廖克杰

[摘要]數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)學(xué)文化融入課程內(nèi)容有了明確的要求，數(shù)學(xué)文化體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的價(jià)值觀念、行為方式和思維方式，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)發(fā)揮重要作用.數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)中應(yīng)發(fā)揮數(shù)學(xué)文化的育人功能，想方設(shè)法讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化的熏陶，進(jìn)而落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)文化；核心素養(yǎng)；導(dǎo)數(shù)的概念

[中圖分類號(hào)]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]16746058（2018）05000703

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“在教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)有意識(shí)地結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，將數(shù)學(xué)文化滲透在日常教學(xué)中.”在《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》中對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科明確提出了增加數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的考查，把數(shù)學(xué)文化在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的要求提升到了一個(gè)新的高度.

如何在日常教學(xué)中發(fā)揮數(shù)學(xué)文化的育人功能，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化的熏陶，進(jìn)而落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)呢？下面筆者以《導(dǎo)數(shù)的概念》教學(xué)為例，談?wù)勛约旱恼J(rèn)識(shí)與實(shí)踐.

一、情境引入，呈現(xiàn)經(jīng)典例證

導(dǎo)數(shù)是由平均變化率衍生出來，由速度問題抽象而來的數(shù)學(xué)概念.從一段我國運(yùn)動(dòng)員奧運(yùn)會(huì)奪冠的視頻引出數(shù)學(xué)問題，使

學(xué)生的愛國情懷

在充滿正能量的情境中得以激發(fā).

接著，就以下兩個(gè)問題與學(xué)生進(jìn)行交流.

問題1：運(yùn)動(dòng)員在起跳瞬間有沒有速度？在落水瞬間有沒有速度？在物理學(xué)上，此時(shí)的速度叫作什么速度？

（教師投影截取的運(yùn)動(dòng)員在2秒時(shí)刻所在的大致位置.）

問題2：2秒時(shí)刻運(yùn)動(dòng)員有瞬時(shí)速度嗎？在這一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)員是運(yùn)動(dòng)的嗎？

大部分學(xué)生認(rèn)為，運(yùn)動(dòng)員從起跳到落水的整個(gè)過程中都是運(yùn)動(dòng)的，因此在2秒時(shí)刻有瞬時(shí)速度；也有學(xué)生認(rèn)為，在2秒那一刻運(yùn)動(dòng)員占據(jù)了一定的空間位置，在這一瞬間是靜止的，沒有瞬時(shí)速度.學(xué)生的思維與原有認(rèn)知發(fā)生沖突，此時(shí)教師介紹芝諾“飛矢不動(dòng)”的詭論，從數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性上給出了物體動(dòng)或不動(dòng)的定義，這是涉及兩個(gè)時(shí)刻的概念.

[設(shè)計(jì)意圖]展示數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，暴露數(shù)學(xué)家的思維過程，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，體驗(yàn)數(shù)學(xué)家追求真理的科研精神，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和批判性.

問題3：物體動(dòng)就產(chǎn)生了速度，速度是涉及兩個(gè)時(shí)刻的概念，利用這一想法來求t=2s時(shí)刻的瞬時(shí)速度可行嗎？

對(duì)于問題3，多數(shù)學(xué)生會(huì)想到利用求平均速度的方法來求t=2s時(shí)刻的瞬時(shí)速度，這是本節(jié)知識(shí)的切入點(diǎn)，也是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理思維和創(chuàng)新能力的關(guān)鍵點(diǎn).

二、抽象模型，滲透極限思想

微積分的核心概念是導(dǎo)數(shù)，而理解導(dǎo)數(shù)就必須要有極限的思想.筆者通過圖形和代數(shù)兩個(gè)角度讓學(xué)生直觀感受平均速度無限趨近瞬時(shí)速度的變化過程，從形與數(shù)的表征揭示極限思想的本質(zhì)，對(duì)學(xué)生極限思維的建立有積極的促進(jìn)效果.

教師引導(dǎo)學(xué)生抽象出如下模型：

在t=2s這一瞬間，時(shí)間變化量都為0，從而路程變化量也為0，再用時(shí)間變化量除路程變化量會(huì)沒有意義，而此刻瞬時(shí)速度是存在的.利用“速度是涉及兩個(gè)時(shí)刻的概念”這一思想，得出在t=2的附近再取一個(gè)時(shí)刻t=2+Δt，計(jì)算區(qū)間[2，2+Δt]（Δt>0）（Δt<0時(shí)為[2+Δt，2]）內(nèi)的平均速度，讓?duì)趨向于無窮小時(shí)，得到的值即為t=2s時(shí)的瞬時(shí)速度.

