吳潤(rùn)東

摘要：高中立體幾何是初中平面幾何學(xué)習(xí)的延續(xù)，也是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)部分。立體幾何的學(xué)習(xí)，不僅要求學(xué)生具備良好的三維立體感知能力，還要求學(xué)生在做題中，能夠靈活的運(yùn)用各種定理。鑒于高中立體幾何的難度，本文主要分享了立體幾何學(xué)習(xí)的一些心得，提供一些個(gè)人認(rèn)為較為實(shí)用的解題技巧。旨在為高中生的學(xué)習(xí)提供一些有價(jià)值的參考。

關(guān)鍵詞：高中；立體幾何；難點(diǎn)；技巧

前言：高中立體幾何的考查點(diǎn)主要圍繞基本概念、表面積、體積、點(diǎn)、線、面和與向量的關(guān)系等。單獨(dú)學(xué)習(xí)這些模塊時(shí)，并不會(huì)感覺到太大的難度，只需要運(yùn)用一些基本定理，掌握一定的做題規(guī)律即可解題。但是，當(dāng)立體幾何知識(shí)點(diǎn)混在一起考查時(shí)，做題難度將會(huì)大幅度增加，需要運(yùn)用到的知識(shí)內(nèi)容也是多方面的。因此，本文重點(diǎn)分析高中立體幾何知識(shí)混合類型題的解法[1]。

一、高中立體幾何學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)

對(duì)于不同的學(xué)生而言，在高中立體幾何學(xué)習(xí)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生不同的難點(diǎn)認(rèn)識(shí)。例如，一些立體感較差的學(xué)生在學(xué)習(xí)三視圖、求表面積或體積時(shí)比較吃力；一些數(shù)量關(guān)系成績(jī)較差的學(xué)生，在學(xué)習(xí)向量模塊時(shí)會(huì)感覺到難度；一些思維不夠靈敏的學(xué)生，在一些需要做輔助線的題型中會(huì)遇到阻礙。因此，概括的說(shuō)，高中立體幾何的每一模塊都是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，也是考查的重點(diǎn)。當(dāng)然，由于大部分類型題與教師講解的例題具有相同的解題步驟和方法，并不需要學(xué)生過(guò)多動(dòng)腦。但是當(dāng)部分模塊的知識(shí)點(diǎn)混合在一起時(shí)，勢(shì)必會(huì)增加解題的難度。例如，三視圖和幾何體表面積的結(jié)合，不僅要求學(xué)生通過(guò)三視圖判斷幾何體的類型，還需要通過(guò)分析三視圖中給出的數(shù)據(jù)，判斷與幾何體表面積求解公式相對(duì)應(yīng)的值。因此，學(xué)生既要有一定的立體觀察能力，還要記住幾何體面積公式。當(dāng)然，這種知識(shí)的結(jié)合是高中立體幾何學(xué)習(xí)的一般內(nèi)容，并不能稱為難點(diǎn)[2]。

高中立體幾何的學(xué)習(xí)難點(diǎn)可以通過(guò)一道具體的考查題目進(jìn)行說(shuō)明：已知四邊形ABCD是空間四邊形，E、F、G、H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，求證（1）EFGH是平行四邊形；（2）若BD=2√3，AC=2，EG=2。求異面直線AC、BD所成的角和EG、BD所成的角，圖如1所示。這種題型是典型的立體幾何難點(diǎn)考察題，解題時(shí)既要作多條輔助線，還要結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)數(shù)量關(guān)系挖掘圖形中已給出的隱藏信息，還要掌握相關(guān)的定理和異面直線的性質(zhì)。這種多知識(shí)點(diǎn)的混合考查是高中立體幾何學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，也是高考應(yīng)試的重點(diǎn)。這種難題的特點(diǎn)是給出的圖形較為簡(jiǎn)單，題干信息較少，求證部分會(huì)給出其它條件。

二、高中立體幾何學(xué)習(xí)的解題技巧

學(xué)習(xí)立體幾何，首先要熟練掌握相關(guān)的公式、定理和演繹定理等內(nèi)容，以此為基礎(chǔ)，本文主要通過(guò)一些具體的題型，說(shuō)明不同題型的解題技巧。

1.空間幾何體的三視圖 空間幾何體的三視圖考查也分難度等級(jí)，基礎(chǔ)題型如下：給出一個(gè)幾何體的三視圖，包括左視圖、主視圖和俯視圖，具體如圖2所示。在圖中標(biāo)注了解題所需要的尺寸，求解幾何體的表面積。具體解題步驟如下：首先，根據(jù)三視圖確定幾何體為正三棱柱。其次，根據(jù)三視圖確定原幾何體及其有關(guān)數(shù)據(jù)，最后利用公式求解。

