易月

摘要：《課程標(biāo)準(zhǔn)（ 2011 版）》中10個(gè)核心詞中明確指出"符號意識"，同時(shí)也多次提出符號意識的相關(guān)問題。體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的差異，主要表現(xiàn)在他對數(shù)學(xué)語言的理解、表達(dá)和轉(zhuǎn)化上。作為一線教師，在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要專注符號語言的教學(xué)，提高符號意識。本文就此觀點(diǎn)做出一些探討。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；符號意識；符號語言

中圖分類號：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B文章編號：1672-1578（2018）01-0159-03

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（ 2011 版） 》中明確指出"在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想。"同時(shí)在總目標(biāo)四個(gè)方面的具體闡述中明確指出"建立數(shù)感、符號意識和空間觀念，初步形成幾何直觀和運(yùn)算能力，發(fā)展形象思維與抽象思維。"在學(xué)段目標(biāo)的第三學(xué)段（7～9年級）數(shù)學(xué)思考中也明確指出"通過用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等表述數(shù)量關(guān)系的過程，體會模型的思想，建立符號意識。"這無疑是給我們的數(shù)學(xué)教學(xué)下達(dá)了一個(gè)重要指示："符號意識"是初中學(xué)生的一種基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)。培養(yǎng)學(xué)生的符號意識是數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的重要目的之一，也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要方向之一。

數(shù)學(xué)的本質(zhì)是概念和符號，并通過概念和符號進(jìn)行運(yùn)算和推理。數(shù)學(xué)語言可歸結(jié)為自然語言、符號語言、圖形語言三類。 我們現(xiàn)在廣泛使用的數(shù)學(xué)符號都是到了16世紀(jì)后才被發(fā)明出來的，在此之前，數(shù)學(xué)都是用文字書記載的。而今的數(shù)學(xué)符號在形式上的簡單性、內(nèi)涵上的精確性及使用上的統(tǒng)一性，讓人們使用起來更方便、更易于操作。每一個(gè)數(shù)學(xué)符號都有特定含義，使學(xué)生理解符號的意義是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最基本要求，也是符號意識的最基本要求。因而，對于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)符號語言，運(yùn)用數(shù)學(xué)符號的能力的培養(yǎng)勢在必行，發(fā)展學(xué)生的"符號意識"是在培養(yǎng)和發(fā)展更高層次、更高水準(zhǔn)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，無時(shí)無刻不在和數(shù)學(xué)符號打交道，包括運(yùn)算符號、關(guān)系符號、代數(shù)符號、幾何符號、推理符號……對數(shù)學(xué)符號的理解、使用已經(jīng)構(gòu)成了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容。

1.符號語言和符號意識的重要意義

什么是符號意識呢？在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（ 2011 版） 》中指出，"符號意識主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。建立符號意識有助于學(xué)生理解符號的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式。"

符號對數(shù)學(xué)來說它是特有的。它既是數(shù)學(xué)的語言，也是數(shù)學(xué)的工具，還是數(shù)學(xué)的方法。而數(shù)學(xué)符號語言是具有簡潔性和抽象性的規(guī)范語言， 它具有準(zhǔn)確 、清晰、簡約思維、提高效率、便于交流的功能。數(shù)學(xué)課程的一個(gè)任務(wù)，就是要讓學(xué)生建立符號意識，使學(xué)生懂得符號的意義，感受和擁有使用符號的能力，會運(yùn)用符號解決實(shí)際問題，從而發(fā)展抽象思維能力。符號意識的培養(yǎng)，就是從數(shù)學(xué)符號語言的學(xué)習(xí)開始，是從現(xiàn)實(shí)情境中提出問題，找出數(shù)學(xué)模型，選擇最有效的符號表示問題，解決問題的方法，是培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神的需要，也是學(xué)生學(xué)會"數(shù)學(xué)地"思考問題的一個(gè)方面，更是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。

2.初中學(xué)生符號意識的現(xiàn)狀與分析

部分學(xué)生從進(jìn)入七年級開始成績下滑，其中對數(shù)學(xué)符號語言的學(xué)習(xí)不重視、不適應(yīng)就是一個(gè)重要的、不可忽視的原因之一。其表現(xiàn)如下：

2.1對所學(xué)的公式、定理只停留在機(jī)械套用的層面，做題時(shí)常常一邊看公式或定理一邊做題，沒有達(dá)到準(zhǔn)確熟練的記憶；

2.2.1對數(shù)學(xué)符號語言的理解也只停留在表層，沒有深層次理解其中的真正含義；

2.2.2在運(yùn)算或邏輯推理中亂用或"創(chuàng)新"數(shù)學(xué)符號，由于符號語言表達(dá)不正確或不完整而顯得解題過程生硬、別扭，思維不流暢；