教師：為了解決這個(gè)問題，17世紀(jì)的一批數(shù)學(xué)家投入了這一工作，集大成者是微分學(xué)的創(chuàng)始人牛頓與萊布尼茨.求t=t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度，讓時(shí)間從t0變到t1，這段時(shí)間記作Δt=t1-t0，走過的距離記作Δs，比值Δs/Δt即為t0到t1時(shí)間內(nèi)的平均速度.牛頓合理的設(shè)想：當(dāng)Δt越來越小，Δs也越來越小，在就要為0而還不是0的時(shí)候，比

值

Δs/Δt就是所要求的瞬時(shí)速度.

[設(shè)計(jì)意圖]滲透微積分的發(fā)展史，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)發(fā)展的艱辛歷程和發(fā)展邏輯，讓學(xué)生追隨大師的足跡一步步接近數(shù)學(xué)的本質(zhì)，體會(huì)數(shù)學(xué)的人文、科學(xué)和應(yīng)用價(jià)值.

平均速度=ΔhΔt，讓學(xué)生動(dòng)筆，在草圖上把Δh和Δt（Δt>0）畫出來.并且讓2+Δt慢慢靠近2，讓學(xué)生感受到平均速度逼近瞬時(shí)速度的過程.

當(dāng)Δt<0時(shí)，2+Δt從左邊逼近2.學(xué)生動(dòng)筆再次作圖.

[設(shè)計(jì)意圖]通過圖形，讓學(xué)生直觀體會(huì)平均速度的逐漸逼近引起思維的變化，進(jìn)而升華得出瞬時(shí)速度，也為學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的幾何意義做鋪墊；強(qiáng)調(diào)左右逼近，使學(xué)生感受一元函數(shù)的極限是從左右兩邊逼近的，為后續(xù)導(dǎo)數(shù)概念的深化做好準(zhǔn)備.

接著，讓學(xué)生從代數(shù)的角度感受無限趨近，進(jìn)而了解極限，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

問題4：如何計(jì)算區(qū)間[2+Δt，2]（Δt<0）和[2，2+Δt]內(nèi)的平均速度？

教師：如何快速化簡式子=ΔhΔt

=h（2+Δt）-h（2）Δt

？

部分學(xué)生能化簡得到=-1.9Δt-13.1

，教師引導(dǎo)學(xué)生通過找同類項(xiàng)，提高化簡效率.分子中二次項(xiàng)Δt2的系數(shù)為-4.9，一次項(xiàng)Δt的系數(shù)為-13.1，常數(shù)項(xiàng)為0.

[設(shè)計(jì)意圖]通過數(shù)形結(jié)合，感受無限逼近思想的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和縝密性.強(qiáng)調(diào)算理意識(shí)，落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

學(xué)生動(dòng)筆計(jì)算Δt=0.1、0.01、-0.1、-0.01時(shí)的平均速度，師生利用電子表格Excel得出下表.

問題5：請觀察上述表格，當(dāng)Δt趨向于0時(shí)，你能發(fā)現(xiàn)平均速度有什么變化趨勢嗎？

學(xué)生：當(dāng)Δt趨向于0時(shí)，平均速度趨向于一個(gè)定值-13.1，這個(gè)定值就是t=2s時(shí)刻的瞬時(shí)速度.

[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生對(duì)平均速度進(jìn)行定量分析，從數(shù)值上體會(huì)平均速度在時(shí)間間隔越來越小時(shí)向瞬時(shí)速度逼近的過程.

三、抽象概括，形成導(dǎo)數(shù)概念

學(xué)生能否對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行深刻理解的標(biāo)志，表現(xiàn)在能否用數(shù)學(xué)的文字、圖形、符號(hào)語言來揭示概念的本質(zhì)屬性.因此，導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)關(guān)鍵在于如何引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)符號(hào)語言對(duì)過程進(jìn)行抽象概括.

學(xué)生對(duì)平均速度和瞬時(shí)速度的關(guān)系有了直觀的認(rèn)識(shí)，為導(dǎo)數(shù)概念的形式化定義的抽象做好準(zhǔn)備，筆者通過問題串來完成符號(hào)語言的轉(zhuǎn)化.

