龍彥潮

摘 要：作為高中數(shù)學(xué)學(xué)科體系中最為重要的基礎(chǔ)知識(shí)之一，數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何等知識(shí)之間存在著密切的聯(lián)系，集中考察了高中生的數(shù)學(xué)思維能力。本文簡要闡釋了數(shù)列在高中數(shù)學(xué)學(xué)科體系中的重要性，圍繞常數(shù)數(shù)列、數(shù)列性質(zhì)、通項(xiàng)公式等角度探討了高中數(shù)學(xué)中數(shù)列的具體學(xué)習(xí)方法，以供參考。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);數(shù)列性質(zhì);解題方法

通過大量做題訓(xùn)練，我們發(fā)現(xiàn)在解答數(shù)列問題時(shí)往往難以尋求到準(zhǔn)確的切入點(diǎn)，究其根本原因還是在于缺乏對(duì)數(shù)列概念與性質(zhì)的明確掌握，未形成綜合性的解題思維模式，難以依照試題選取對(duì)應(yīng)通項(xiàng)公式進(jìn)行解答。基于此，本文選取了幾種常見的數(shù)列解題方法與技巧，借此闡釋應(yīng)對(duì)常見數(shù)列問題如何快速有效尋求解決策略，依照此思路逐層抽絲剝繭的完成多種數(shù)列問題的有效解決，切實(shí)提高解題能力。

一、數(shù)列在高中數(shù)學(xué)學(xué)科體系中的重要性

數(shù)列既是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)獨(dú)立學(xué)習(xí)模塊，又與函數(shù)、不等式等知識(shí)之間具有一定的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。通過針對(duì)歷年來全國各地高考數(shù)學(xué)試卷進(jìn)行總結(jié)分析，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列知識(shí)一直以來都是重點(diǎn)考察問題，其考核比重呈現(xiàn)出逐年增加的趨勢(shì)。因此，我們應(yīng)當(dāng)在學(xué)習(xí)數(shù)列知識(shí)的過程中便注重進(jìn)行學(xué)習(xí)方法的歸納，確保能夠總結(jié)出一套固有的解題思路用于解決大多數(shù)數(shù)列問題，再圍繞具體數(shù)列問題進(jìn)行深入分析，判斷解題思路的不適用性并進(jìn)行補(bǔ)充，以此確保在提高數(shù)學(xué)解題能力的同時(shí)也能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)個(gè)人思維邏輯與學(xué)習(xí)能力的有效提升。

二、高中數(shù)學(xué)中數(shù)列的具體學(xué)習(xí)方法探討

（一）涉及常數(shù)數(shù)列的解題技巧。一般來說考察常數(shù)存在性的問題是數(shù)列知識(shí)中較為基礎(chǔ)性的問題，由于常數(shù)是一個(gè)固定不變數(shù)值，因此可以利用特殊項(xiàng)進(jìn)行常數(shù)數(shù)值的求解[1]。以下題為例：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公差不等于0，在其前3n項(xiàng)中將其前n項(xiàng)的和與后2n項(xiàng)的和作比，其比值對(duì)于任意n都等于常數(shù)，且n∈N+，列出數(shù)列的通項(xiàng)公式并求出常數(shù)的值。通過分析題干可以設(shè)存在公差為d的等差數(shù)列{an}，前n項(xiàng)的和為Sn，根據(jù)已知條件可以得出■=？姿（？姿為常數(shù)），由于Sn=n+■d，可以得出S3n-Sn=2n+n（4n-1）d。設(shè)n為分別為1、2，則■=■=？姿，即得出d=2，？姿=■。因此可以得出，對(duì)于任意正整數(shù)n存在■=■=■=■=？姿成立，通項(xiàng)公式為an=2n-1，常數(shù)為■。

從另一個(gè)解題思路入手，我們還可以運(yùn)用函數(shù)知識(shí)進(jìn)行常數(shù)存在性問題的求解。以下題為例，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=（n+1）·0.9n，存在一個(gè)正整數(shù)N使得aN≥an且對(duì)于n恒成立，求N的數(shù)值。在解答這道題目時(shí)可以依據(jù)函數(shù)思維進(jìn)行求解，由已知條件推斷出an-an+1=（n+1）·0.9n-（n+2）·0.9n+1=0.9n·■。接下來進(jìn)行分情況討論，分別探討n在小于8、大于8、等于8等三種情況下an與an+1之間的大小變化，最終得出當(dāng)N為8或9時(shí)存在aN≥an對(duì)于n恒成立。

