馮熙源

【摘要】 《普通高中課程方案和標準》（2017版）要求高中數(shù)學的教學盡可能地教給學生分析問題、解決問題的方法，使學生能夠熟練運用數(shù)學方法解決問題.高中數(shù)學知識難度大，解題方法多，這就要求我們在教學中積極采用科學有效的方法提高學生解決問題的能力.構造法是實現(xiàn)問題轉化最富有活力的方法之一，也是數(shù)學教學中培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維的重要方法.本文主要針對高中數(shù)學課程中的求解數(shù)列通項公式、幾何最值和導數(shù)問題三個方面，提出采用構造法來解決上面三個問題.通過構造法的應用，解決了高中階段學生針對數(shù)列通項不好找出規(guī)律問題，以及在求幾何最值及導數(shù)壓軸題不好解決的問題.

【關鍵詞】 構造法;通項公式;最值;輔助函數(shù)

所謂構造法就是在解決某些數(shù)學問題的過程中，通過對條件與結論的充分剖析，有時會聯(lián)想出一種適當?shù)妮o助模型，以此促成命題的轉換，產(chǎn)生新的解題方法.構造法的核心是構造，要善于將數(shù)與形相結合，將式與方程、函數(shù)、圖形等建立聯(lián)系，構造出新的數(shù)學形式，如方程、函數(shù)、圖形等，在各種數(shù)學形式間找出相互的關系，在解題中被廣泛應用.同時也是實現(xiàn)問題的轉化的重要方法，已經(jīng)滲透在數(shù)學各個領域.

一、構造法在求解數(shù)列通項公式中的應用

在歷年高考中出現(xiàn)多次利用線性遞推關系式求通項公式的問題，在大學數(shù)學專業(yè)所開設的“組合數(shù)學”課程中有完善的解決方法，但鑒于高中的學習情況，這種方法不適合高中學生.同學們會想到用數(shù)學歸納法解決這個問題.但是通過計算數(shù)列的前幾項，很難找出規(guī)律，而且對于文科考生，數(shù)學歸納法不是必修內(nèi)容.我們采用構造法來解決這個問題.

例1 ??a 1=1，a ?n+1 =2a n+3，求數(shù)列{a n}的通項公式.

解析 ?（1）構造等比數(shù)列a ?n+1 -t=2（a n-t），即a ?n+1 =2a n-t，解得t=-3，故遞推公式為a ?n+1 +3=2（a n+3）.

令b n=a n+3，則b 1=a 1+3=4，且 b ?n+1 ?b n = a ?n+1 +3 a n+3 =2，

所以{b n}是以b 1=4為首項，2為公比的等比數(shù)列.

所以b n=4×2 n-1 =2 n+1 ，即a n=2 n+1 -3.

例2 ??設數(shù)列{a n}的前n項和S n= 4 3 a n- 1 3 ×2 n+1 + 2 3 （n=1，2，3，…），求通項a n.

解析 ?當n=1時，有a 1=S 1= 4 3 a 1- 1 3 ×4+ 2 3 ，解得a 1=2，

a ?n+1 =S ?n+1 -S n= 4 3 a ?n+1 - 4 3 a n- 1 3 （2 n+2 -2 n+1 ），

整理得a ?n+1 =4a n+2 n+1 .

構造等比數(shù)列：a ?n+1 +t·2 n+1 =4（a n+t·2 n ），解得t=1.

所以a ?n+1 +2 n+1 =4（a n+2 n ），

所以數(shù)列{a n+2 n }是公比是4的等比數(shù)列.

于是a n+2 n =（a 1+2）·4 n-1 ，所以a n=4 n -2 n .

評析：在求解數(shù)列通項公式的問題中，經(jīng)常會遇到既非等差，又非等比數(shù)列的求解通項公式問題.由于文科考生沒有學習數(shù)學歸納法，本文采用構造法求解，避免了用數(shù)學歸納法進行求解.

二、構造法在求解高中幾何最值問題中的應用

與幾何有關的最值問題構造出新的長度

例3 ??已知實數(shù)x，y滿足方程x2+y2-4x+1=0.求：

（1） y x 的最大值和最小值;

（2）y-x的最大值和最小值;

（3）x2+y2的最大值和最小值.

解析 ?（1）求 y x 最值問題，可以構造成求 y-0 x-0 的最值問題，即求圓上的點與原點（0，0）連線的斜率的最值問題.

方程x2+y2-4x+1=0表示以點（2，0）為圓心，以 3 為半徑的圓.

設 y-0 x-0 =k，即y=kx，

則圓心（2，0）到直線y=kx的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最大值和最小值.

由 |2k-0|? k2+1? = 3 ，解得k2=3，所以k ?max = 3 ，k ?min =- 3 ，

即 y x 的最大值為 3 ，最小值為- 3 .

（2）令y-x=b，構造出y=x+b，求y-x的最大值、最小值，就是求y=x+b在y軸上的截距的最大值和最小值.

當直線y=x+b與圓相切時截距取得最大值和最小值.

即 |2-0+b|? 2? = 3 ，解得b=-2± 6 .

所以y-x的最大值為-2+ 6 ，最小值為-2- 6 .

（3）x2+y2=（x-0）2+（y-0）2，求x2+y2的最大值和最小值，構造成求圓上一點到原點距離的平方的最大值和最小值.由平面幾何知識可知，在原點與圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值.

又圓心到原點的距離為 （2-0）2+（0-0）2 =2，

所以x2+y2的最大值為7+4 3 ，最小值為7-4 3 .

【參考文獻】

[1]趙杰.高中數(shù)學解題中“構造法”的應用探討[J].華夏教師，2014（12）：28.

[2]李松巖.例談構造法在解題中的應用[J].中學生數(shù)學，2018（1）：40-41.

[3]朱丹娟.淺談構造法在初中數(shù)學解題中的運用[J].數(shù)學學習與研究，2017（20）：154-155.

[4]孫建.巧用“構造法”解高中數(shù)學題[J].語數(shù)外學習（高中版下旬），2017（4）：44.

[5]馮立坤，劉影.構造法在中學數(shù)學解題中的應用[J].數(shù)理化學習（高中版），2015（10）：18-19.