毛德金

【摘要】 主要從“以本為本，細(xì)查教材覓題源”“以綱為綱，深研解法得真知”“以準(zhǔn)為準(zhǔn)，廣泛聯(lián)系求發(fā)展”三個(gè)方面對(duì)2017年安徽省中考?jí)狠S題進(jìn)行賞析，希望能夠?qū)ζ綍r(shí)教學(xué)與中考復(fù)習(xí)有所幫助，更有效地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 壓軸題;核心素養(yǎng);解法研究

一、原題再現(xiàn)

題目 ?（2017年安徽卷第23題）已知正方形ABCD，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn).

（1）如圖1所示，點(diǎn)G為線段CM上的一點(diǎn)，且∠AGB=90°，延長(zhǎng)AG，BG分別與邊BC，CD交于點(diǎn)E，F(xiàn).

① 求證：BE=CF;

② 求證：BE2=BC·CE.

（2）如圖2所示，在邊BC上取一點(diǎn)E，滿足BE2=BC·CE，連接AE交CM于點(diǎn)G，連接BG并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，求tan∠CBF的值.

從以往安徽省中考試題來(lái)看，每年試卷的最后一題（即第23題，以下代稱“壓軸題”）具有考查與選拔雙重功能，起點(diǎn)低，落點(diǎn)高，且往往來(lái)源于教材，設(shè)計(jì)精巧，解法多樣，對(duì)平時(shí)教學(xué)與中考復(fù)習(xí)具有極大的導(dǎo)向性，因而，備受關(guān)注.2017年安徽省中考?jí)狠S題，仍然保持了這一特點(diǎn)，下面從不同角度對(duì)該題進(jìn)行分析與研究.

二、以本為本，細(xì)查教材覓題源

1.人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)第68頁(yè)習(xí)題8：如圖3所示，四邊形ABCD是一個(gè)正方形花園，E，F(xiàn)是它的兩個(gè)門所在位置，且DE=CF.要修建兩條路BE和AF，這兩條路等長(zhǎng)嗎？它們有什么位置關(guān)系？為什么？

2.人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第18頁(yè)“閱讀與思考”——黃金分割數(shù).

3.人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)第30頁(yè)教材內(nèi)容：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例……

當(dāng)我們依次品味上述三條與該壓軸題之間的內(nèi)在聯(lián)系時(shí)，會(huì)清晰地看到一條來(lái)源之路：“1”中證明三角形全等是本題的起點(diǎn)，“2”中黃金分割數(shù)的求法是本題第（2）小題必須掌握的運(yùn)算方法，“3”中所涉及的“A”字型與“8”字型相似模型是相似三角形判定的基礎(chǔ)，在本題的圖形與推理中得到充分的展示與應(yīng)用.

三、以綱為綱，深研解法得真知

本題以正方形為背景，考查全等、相似、直角三角形、代數(shù)運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn).從《2017年安徽省初中學(xué)業(yè)水平考試綱要（數(shù)學(xué)學(xué)科）》可查得相關(guān)考查要求分別為D（運(yùn)用）或C（掌握）.本題完全按照這樣的要求呈現(xiàn)，深入探究本題的解法對(duì)平時(shí)教學(xué)、命題以及中考復(fù)習(xí)具有極大意義.

對(duì)于第（1）題的第①小題，可用“ASA”（或“AAS”）證明△ABE≌△BCF，從而獲得證明.證法略.

對(duì)于第（1）題的第②小題，主要可通過(guò)三角形相似獲得證明.

思路1 ?結(jié)論BE2=BC·CE中的三條線段在同一條直線上，因此，考慮將有關(guān)線段轉(zhuǎn)換.若能發(fā)現(xiàn)BE=CF=CG，則可通過(guò)證明△CGE∽△CBG獲得證明.

方法1 ?如圖4所示，因?yàn)椤螦GB=90°，所以∠GAB+∠ABG=90°，

因?yàn)椤螦BC=∠CBG+∠ABG=90°，

所以∠GAB=∠CBG.

又因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，

所以MG=MA=MB，所以∠GAB=∠AGM.

又∠CGE=∠AGM，所以∠CGE=∠CBG.

又∠ECG=∠GCB，所以△CGE∽△CBG.

所以 CE CG = CG CB ，即CG2=BC·CE.

又由∠CFG=∠GBM=∠MGB=∠CGF，得CF=CG.

而由①知BE=CF，所以BE=CG，

故BE2=BC·CE.

思路2 ?若將BE2=BC·CE轉(zhuǎn)換為BE·CF=BA·CE，則可通過(guò)證明△CEF∽△BEA獲得證明.

方法2 ?如圖5所示，連接EF.

因?yàn)椤螰GE=∠AGB=90°，∠FCE=90°，

所以F，C，E，G四點(diǎn)在以EF為直徑的圓上，

所以∠CFE=∠CGE.

又因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，所以MG=MA=MB，

所以∠GAB=∠AGM=∠CGE=∠CFE.

又∠FCE=∠ABE=90°，所以△CEF∽△BEA，

所以 CE BE = CF BA ，即BE·CF=BA·CE.

又BE=CF，BA=BC，所以BE2=BC·CE.

思路3 ?建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)BC為1，再設(shè)法算出BE，CE的長(zhǎng)度即可得證.

方法3 ?如圖6所示，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊AB，AD所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1.

因?yàn)椤螦GB=90°，M為AB的中點(diǎn)，

所以MG=MA=MB= 1 2 .

又由勾股定理得MC=? 5? 2 .

作GH⊥AB，垂足為H，則GH∥BC.

所以△MHG∽△MBC，

所以 MG MC = MH MB = GH CB ，

所以MH=? 5? 10 ，GH=? 5? 5 ，

所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為? 5+ 5? 10 ，? 5? 5? .

設(shè)直線AG的解析式為y=kx，則? 5? 5 =k· 5+ 5? 10 ，

解得k=? 5 -1 2 .