問題6：你能用符號(hào)語言表示“當(dāng)Δt趨向于0時(shí)，平均速度趨向于一個(gè)定值-13.1”嗎？

學(xué)生：當(dāng)Δt→0時(shí)，

h（2+Δt）-h（2）Δt→-13.1.

教師：能再簡潔一些嗎？

學(xué)生：把表示極限的兩個(gè)“→”合寫在一起，即得到

limΔt→0

h（2+Δt）-h（2）Δt=-13.1

.

問題7：t=1時(shí)的瞬時(shí)速度怎么表示？t=0呢？t=t0的瞬時(shí)速度怎么表示？

學(xué)生都能想到分別用t=1、0分別替換2，得到相應(yīng)時(shí)刻的瞬時(shí)速度的表示，從而抽象得到t=t0的瞬時(shí)速度表示式：

limΔt→0ΔhΔt=

limΔt→0

h（t0+Δt）-h（t0）Δt.

在學(xué)生理解函數(shù)的平均變化率的極限即為瞬時(shí)變化率的基礎(chǔ)上提問.

問題8：函數(shù)f（x）在x=x0處的瞬時(shí)變化率怎樣表示？

limΔx→0

ΔfΔx=

limΔx→0

f（x0+Δx）-f（x0）Δx

稱為y=f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′（x0）或

y′|x=x0

，即

f′（x0）=

limΔx→0

f（x0+Δx）-f（x0）Δx

.

[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生經(jīng)歷三次數(shù)學(xué)符號(hào)語言的抽象概括，形成導(dǎo)數(shù)的形式化定義，完成從直觀到抽象、從具體到概括的過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維.

四、深化概念，加深本質(zhì)理解

“概念深化”是一節(jié)課的靈魂，對(duì)學(xué)生良好思維品質(zhì)的培養(yǎng)起關(guān)鍵作用.這一環(huán)節(jié)形式多樣，常包括怎樣分析概念的內(nèi)涵與外延？能否從圖形、文字、符號(hào)三種語言形式來對(duì)概念進(jìn)行描述？能否就概念提出問題讓學(xué)生辨析正誤？學(xué)生能否自主構(gòu)造例子說明？，這都需要教師動(dòng)腦去挖掘.

問題9：①導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是什么？

②f′（x0）與Δx的具體值有關(guān)嗎？

③f（x0）與f′（x0）一樣嗎？

④導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式中分子、分母各表示什么？

問題9：函數(shù)y=f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)為f′（x0），則

①limΔx→0

f（x0+2Δx）-f（x0）Δx=

；

②limΔx→0

f（x0-Δx）-f（x0）Δx=.

[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生明確導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)即為瞬時(shí)變化率，是一種動(dòng)態(tài)的趨近的思想，是一種特殊的極限；加深學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的形式化定義的理解：導(dǎo)數(shù)是差商的極限，要保持差商的一致性，提高學(xué)生思維的靈活性.

教師：17世紀(jì)下半葉，牛頓和萊布尼茨各自獨(dú)立地創(chuàng)立了微積分，當(dāng)時(shí)導(dǎo)數(shù)的概念是含混不清的并引起了近一個(gè)世紀(jì)的爭議.19世紀(jì)初，柯西引進(jìn)極限概念，給出了導(dǎo)數(shù)明確的定義.柯西以及后來的維爾斯特拉斯對(duì)結(jié)束微積分兩百年來思想上的混亂局面做出了巨大的貢獻(xiàn)，并使微積分發(fā)展成現(xiàn)代數(shù)學(xué)最龐大的學(xué)科.

教學(xué)中，以具體實(shí)例引出數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生的思維與原有認(rèn)知發(fā)生沖突，再現(xiàn)歷史上“飛矢不動(dòng)”的詭論，讓學(xué)生經(jīng)歷與數(shù)學(xué)大師牛頓一起思考問題、解決問題的過程；在抽象模型環(huán)節(jié)，從形與數(shù)的表征一步步接近導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)，慢慢揭開導(dǎo)數(shù)的神秘面紗.同時(shí)，介紹數(shù)學(xué)家們追求真理的艱苦過程，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)發(fā)展的嚴(yán)謹(jǐn)，養(yǎng)成質(zhì)疑、批判、求真、務(wù)實(shí)的理性思維和永不言棄的探索精神.

[參考文獻(xiàn)]

王興良.導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史內(nèi)容的研究與實(shí)踐[J].吉林省教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，3（30）.

（責(zé)任編輯黃春香）