蔣曉云 劉國鋒 鄺佰燕

【摘要】本文論述培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理意識的重要性，選取人教版數(shù)學(xué)八年級上冊《三角形內(nèi)角和定理的證明》中的“閱讀與思考”欄目《為什么要證明》教學(xué)片段，提出教師可結(jié)合“測量會出現(xiàn)誤差”“眼見未必為實”“從特殊到一般的歸納不一定完全”的例子，直觀地告訴學(xué)生“實驗歸納的結(jié)果不一定靠譜”的教學(xué)方法，從而激發(fā)學(xué)生養(yǎng)成良好的“說理”習(xí)慣，發(fā)展理性思維，鑄就理性精神。

【關(guān)鍵詞】三角形內(nèi)角和定理 《為什么要證明》 邏輯推理意識 理性精神

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）12A-0033-03

理性的“演繹推理”“數(shù)學(xué)證明”比感性的“合情推理”“實驗歸納”困難得多，如果學(xué)生不愿意學(xué)習(xí)困難的“數(shù)學(xué)證明”，會導(dǎo)致學(xué)生缺乏理性精神、理性思維能力不強，無法深入地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。在廣西師范大學(xué)漓江學(xué)院、廣西師范大學(xué)附屬中學(xué)寶賢中學(xué)（簡稱寶賢中學(xué)）、桂林師范高等?？茖W(xué)校等聯(lián)合舉辦，以“基于核心素養(yǎng)培養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)課例研究”為主題的教學(xué)研討和展示平臺“寶賢課堂”上，寶賢中學(xué)的劉國鋒老師展示的《三角形內(nèi)角和定理的證明》一課中的《為什么要證明》教學(xué)片段，有效增強了學(xué)生演繹推理的意識，鑄就了學(xué)生的理性精神，培養(yǎng)了學(xué)生的“邏輯推理”核心素養(yǎng)。

一、教學(xué)片段及評析

（一）創(chuàng)設(shè)問題情境，播下“理性種子”

師：同學(xué)們，今天我們一起來學(xué)習(xí)三角形內(nèi)角和定理的證明。先來回顧一下小學(xué)時我們是怎樣得到“三角形的內(nèi)角和等于180°”的。

生：“量一量”“算一算”和“拼一拼”。

師：我們在小學(xué)用了這么多種方法來驗證，可以肯定“任何一個三角形的內(nèi)角和都是180°”嗎？

生：應(yīng)該可以。（多數(shù)學(xué)生同意）

師：我們在小學(xué)就已經(jīng)知道了，還有必要再來學(xué)習(xí)嗎？為了上好這一節(jié)課，前天我去聽了另一位老師上的《三角形內(nèi)角和的證明》一課，那位老師的課講得很清楚，也很精彩。但課后有學(xué)生抱怨，“今天的課真無聊，老師那么賣力地講了一節(jié)課，我都不知道他在講什么，（數(shù)學(xué)證明）沒聽懂，只知道一個結(jié)論——三角形內(nèi)角和等于180°，我在小學(xué)就知道了?！焙眯┩瑢W(xué)也有同感。今天，劉老師也來上這節(jié)課，我就思考了一個問題——怎樣才能避免那位老師的課堂出現(xiàn)的情況，不讓同學(xué)們課后說我上課無聊。我決定改變一下教學(xué)順序，同學(xué)們先閱讀教材第18頁“閱讀與思考”欄目的《為什么要證明》。

【評析】小學(xué)階段關(guān)注合情推理、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，培養(yǎng)演繹推理能力是中學(xué)幾何教學(xué)的核心追求。于是，有些小學(xué)教師不說理，沒有播下“理性的種子”，讓學(xué)生錯誤地肯定實驗歸納所得到的結(jié)論，導(dǎo)致到了初中階段學(xué)習(xí)“三角形內(nèi)角和定理的證明”時，學(xué)生認為完全沒有必要證明已知的結(jié)論。對學(xué)生來說，與感性的合情推理、實驗歸納比起來，理性的演繹推理、數(shù)學(xué)證明要困難得多，學(xué)生不愿意再學(xué)習(xí)困難的數(shù)學(xué)證明，導(dǎo)致學(xué)生理性思維能力不強，無法深入地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。因此，教師在教學(xué)時選擇了先讓學(xué)生學(xué)習(xí)教材的“閱讀與思考”欄目的課文《為什么要證明》，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，增強學(xué)生演繹推理的意識，鑄就學(xué)生理性精神。