此類題的解題技巧如下：1.由三視圖想象出幾何體的形狀；2.由相關(guān)數(shù)據(jù)得出幾何體中的量，進(jìn)而求出表面積或體積。掌握三視圖是正確解決這類問題的關(guān)鍵，同時(shí)也體現(xiàn)了知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，是高考中常見的基礎(chǔ)題型。

2.幾何體的表面積和體積 當(dāng)圖形較為復(fù)雜時(shí)，幾何體的表面積和體積求解是高中立體幾何學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。例如，給出四棱錐P-ABCD，底面ABCD是半徑為R的圓的內(nèi)接四邊形，其BD是圓的直徑，并給出∠ABD=60°，∠BDC=45°，△ADP∽△BAD，求線段PD的長(zhǎng)；若PC=√11R，求三棱錐P-ABC的體積。解題思路如下：首先，根據(jù)條件得到AB、AD的長(zhǎng)，再由相似三角形的性質(zhì)求得PD的長(zhǎng)。其次，證明PD⊥面ABCD，即PD為三棱錐的高，進(jìn)而求得面積。

求幾何體的體積問題，可以多角度、多方位地考慮問題，對(duì)三棱錐，等體積轉(zhuǎn)化法是常用的方法，轉(zhuǎn)換底面的原則是為了使高更加容易求得，常常把底面放在已知幾何體的某一面上。求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體變化為規(guī)則幾何體，易于求解。

3.線線關(guān)系類型題 平行關(guān)系類型題首先要記憶平行關(guān)系成立的一系列條件，共包含12個(gè)。在學(xué)習(xí)過(guò)程中要記憶所有平行關(guān)系成立的條件，從而保證在解題中能夠引用正確的平行定理。具體而言，如果已知條件是“線面”平行，欲證的結(jié)論是“線線平行”，那么就將“線面平行”向“線線平行”轉(zhuǎn)化，通?？梢岳镁€面平行的性質(zhì)定理，作輔助平面得到某條或某幾條“面面的交線”來(lái)實(shí)現(xiàn)的這種轉(zhuǎn)化。

垂直關(guān)系類型題，通常是利用線面垂直證明面面垂直。因此，首先要找到一個(gè)平面的垂線，并且這條垂線要在另一個(gè)平面內(nèi)。通過(guò)面面垂直判定定理，得出最終的結(jié)論。

4.空間向量在立體幾何中的應(yīng)用 空間向量理論引入立體幾何中，通常涉及到夾角、平行、垂直、距離等問題，其方法是不必添加繁雜的輔助線，只要建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量運(yùn)算解決立體幾何問題。這樣使問題坐標(biāo)化、符號(hào)化、數(shù)量化，從而將推理問題完全轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，降低了思維難度。

除了上述復(fù)雜題型以外，前文中所列舉的難點(diǎn)題型，確實(shí)很難總結(jié)出具體的解題技巧。因?yàn)?，偏難的題型對(duì)學(xué)生的思維能力要求較高，而思維的發(fā)展很難通過(guò)技巧實(shí)現(xiàn)。因此，掌握立體幾何的基本知識(shí)點(diǎn)和定義，加強(qiáng)不同題型的訓(xùn)練，可以有效的提高立體幾何成績(jī)。

結(jié)論：綜上所述，高中立體幾何知識(shí)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是高考中最容易得分和丟分的模塊。在學(xué)習(xí)時(shí)，一方面要重視基礎(chǔ)知識(shí)的夯實(shí)，另一方面要增加訓(xùn)練量，在做題的過(guò)程中不斷積累方法，掌握技巧。值得強(qiáng)調(diào)的是，技巧并不是憑空產(chǎn)生的，而是基于大量的練習(xí)。因此，如果想要提高立體幾何學(xué)習(xí)成績(jī)，一定要強(qiáng)化題本的練習(xí)。

參考文獻(xiàn)：

[1]魏胤呈，劉丹. 高中立體幾何解題研究[J]. 亞太教育，2016，（29）

[2]孫君海. 淺談如何學(xué)好高中立體幾何[J]. 學(xué)周刊，2015，（07）：109.

（作者單位：湖南省常德市芷蘭實(shí)驗(yàn)學(xué)校 415000）