（二）依據(jù)數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行具體解題。通過查閱近年來的高考數(shù)學(xué)試題資料，可以發(fā)現(xiàn)許多數(shù)列問題的設(shè)置主要考察我們對(duì)于數(shù)列性質(zhì)的掌握情況，因此我們?cè)谌粘Ｗ鲱}時(shí)應(yīng)當(dāng)注重圍繞數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)知識(shí)的推理，確保能夠?qū)崿F(xiàn)知識(shí)的靈活運(yùn)用。以下題為例，在等差數(shù)列{an}中存在的a3+a7=37，求a2+a4+a6+a8的值。在解答這道問題時(shí)，我們便可以從等差與等比數(shù)列的學(xué)習(xí)中進(jìn)行數(shù)列性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)的激活，當(dāng)m+n=p+q時(shí)，可以得出am+an=ap+aq。將本題所給條件帶入到式子中，便可以得出3+4=2+5=1+6，則a2+a4+a6+a8=2（a3+a7）=74，最終得出計(jì)算結(jié)果為74。通過以上題目的解答，可以發(fā)現(xiàn)我們對(duì)數(shù)列性質(zhì)的掌握情況將直接影響到作答速度與準(zhǔn)確度，因此需要著重圍繞數(shù)列的基本性質(zhì)進(jìn)行歸納總結(jié)，確保能夠借助性質(zhì)提高解題效率與正確率。

（三）利用通項(xiàng)公式完成數(shù)列求解。在求數(shù)列前n項(xiàng)的和這一類題目時(shí)，我們便可以利用通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行問題求解，利用疊乘、疊加與構(gòu)造法等方法進(jìn)行通項(xiàng)公式的歸納，最常應(yīng)用的方法主要有以下三種：

其一是錯(cuò)位相減法，該方法在等比數(shù)列推導(dǎo)等方面具有較強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值，主要考察我們?cè)诿鎸?duì)不同問題時(shí)對(duì)于數(shù)列求解方法的靈活運(yùn)用能力。以下題為例，已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Qn，其中a1=1，an+1=2Qn，且n為大于零的整數(shù)，求an與Qn。在解答這道題目時(shí)，首先我們應(yīng)當(dāng)求出首項(xiàng)和公比，依據(jù)等比公式推算出a1=1，n=1，則且an=2·3n-2且n≧2，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行Qn的計(jì)算，得出Qn=■+■·3n-2。當(dāng)n取值為1時(shí)，上式成立。由此可以看出，在求等差、等比數(shù)列中前n項(xiàng)的和時(shí)便可以運(yùn)用錯(cuò)位相減法進(jìn)行解答，并注重在做題的過程中依據(jù)具體問題探尋解題思路與著力點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)問題的順利解決。

其二是分組求和法，該方法對(duì)于既非等差數(shù)列、也非等比數(shù)列的題目解答具有較強(qiáng)的適用性，在解答問題時(shí)先將題目中所給數(shù)列拆解成不同簡易部分，降低求和的難度，在完成各項(xiàng)分別求和后再將各項(xiàng)合并，從而得出最終的數(shù)值[2]。以下題為例，已知數(shù)列an=n+2n，求an的前n項(xiàng)的和Sn。在解答這道題目時(shí)，可以先設(shè)定n的數(shù)值為1、2、3等任意正整數(shù)，則可推出a1=3，a2=6，a3=10，等，通過以下推導(dǎo)過程可以基本判斷an既非等差數(shù)列也非等比數(shù)列。接下來再圍繞n+2n這一項(xiàng)進(jìn)行分析，該項(xiàng)中的n為等差數(shù)列，2n屬于等比數(shù)列，由此可以分別假設(shè)bn=n，dn=2n，則有an=bn+cn，因此等差數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和為n+■，等比數(shù)列dn的前n項(xiàng)的和為■，則an的前n項(xiàng)的和為[n+■]+■。通過解答這道題可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)無法判斷數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列時(shí)，我們可以先將數(shù)列進(jìn)行拆分，靈活運(yùn)用多種拆分方法將其中可以判斷的部分提取出來進(jìn)行求和計(jì)算，最后再將不同數(shù)列的求和結(jié)果進(jìn)行相加，便可以得到最終求和結(jié)果。

其三是合并求和法，在解答復(fù)雜數(shù)列問題時(shí)具有較強(qiáng)的適用性。例如已知數(shù)列an，其中a1=2，a2=7，a3=5，且an+2+an=an+1，求an的前1999項(xiàng)的和。在解答此類問題時(shí)可以先就數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行分析，假設(shè)n的值分別為4、5、6，則a4、a5、a6的值分別為-2、-7、-5，進(jìn)而得出a6m+1=2，a6m+2=7，S1998=0。由于1999=333×6+1，因此可以得出a1999=2，S1999=2。在解答此類問題時(shí)，需要我們尋找到其中存在的特殊項(xiàng)并將其進(jìn)行合并、消減，進(jìn)而可以得出最終結(jié)果。

總而言之，數(shù)列中蘊(yùn)含著豐富的函數(shù)與方程思想，具有較強(qiáng)的綜合特性，對(duì)于提高我們的數(shù)學(xué)思維能力發(fā)揮了重要的影響作用?；诖耍覀兏鼞?yīng)當(dāng)依托數(shù)列知識(shí)鍛煉自己的思維與記憶能力，站在對(duì)比角度探討等差、等比數(shù)列與一二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，歸納學(xué)習(xí)方法，進(jìn)一步提高解題能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]曹金停.探討高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題的解題方法與技巧[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2016（15）：103.

[2]張潔.淺談高中數(shù)列中的探索問題類型及解題策略[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（19）：124.