薛飛

現(xiàn)行普通高中課程標準實驗教科書選修44《坐標系與參數(shù)方程》中第33頁例3為：

如圖， O是直角坐標原點，點A和點B是拋物線y2=2px（p>0）上原點以外的兩個動點，若OA⊥OB，OM⊥AB并與AB相交于點M，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線.

本題主要考察直線，拋物線的基礎知識，考察由動點求軌跡方程的基本方法以及方程化簡的基本技能.

教材中給出的解答為：

根據(jù)條件，設點M，A，B的坐標分別為（x，y），（2pt21，2pt1），（2pt22，2pt2）（t1≠t2）且（t1·t2≠0），則OM=（x，y），OA=（2pt21，2pt1），OB=（2pt22，2pt2），AB=（2p（t22-t21），2p（t2-t1））

因為OA⊥OB所以OA⊥OB，所以OA·OB=0，即（2pt1t2）2+（2p）2t1t2=0，所以t1t2=-1.①

因為OM⊥AB，所以OM·AB=0，

即2px（t22-t21）+2py（t2-t1）=0，所以

x（t1+t2）+y=0，即t1+t2=-yx（x≠0），②

因為AM=（x-2pt21，y-2pt1），MB=（2pt22-x，2pt2-y），且A，B，M三點共線，

所以（x-2pt21）（2pt2-y）=（y-2pt1）（2pt22-x），化簡得y（t1+t2）-2pt1t2-x=0， ③

將①②代入③，得到y(tǒng)（-yx）+2p-x=0，即x2+y2-2px=0（x≠0）這就是點M的軌跡方程.

本題是由2000年春季高考試題（北京，安徽卷）改編而來的，當時命題組給出的解答為：

因為點A，B在拋物線y2=2px上，故設A（yA22P，yA），B（yB22p，yB），若再設OA，OB的斜率分別為kOA，kOB，則kOA=yAyA22p=2pyA，kOB=2pyB.

由OA⊥OB得： kOA·kOB=4p2yAyB=-1…（1）；由點A在AB上，得直線AB方程為：（yA+yB）（y-yA）=2p（x-yA22p）…（2）；由OM⊥AB得直線OM方程為：y=yA+yB-2px…（3）.

設點M（x，y），則x，y滿足⑵⑶兩式，將⑵式兩邊同乘以-x2p，并利用⑶式整理得：x2pyA2+yyA-（x2+y2）=0…（4）.

由⑶⑷兩式得-x2p+yByA-（x2+y2）=0；又由⑴式有yByA=-4p2.

所以x2+y2-2px=0.又因為A，B是原點以外的兩點，所以x≠0.

所以，所求的軌跡為以（p，0）為圓心，以p為半徑的圓，去掉坐標原點.

在題目中，有四個已知條件：①點A和點B是拋物線上的兩個動點，②OA⊥OB，③OM⊥AB，④OM與AB相交于點M.上述兩種解法大同小異，都是先利用了條件①，用兩個參數(shù)設出了A，B的坐標，再利用其他的條件尋找出了參數(shù)之間的關系式而獲解.但在尋找參數(shù)之間的關系時比較困難，并且本題的命題目的之一為考察學生化簡方程的基本技能，但在教學實踐中發(fā)現(xiàn)，上述解法中對關系式的處理技巧性過強，學生難以想到，不易掌握.習題課上，筆者把該題展示給學生，讓學生自己探討其解法，結果從不同的角度入手，設出不同的參數(shù)，獲得了多種既好想又容易化簡的多種解法.

解法1 設M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），則由題意有：

y21=2px1…（1），y22=2px2…（2），

y1y2x1x2=-1…（3），y1-y2x1-x2=-xy…（4）.

（1）-（2）并代入（4）得：y1+y2=-2pyx…（5）. （1）×（2）并代入（3）得：y1·y2=-4p2…（6）.

（1）+（2）并整理得：（y1+y2）2-2y1y2=2p（x1+x2），代入（5）（6）兩式得：x1+x2=2py2x2+4p…（7）.

由（5）（7）知AB的中點D的坐標為（py2x2+2p，-pyx）.

由題意，M，D，A，B四點共線，從而有：kAB=kMD，

即y1-y2x1-x2=y+pyxx-py2x2-2p=-xy，

整理得：x2+y2-2px=0.

又易知x≠0，故所求的軌跡為以（p，0）為圓心，以p為半徑的圓，去掉坐標原點.