2.2.3部分學(xué)生做幾何證命題還是把相關(guān)定理用自然語言表述，沒有養(yǎng)成使用數(shù)學(xué)符號的良好習(xí)慣。

3.專注數(shù)學(xué)符號語言教學(xué)的實(shí)踐策略

3.1詮釋符號蘊(yùn)含意義，幫助學(xué)生理解記憶符號。由于數(shù)學(xué)符號是一種特定的語言，它具有抽象性，但是許多教師在數(shù)學(xué)符號教學(xué)上還停留在機(jī)械學(xué)習(xí)的層面 ， 即學(xué)生在沒有充分理解數(shù)學(xué)符號的情況下 ， 死記硬背數(shù)學(xué)公式或表達(dá)式， 使得對數(shù)學(xué)符號語言的認(rèn)識停留在表面上。數(shù)學(xué)有意義的學(xué)習(xí)是在思考、理解符號所表示的知識后， 將其融會貫通的學(xué)習(xí)形式。

例如，在算術(shù)平方根概念的教學(xué)中，引入符號a以后，可以從以下幾個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生理解符號a的涵義和實(shí)質(zhì)。

（1）應(yīng)使學(xué)生從正面理解a的意義，它表示的是一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根，并給出幾個(gè)具體數(shù)，如a=6，9，0，求絕對值a。

（2）從具體數(shù)引出a的值的范圍為非負(fù)數(shù)，即a≥0，

（3）引導(dǎo)學(xué)生從反面理解a的意義，若a=4，則a為多少？以加深算術(shù)平方根的理解。

又如：許多學(xué)生認(rèn)為有"-"就是負(fù)數(shù)，有"+"就是正數(shù)，因而把a(bǔ)當(dāng)做正數(shù)，把-a當(dāng)做負(fù)數(shù)，這就是教師在教學(xué)中經(jīng)常把"-a"讀作"負(fù)a"，而引起學(xué)生錯(cuò)誤的認(rèn)為"-a"就是負(fù)數(shù)，此時(shí)讀作a的相反數(shù)更確切些。對某些運(yùn)算符號與數(shù)學(xué)符號也容易混淆，經(jīng)?？吹揭恍╁e(cuò)誤等式，例如（x+y）2=x2+y2等。還有些符號具有隱含條件的作用，例如a隱含著被開方數(shù)大于等于0（a≥0），一元二次方程ax2+bx+c=0就隱含著a≠0，若解題要用到韋達(dá)定理時(shí)又要考慮△≥0等。

我們教師在符號語言教學(xué)過程中，應(yīng)結(jié)合不同的符號，挖掘出符號所代表的意義，詮釋符號內(nèi)涵價(jià)值，幫組學(xué)生記憶理解符號。不僅要求學(xué)生對符號從形式上的認(rèn)識，還要要求他們從本質(zhì)上的理解：從抽象的符號本身看到其所表達(dá)出準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)意義。

3.2在語言之間的轉(zhuǎn)化過程中，建立符號理解的深層性

數(shù)學(xué)符號具有壓縮的功能，所以對于符號的意義的理解也不能是片面的，而要是全面的、完整的；符號還具有一般性和概括性，所以對它的理解不應(yīng)是孤立的、僵化的。

如：出現(xiàn)"△ABC"時(shí)，我們不僅可以從直觀上知道它的形狀，還要從抽象上知道它的內(nèi)涵和性質(zhì)特征（內(nèi)角和、邊角關(guān)系等等）；符號語言"ab2-a2b-1=0"的基本意思就是a、b滿足的一個(gè)等式，但它又可以理解為"b為方程ax2-a2x-1=0的一個(gè)解"。也可以理解為"a為方程b2x-bx2-1=0的一個(gè)解"；" a與b互為相反數(shù)"可以看成"a=-b "，也可以看成"a+b=0 "，還可以看成"a與b 表示的點(diǎn)在原點(diǎn)兩側(cè)且到原點(diǎn)的距離相等"，還可以看成"絕對值相等符號相反的兩個(gè)數(shù)"等。

數(shù)學(xué)的三種語言形式各有所長，我們一般需要相互轉(zhuǎn)換，以便更有利于我們掌握知識和理解問題。有時(shí)候以自然語言的形式出現(xiàn)的題目，比較繁雜難懂，這時(shí)如果適當(dāng)借助符號語言或圖形語言，能幫助我們理解問題，找到突破口。

比如：在方差的教學(xué)中，對于學(xué)生來說"各數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的方差"這句話拗口而且難以理解，我們把它轉(zhuǎn)化為符號語言： ，這樣就便于學(xué)生理解和記憶，從而更好的掌握概念。

又如：已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡-|c|+|a-b|-|a-c|+|c+b|。

本題若只看圖，不聯(lián)系相關(guān)知識，進(jìn)行語言轉(zhuǎn)換，可能顯得有些無法下手。但聰明的同學(xué)會想到：將圖形語言轉(zhuǎn)化成符號語言，再利用絕對值的意義思考：c<0，則|c|=-c；a-b<0，則|a-b|=-（a-b）…得，原式=-（-c）+（a-b）-（a-c）+（c+b）=c+c+c=3c。

有些問題雖然圖形直觀，但其已知條件和結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯。這時(shí)如果把直觀的幾何圖形用符號語言來表示，并聯(lián)系所學(xué)知識用方程或代數(shù)的方法來解答，形成"以數(shù)助形"的數(shù)學(xué)思想方法和字母表示數(shù)的數(shù)學(xué)思想方法。就可使解題思路更清晰，更具有可操作性。