（二）體驗實驗誤差，培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度

師：閱讀課文時進行如下思考。小明提出了哪些疑問？你是否與他有同樣問題？你還有哪些問題要請教李老師？請列出問題，分組討論，我們共同答疑解惑。

生（問題一）：量出三角形的各個內(nèi)角大小，計算各內(nèi)角的度數(shù)之和，就能得出三角形的內(nèi)角和等于180°，為什么還要證明這個結(jié)論呢？

師：這實際上是小明的問題。我們再做一做測量實驗。4人一組，每人隨意畫一個三角形，量出各內(nèi)角的大小，計算出各三角形的內(nèi)角和，記錄結(jié)果，由小組長填表匯報。

（學(xué)生測量。教師巡視，發(fā)現(xiàn)有個別學(xué)生為了湊成180°而涂改數(shù)據(jù)。教師提示：我更愿意看到同學(xué)們自己實踐操作得到的真實結(jié)果）

（各小組投影匯報測量結(jié)果，以下是三個小組的數(shù)據(jù)）

師：請觀察這些結(jié)果，討論誤差出現(xiàn)的原因。

生1：量角器上的刻度為整數(shù)，精確度不高，每個角不一定是整數(shù)度，所以容易產(chǎn)生誤差。

生2：使用量角器時，放得不夠平也會產(chǎn)生誤差。

生3：三角形的邊畫得太粗，量角的時候會產(chǎn)生誤差。

……

生4：小明說“如果儀器精確，不產(chǎn)生誤差，還需要證明嗎？”我有同樣的疑問。

師：現(xiàn)實世界中的“測量”就一定會產(chǎn)生誤差，即使用再精密的儀器來測量，它也會受到精確度的限制，只能縮小誤差，不能消除誤差。

師：如果你對“三角形內(nèi)角和等于多少”完全未知，你能否用“測量法”得到“三角形的內(nèi)角和等于180°”這個結(jié)論？

生5：測量會產(chǎn)生誤差，根據(jù)測量數(shù)據(jù)計算三角形內(nèi)角和，得到的結(jié)果不一樣。用測量的方法是得不到“所有的（每一個）三角形的內(nèi)角和是180°”這個結(jié)論的。用測量法來說明“三角形內(nèi)角和等于180°”是不可靠、不嚴謹?shù)摹?/p>

生6：測量工具總存在著誤差，因此測得的三角形的內(nèi)角和往往不是180°。測量結(jié)果容易讓人得出“三角形內(nèi)角和不是180°”的錯誤結(jié)論。

師：受測量儀器的精確度、測量操作規(guī)范程度和技術(shù)水平、測量對象的呈現(xiàn)方式等影響，測量會產(chǎn)生誤差，結(jié)果不一致，得出的結(jié)論不一定可靠。

【評析】教師鼓勵學(xué)生匯報自己測量的真實數(shù)據(jù)，及時進行誤差分析，讓學(xué)生認識到出現(xiàn)誤差是測量中經(jīng)常出現(xiàn)的現(xiàn)象。預(yù)設(shè)學(xué)生可能測量結(jié)果不一，讓學(xué)生體驗到測量得出的結(jié)論不一定可靠，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)態(tài)度。

（三）眼見未必為實，觀察未必可靠

生（問題二）：把三角形的三個角剪下來后拼在一起，得到“和角”，通過觀察發(fā)現(xiàn)這個“和角”是“平角”來說明三角形內(nèi)角和是180°。這算不算可靠的方法呢？

師：同學(xué)們來觀察下面幾幅圖，回答以下幾個問題。圖4中線段AB和CD哪條更長？圖5中的三個人誰更高？圖6中∠AOB和∠DOC哪一個是平角？

（學(xué)生議論紛紛，答案不一）

師：實際上，AB和CD一樣長;三個人一樣高;∠AOB=179°，∠DOC=181°，這與多數(shù)同學(xué)的觀察結(jié)果不一致。請同學(xué)們談一談感受。

生1：∠AOB和∠DOC不是平角，但我們多數(shù)人將其看成了平角。說明通過觀察得到一個角是平角的結(jié)論是不可靠的。所以，“把三角形的三個角剪下來拼湊在一起，然后通過觀察得到它是一個平角”這種方法是不可靠、不嚴謹?shù)摹?/p>