評注這種解法通過設出A，B的坐標，利用四個條件獲得⑴⑵⑶⑷四式，對這四個式子進行處理得到A，B中點D的坐標，再由M，D，A，B四點共線而獲解.雖然設出了四個未知數(shù)，列出了眾多的關系式，但通過對關系式的處理得到中點坐標，學生比較熟悉，不難操作，因此易于學生掌握.

解法2由題意，直線OA存在斜率，設其方程為y=kx，則OB的方程為y=-1kx.分別與y2=2px聯(lián)立，得A（2pk2，2pk），B（2pk2，-2pk）.從而可得直線AB的方程為：y+2pk=k1-k2（x-2pk2），即： y=kk2-1（-x+2p）.

設M（x，y），由OM⊥AB知，kOM·kAB=-1，且點M在直線AB上，故有：

yx=k2-1k，

y=kk2-1（-x+2p）.

消去參數(shù)k得x2+y2-2px=0（以下同解法1）.

評注這種解法通過轉換視角，視A.B為拋物線與OA，OB的交點，通過解方程組求得A，B的坐標，得到AB所在直線的方程，再由點M在直線AB上及相應的斜率關系而獲解.只設出了一個參數(shù)，解法簡捷，但要注意消去參數(shù)k時的靈活性.

解法3當AB所在直線不存在斜率時，易知此時M為一定點，坐標為（2p，0）.

當AB所在直線存在斜率時，設其方程為y=kx+b（k≠0），則A，B是該直線與拋物線的交點.

由y=kx+b

y2=2px得：k2x2+2（kb-p）x+b2=0.

設A（x1，y1），B（x2，y2），

則x1+x2=2（p-kb）k2，x1x2=b2k2.

所以y1y2=（kx1+b）（kx2+b）=k2x1x2+kb（x1+x2）+b2=2pbk.

由OA⊥OB有y1y2x1x2=-1，即y1y2+x1x2=0.

所以b=-2pk…①

設M（x，y），由OM⊥AB，有yx·k=-1，即k=-xy…②由①②及y=kx+b消去k，b得：x2+y2-2px=0.

又易知x≠0且（2p，0）也滿足上式，所以點M的軌跡方程為：x2+y2-2px=0（x≠0）（以下同解法1）.

評注這種解法視A，B為直線AB與拋物線的交點，通過設出AB直線的方程，將問題轉化為直線與拋物線相交問題，利用韋達定理獲得關系式，再結合其他條件而獲解.雖然有兩個參數(shù)，但參數(shù)間的關系簡捷、直觀，極易消去參數(shù)，非常容易操作.需要注意的是，不要忽視AB不存在斜率時的特殊情況.

解法4設M（x0，y0），當y0≠0時，由OM⊥AB及OM與AB相交于點M可知直線AB方程為：y-y0=-x0y0（x-x0）.

與y2=2px聯(lián)立并消去x得

y2+2py0x0y-2p（x20+y20）x0=0.

設A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=-2py0x0，y1y2=-2p（x20+y20）x0.再由y2=2px方程有x1x2=（y1y2）24p2=（x20+y20）2x20.

因為OA⊥OB所以OA⊥OB，所以OA·OB=0，即x1x2+y1y2=0.

即（x20+y20）2x20-2p（x20+y20）x0=0，

整理得： x20+y20-2px0=0.

又當y0=0時，M是一定點（2p，0），也滿足上式，所以點M的軌跡方程為：x2+y2-2px=0（x≠0）（以下同解法1）.

評注上述解法利用軌跡的定義，設出M的坐標，根據(jù)條件③④得到直線AB的方程，從而將問題轉化為我們熟悉的直線與曲線相交問題，獲得點A，B的坐標之間的關系式再由條件②處理相應的關系式而獲解.這種解法直觀、易懂，但運算的綜合性大，稍不注意，就會出錯.

綜觀上述，解題中從不同的角度入手思考，選擇不同的參數(shù)，會得到不同的解法，且各種解法難易程度，繁簡程度差別較大.因此，在平時的學習中，同學們應注意多思多想，善于總結，養(yǎng)成良好的思維習慣，從中選擇最簡捷的解法.

介紹一道原創(chuàng)“數(shù)學文化”高考模擬題本文系北京市教育學會“十三五”教育科研滾動立項課題“數(shù)學文化與高考研究”（課題編號FT2017GD003，課題負責人：甘志國）階段性研究成果.