3.3在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，應(yīng)用符號的完整性。

3.3.1教師教學(xué)語言及板書的規(guī)范性。對于初中學(xué)生來說，模仿是他們學(xué)習(xí)的一種重要手段。教師規(guī)范的教學(xué)語言和板書影響著學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣和思維習(xí)慣。因此，教師在教學(xué)過程中，在教學(xué)語言的表達(dá)中，不可以用方言或俗語來代替科學(xué)的、規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表達(dá)，同時(shí)在板書上也應(yīng)書寫正確、整齊、規(guī)范，不可潦草或隨意省略，給學(xué)生傳達(dá)數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，這樣最大降低學(xué)生的出錯(cuò)率。

3.3.2遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生經(jīng)歷再認(rèn)識的過程。對于學(xué)困生來說，符號的學(xué)習(xí)是一大障礙，他們會產(chǎn)生煩躁、排斥、畏懼的心理情緒。教師要從思維方式入手，合理安排教學(xué)程序，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)符號的發(fā)展變化過程，逐步讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)符號的特定意義。

如：在同底數(shù)冪的乘法教學(xué)中，采用如下方式：

問1：你能計(jì)算103×102嗎？

問2：你能對你的解答作出解釋嗎？

問3：你認(rèn)為類似103×102，有什么規(guī)律嗎？

問4：你認(rèn)為所有的這類運(yùn)算都有這個(gè)規(guī)律嗎？說說你的理由。

通過學(xué)生有條理的表達(dá)，從特殊到一般，滲透符號意識，理解公式am×am=am+n。

又如：在學(xué)平方差公式時(shí)，教師可以利用圖形直觀的展示給學(xué)生，在圖形的幫助下，運(yùn)用面積的求法的兩種不同表達(dá)形式，從而推導(dǎo)出公式（a+b）（a-b）=a2-b2。學(xué)生不僅運(yùn)用數(shù)學(xué)符號、圖形符號，還親身體驗(yàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法，從而加深對數(shù)學(xué)符號的理解。

3.3.3關(guān)注數(shù)學(xué)符號特點(diǎn)，注意內(nèi)容和形式的聯(lián)系

數(shù)學(xué)符號語言的形式和內(nèi)容是相互依存的。在教學(xué)實(shí)踐中，教師要注意符號語言的形式和表達(dá)內(nèi)容的統(tǒng)一，不然，學(xué)生就會認(rèn)為數(shù)學(xué)符號語言是枯燥泛味沒有意義的，以致出現(xiàn)不愛學(xué)數(shù)學(xué)，厭學(xué)的情緒。

如：在二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0），許多學(xué)生只注意表示形式，而忽略了a的符號決定開口方向，∣a∣大小決定開口大??；a與b的符號共同決定對稱軸的位置；c的符號決定圖像與y軸的交點(diǎn)位置等等。

3.3.4創(chuàng)設(shè)解決問題情境，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)符號語言

運(yùn)用數(shù)學(xué)符號解決實(shí)際問題既是學(xué)習(xí)掌握這門語言的最終目的，也是強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)符號學(xué)習(xí)效果的有效途徑。在教學(xué)過程中，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆绞?，為學(xué)生提供應(yīng)用數(shù)學(xué)符號的機(jī)會，讓學(xué)生準(zhǔn)確的運(yùn)用符號語言來解決問題。

如：在利用平方差公式進(jìn)行因式分解的教學(xué)中，可以采用這樣的方式：

（1）創(chuàng)設(shè)合作情景：計(jì)算10002-9982，小組比賽，看哪組的方法最多？

（2）展示解法：

①常規(guī)法：10002-9982=1000000-996004=3996

②化整法：10002-9982=10002-（1000-2）2

=10002-10002+4000-4

=3996

③逆用平方差法：10002-9982=（1000+998）（1000-998）

=1998×2

=3996 .....

（3）解題方法交流體會：哪種方法更簡便？

（4）歸納概念定義，用數(shù)學(xué)符號表示a2-b2=（a+b）（a-b）

（5）鞏固新知，運(yùn)用方法

4.建議與反思

符號意識的培養(yǎng)應(yīng)貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)過程中，學(xué)生首先要理解和掌握數(shù)學(xué)符號的內(nèi)涵和思想，并通過一定的訓(xùn)練，才能比較熟練地利用符號進(jìn)行運(yùn)算、推理和解決問題。在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，要注意理解、掌握數(shù)學(xué)語言并學(xué)會轉(zhuǎn)化。實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)能力的差異，主要表現(xiàn)在對數(shù)學(xué)語言的理解、表達(dá)和轉(zhuǎn)化上。符號意識的培養(yǎng)是一個(gè)長期的過程，這是一個(gè)需要循循漸進(jìn)的過程。所以教師應(yīng)避免急于求成，這需要教師在他們初中三年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中長期的灌輸，在潛移默化中影響著他們，在潛移默化中培養(yǎng)著他們的符號意識素養(yǎng)，從而提高數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)。

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