生2：老師通過這些例子告訴我們“眼見未必為實”，通過觀察得到的結(jié)論未必靠譜。

師：用實驗探索結(jié)論，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的常用方法，但依靠觀察得到的實驗結(jié)論未必可靠。

【評析】實驗觀察是得到新結(jié)論的方法和途徑，對于“找規(guī)律”是不可或缺的。但在本節(jié)課，學(xué)生通過觀察教師提供的材料，得出了“意料之外”的錯誤結(jié)論，感悟到“眼見未必為實”——靠實驗觀察得到的結(jié)論可能是正確的，也可能是錯誤的，從而明白用拼接實驗的方法得出“三角形內(nèi)角和等于180°”這樣的結(jié)論而不去證明是不可靠的。

（四）歸納推理誤導(dǎo)，結(jié)論未必正確

生（問題三）：課文中李老師說的，即使不考慮誤差等因素，或觀察正確，即所有“拼一拼”的結(jié)果全是平角（180°）時，我們也還是有疑問的。我沒有讀懂，不是很明白。

師：我講一個故事，學(xué)校校運會規(guī)定，只有跑出12秒以內(nèi)的成績，才有資格報名參加100米短跑項目，體育教師測試了我們班16名正在操場上訓(xùn)練的同學(xué)，所測試的學(xué)生的100米短跑成績均在12秒到15秒之間，沒在12秒以內(nèi)。體育老師說，我們班的學(xué)生都沒有資格報名參加100米短跑。剛說完，同學(xué)們不服氣了，叫來我們班的李明同學(xué)，經(jīng)測試，他的成績是11.45秒，體育老師“被打臉”，為什么體育老師會做出錯誤的判斷呢？

生：他沒有測試完我們班所有同學(xué)就下結(jié)論了。

師：我們只能對我們測量過的對象下結(jié)論，沒測量過的不能保證。下面來讀一讀李老師說的那段話，“不同形狀的三角形有無數(shù)個，我們畫出并驗證的只是其中有限個，其余的三角形的內(nèi)角和是多少呢？能對所有的三角形都進行驗證嗎？”事實上，不管我們經(jīng)歷多長時間，畫出多少個三角形，觀察、試驗的對象也是有限個。因此，要確認“三角形的內(nèi)角和等于180°”，就不能依靠度量的手段和觀察驗證的方法，而必須進行推理論證。對于一般的三角形，推出它的三個內(nèi)角的和等于一個平角，從而得出“無論三角形的形狀如何，它的內(nèi)角和一定等于180°”。

【評析】事物的普遍性寓于事物的特殊性之中。歸納可以為我們提出猜想提供基礎(chǔ)與依據(jù)，是一種重要的思維方法，也是學(xué)生“找規(guī)律”最常用、最重要的方法。但是由于歸納推理是從特殊到一般的合情推理，得到的結(jié)論可能是正確的，也可能是錯誤的。情境中的“體育教師”通過歸納得出了錯誤的結(jié)論，使得學(xué)生意識到歸納推理所得的結(jié)論也不一定可靠。

二、課后反思

正是懷疑激發(fā)我們?nèi)W(xué)習(xí)、去實踐、去觀察。在這個意義上可以說，科學(xué)的歷史就是懷疑、提出問題并解答問題的歷史。學(xué)生思考問題時往往把頭腦中固有的方法作為首選，學(xué)生的感性認識和形象思維在“三角形內(nèi)角和定理的證明”中起到了很大的作用，但數(shù)學(xué)證明不能僅僅停留在感性認識階段，還要轉(zhuǎn)化為理性認識。本課正是立足于學(xué)生對小學(xué)階段用實驗歸納的方法來探究“三角形內(nèi)角和定理”的方法產(chǎn)生懷疑，進而對實驗歸納得到的結(jié)論不一定正確產(chǎn)生直觀的認知而展開的。另一方面，隨著學(xué)生知識的增長和邏輯推理能力的增強，用“數(shù)學(xué)證明”的方法重新認識“三角形內(nèi)角和定理”，增強學(xué)生演繹推理的意識，鑄就學(xué)生理性精神，是培養(yǎng)學(xué)生的“邏輯推理”核心素養(yǎng)的“靈魂”，對進一步深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有重要意義。

（責(zé)編 劉小瑗）