A(yA22P,yA),B(yB22p,yB),若再設OA,OB的斜率分別為kOA,kOB,則kOA=yAyA22p=2pyA,kOB=2pyB.

        由OA⊥OB得: kOA·kOB=4p2yAyB=-1…(1);由點A在AB上,得直線AB方程為:(yA+yB)(y-yA)=2p(x-yA22p)…(2);由OM⊥AB得直線OM方程為:y=yA+yB-2px…(3).

        設點M(x,y),則x,y滿足⑵⑶兩式,將⑵式兩邊同乘以-x2p,并利用⑶式整理得:x2pyA2+yyA-(x2+y2)=0…(4).

        由⑶⑷兩式得-x2p+yByA-(x2+y2)=0;又由⑴式有yByA=-4p2.

        所以x2+y2-2px=0.又因為A,B是原點以外的兩點,所以x≠0.

        所以,所求的軌跡為以(p,0)為圓心,以p為半徑的圓,去掉坐標原點.

        在題目中,有四個已知條件:①點A和點B是拋物線上的兩個動點,②OA⊥OB,③OM⊥AB,④OM與AB相交于點M.上述兩種解法大同小異,都是先利用了條件①,用兩個參數(shù)設出了A,B的坐標,再利用其他的條件尋找出了參數(shù)之間的關系式而獲解.但在尋找參數(shù)之間的關系時比較困難,并且本題的命題目的之一為考察學生化簡方程的基本技能,但在教學實踐中發(fā)現(xiàn),上述解法中對關系式的處理技巧性過強,學生難以想到,不易掌握.習題課上,筆者把該題展示給學生,讓學生自己探討其解法,結果從不同的角度入手,設出不同的參數(shù),獲得了多種既好想又容易化簡的多種解法.

        解法1 設M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),則由題意有:

        y21=2px1…(1),y22=2px2…(2),

        y1y2x1x2=-1…(3),y1-y2x1-x2=-xy…(4).

        (1)-(2)并代入(4)得:y1+y2=-2pyx…(5). (1)×(2)并代入(3)得:y1·y2=-4p2…(6).

        (1)+(2)并整理得:(y1+y2)2-2y1y2=2p(x1+x2),代入(5)(6)兩式得:x1+x2=2py2x2+4p…(7).

        由(5)(7)知AB的中點D的坐標為(py2x2+2p,-pyx).

        由題意,M,D,A,B四點共線,從而有:kAB=kMD,

        即y1-y2x1-x2=y+pyxx-py2x2-2p=-xy,

        整理得:x2+y2-2px=0.

        又易知x≠0,故所求的軌跡為以(p,0)為圓心,以p為半徑的圓,去掉坐標原點.

        評注這種解法通過設出A,B的坐標,利用四個條件獲得⑴⑵⑶⑷四式,對這四個式子進行處理得到A,B中點D的坐標,再由M,D,A,B四點共線而獲解.雖然設出了四個未知數(shù),列出了眾多的關系式,但通過對關系式的處理得到中點坐標,學生比較熟悉,不難操作,因此易于學生掌握.

        解法2由題意,直線OA存在斜率,設其方程為y=kx,則OB的方程為y=-1kx.分別與y2=2px聯(lián)立,得A(2pk2,2pk),B(2pk2,-2pk).從而可得直線AB的方程為:y+2pk=k1-k2(x-2pk2),即: y=kk2-1(-x+2p).

        設M(x,y),由OM⊥AB知,kOM·kAB=-1,且點M在直線AB上,故有:

        yx=k2-1k,

        y=kk2-1(-x+2p).

        消去參數(shù)k得x2+y2-2px=0(以下同解法1).

        評注這種解法通過轉換視角,視A.B為拋物線與OA,OB的交點,通過解方程組求得A,B的坐標,得到AB所在直線的方程,再由點M在直線AB上及相應的斜率關系而獲解.只設出了一個參數(shù),解法簡捷,但要注意消去參數(shù)k時的靈活性.

        解法3當AB所在直線不存在斜率時,易知此時M為一定點,坐標為(2p,0).

        當AB所在直線存在斜率時,設其方程為y=kx+b(k≠0),則A,B是該直線與拋物線的交點.

        由y=kx+b

        y2=2px得:k2x2+2(kb-p)x+b2=0.

        設A(x1,y1),B(x2,y2),

        則x1+x2=2(p-kb)k2,x1x2=b2k2.

        所以y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=2pbk.

        由OA⊥OB有y1y2x1x2=-1,即y1y2+x1x2=0.

        所以b=-2pk…①

        設M(x,y),由OM⊥AB,有yx·k=-1,即k=-xy…②由①②及y=kx+b消去k,b得:x2+y2-2px=0.

        又易知x≠0且(2p,0)也滿足上式,所以點M的軌跡方程為:x2+y2-2px=0(x≠0)(以下同解法1).

        評注這種解法視A,B為直線AB與拋物線的交點,通過設出AB直線的方程,將問題轉化為直線與拋物線相交問題,利用韋達定理獲得關系式,再結合其他條件而獲解.雖然有兩個參數(shù),但參數(shù)間的關系簡捷、直觀,極易消去參數(shù),非常容易操作.需要注意的是,不要忽視AB不存在斜率時的特殊情況.

        解法4設M(x0,y0),當y0≠0時,由OM⊥AB及OM與AB相交于點M可知直線AB方程為:y-y0=-x0y0(x-x0).

        與y2=2px聯(lián)立并消去x得

        y2+2py0x0y-2p(x20+y20)x0=0.

        設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=-2py0x0,y1y2=-2p(x20+y20)x0.再由y2=2px方程有x1x2=(y1y2)24p2=(x20+y20)2x20.

        因為OA⊥OB所以OA⊥OB,所以OA·OB=0,即x1x2+y1y2=0.

        即(x20+y20)2x20-2p(x20+y20)x0=0,

        整理得: x20+y20-2px0=0.

        又當y0=0時,M是一定點(2p,0),也滿足上式,所以點M的軌跡方程為:x2+y2-2px=0(x≠0)(以下同解法1).

        評注上述解法利用軌跡的定義,設出M的坐標,根據(jù)條件③④得到直線AB的方程,從而將問題轉化為我們熟悉的直線與曲線相交問題,獲得點A,B的坐標之間的關系式再由條件②處理相應的關系式而獲解.這種解法直觀、易懂,但運算的綜合性大,稍不注意,就會出錯.

        綜觀上述,解題中從不同的角度入手思考,選擇不同的參數(shù),會得到不同的解法,且各種解法難易程度,繁簡程度差別較大.因此,在平時的學習中,同學們應注意多思多想,善于總結,養(yǎng)成良好的思維習慣,從中選擇最簡捷的解法.

        介紹一道原創(chuàng)“數(shù)學文化”高考模擬題本文系北京市教育學會“十三五”教育科研滾動立項課題“數(shù)學文化與高考研究”(課題編號FT2017GD003,課題負責人:甘志國)階段性研究成果.

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