李偉成

摘要：本文結(jié)合例題簡(jiǎn)要探究了“微元法”在物理解題中的應(yīng)用，希望能給我們的物理解題教學(xué)帶來(lái)幫助。

關(guān)鍵詞：“微元法”；物理解題；應(yīng)用

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2017）09-0125

“微元法”是分析、解決物理問(wèn)題的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。利用“微元法”處理問(wèn)題時(shí)，需將復(fù)雜的物理過(guò)程分解為眾多微小的、遵循相同規(guī)律的“元過(guò)程”（微元），從而將非理想物理模型變成理想物理模型，然后利用必要的數(shù)學(xué)和物理方法處理“元過(guò)程”（微元），從而解決問(wèn)題。下面，筆者僅就“微元法”在物理解題中的應(yīng)用，贅述膚淺認(rèn)識(shí)。

一、“微元法”解題的一般步驟

1. 選取微元用以量化元事物或元過(guò)程；2. 視元事物或元過(guò)程為恒定，運(yùn)用相應(yīng)的規(guī)律給出待求量對(duì)應(yīng)的微元表達(dá)式；3. 在微元表達(dá)式的定義域內(nèi)施以疊加演算，進(jìn)而求得待求量；

二、“微元法”在解題中的應(yīng)用

1. 直接以微元為研究對(duì)象解題

對(duì)于連續(xù)變化過(guò)程中某個(gè)量，以全過(guò)程為研究對(duì)象難以求解，可選取微元為研究對(duì)象解題。

例1. 高壓采煤水槍出口的橫截面積為s，水的射速為v，射到煤層上后水柱的速度變?yōu)榱悖羲拿芏葹棣?，求水?duì)煤的沖力。

【解析】用微元法分析，取沖到墻上的一小段水柱為研究對(duì)象，設(shè)這一小段水的質(zhì)量為Δm，則Δm=ρvΔts。取水平向左為正方向，由動(dòng)量定理得：FΔt=P′-P=Δmv=ρvΔtsvF=ρv2s由牛頓第三定律，水對(duì)煤層的沖力F′=-F=-ρv2s，其中負(fù)號(hào)表示方向水平向右。

例2. 陰極射線管中，由陰極K產(chǎn)生的熱電子（初速為零）經(jīng)電壓U 加速后，打在陽(yáng)極A 板上。若A板附近單位體積內(nèi)的電子數(shù)為N，電子打到A板上即被吸收。求電子打擊A板過(guò)程中A板所受的壓強(qiáng)。（已知電子的電量為e、質(zhì)量為m）

【解析】用微分法分析：

在時(shí)間Δt內(nèi)打在A板S面積上的電子數(shù)：N′=N（νΔt）S①

動(dòng)能定理：eU=■mν2②

動(dòng)量定理：PSΔt=N′mν③

由①②③得：P=2NeU

2. 取微元為研究對(duì)象再求和解題

功是力在位移上的積累，沖量是力對(duì)時(shí)間的積累，位移是速度對(duì)時(shí)間的積累，電量是電流對(duì)時(shí)間的積累……一些習(xí)題中常需要求解一個(gè)變化量對(duì)另一個(gè)量的積累。解這類(lèi)問(wèn)題，微元法是常用方法。取微元，再結(jié)合微元的物理意義，運(yùn)用數(shù)學(xué)工具（如運(yùn)用圖象面積）求得微元之和，?？善平怆y點(diǎn)。

例3. 如圖所示，頂角θ=45°的金屬導(dǎo)軌MON固定在水平面內(nèi)，導(dǎo)軌處在方向豎直、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，一根與ON垂直的導(dǎo)體棒在水平外力作用下以恒定的速度v0沿導(dǎo)軌MON向右運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體棒的質(zhì)量為m，導(dǎo)軌與導(dǎo)體棒單位長(zhǎng)度的電阻均為r。導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌的接觸點(diǎn)為a和b，導(dǎo)體棒在滑動(dòng)過(guò)程中始終保持與導(dǎo)軌良好接觸。t=0時(shí)，導(dǎo)體棒位于頂角O處，若在時(shí)

刻將外力撤去，求導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時(shí)的坐標(biāo)x。

【解析】導(dǎo)體棒做變加速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中導(dǎo)體棒有效長(zhǎng)度、受力、速度都在不斷變化，故利用牛頓定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求位移，顯然不行。能否取微元求和，通過(guò)求面積來(lái)求位移？取足夠短時(shí)間微元Δt，在Δt內(nèi)導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)可視為勻速運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體棒有效長(zhǎng)度、電流均視為恒定。

撤去外力后，設(shè)任意時(shí)刻t導(dǎo)體棒的坐標(biāo)為x，速度為v，有效長(zhǎng)度為l，Δt內(nèi)通過(guò)距離Δx，則在t～t+Δt時(shí)間內(nèi)，由動(dòng)量定理得

BllΔt=mΔν

■Δs=mΔν （極短時(shí)間內(nèi)：lνΔt=lΔx=Δs）

■■Δs=■mΔν

■■Δs=mν0

導(dǎo)體棒掃過(guò)面積

Δs=■=■（x0=ν0t0）

x=■

（作者單位：廣西梧州市第十五中學(xué) 543000）endprint