王辰飛??

摘要：三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，其涉及的內(nèi)容較為廣泛，并且類型題普遍較為復(fù)雜，用傳統(tǒng)的方法進(jìn)行計(jì)算，其步驟復(fù)雜，并且容易產(chǎn)生計(jì)算錯(cuò)誤，不利于三角函數(shù)的解題。因此，要對(duì)傳統(tǒng)的解題方法進(jìn)行優(yōu)化，通過(guò)滲透化歸思想，將原本復(fù)雜的內(nèi)容簡(jiǎn)單化，從而提升三角函數(shù)解題的效率和準(zhǔn)確性，對(duì)提升中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平具有重要的意義。本文首先分析了化歸思想的基本內(nèi)涵，隨后闡述了在中學(xué)階段三角函數(shù)的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，最后提出了幾點(diǎn)三角函數(shù)中應(yīng)用化歸思想的策略，為中學(xué)生提升三角函數(shù)解題水平起到了借鑒和參考作用。

關(guān)鍵詞：化歸思想；三角函數(shù)；解題

一、 引言

應(yīng)用化歸思想不僅能夠有效的提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題水平，還能夠鍛煉學(xué)生的思維方式，讓學(xué)生能夠從多個(gè)角度對(duì)一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行分析，并讓學(xué)生的思維方式更加流暢，不僅能夠?qū)?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)起到推動(dòng)作用，還能夠有效的促進(jìn)學(xué)生綜合素質(zhì)的全面發(fā)展，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的。

二、 化歸思想的基本內(nèi)涵

化歸思想是唯物辯證主義的一種重要的思考方式，其內(nèi)容即化整為零，將原本復(fù)雜的問(wèn)題利用簡(jiǎn)單的方式進(jìn)行處理。從本質(zhì)上而言，化歸思想也就是通過(guò)利用一些已經(jīng)掌握的，并且相對(duì)較為簡(jiǎn)單和具體的知識(shí)，將原本復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化、將抽象的問(wèn)題具體化、將未知的問(wèn)題已知化、將特殊的問(wèn)題一般化、將非典型的問(wèn)題典型化的思維方式。通過(guò)這種方式，可以在知識(shí)結(jié)構(gòu)沒(méi)有發(fā)生較大改變的前提下，解決過(guò)往所無(wú)法解決的問(wèn)題。在生活中運(yùn)用化歸思想，可以解決生活和工作中所出現(xiàn)的難題，將難以解決的問(wèn)題分割成為若干個(gè)小的問(wèn)題，從而通過(guò)逐個(gè)解決小的問(wèn)題，最終解決整體的問(wèn)題。在中學(xué)數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，待定系數(shù)法、整體代入法等，都是化歸思想的直接體現(xiàn)。

三、 三角函數(shù)的學(xué)習(xí)難點(diǎn)

三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，其復(fù)雜性較高，并且所涉及的內(nèi)容較多，在學(xué)習(xí)過(guò)程中容易產(chǎn)生較多的問(wèn)題。三角函數(shù)的學(xué)習(xí)難點(diǎn)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

首先，是學(xué)習(xí)觀念不正確的問(wèn)題。相對(duì)于初中的三角函數(shù)問(wèn)題，高中的三角函數(shù)問(wèn)題難度倍增，學(xué)習(xí)起來(lái)具有較大的困難。而許多高一新生沒(méi)有對(duì)三角函數(shù)的困難性和重要性有明確的認(rèn)知，還認(rèn)為三角函數(shù)比較簡(jiǎn)單，只需要將公式代入到其中就可以解決問(wèn)題。導(dǎo)致許多高一新生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，沒(méi)有全身心的投入，上課不專注等問(wèn)題比較明顯。而在基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)完后，高一新生往往剛體會(huì)到三角函數(shù)的困難，此時(shí)再進(jìn)行學(xué)習(xí)就已經(jīng)顯得有些晚了，存在大量的知識(shí)漏洞，導(dǎo)致三角函數(shù)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生較大的問(wèn)題。

其次，是綜合能力不足的問(wèn)題。三角函數(shù)所涉及的內(nèi)容和公式眾多，需要將多個(gè)單元的內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，并非僅僅學(xué)好三角函數(shù)知識(shí)就能夠解決三角函數(shù)問(wèn)題，對(duì)于數(shù)學(xué)綜合能力的要求較高。而由于數(shù)學(xué)本身具有高度的抽象性和理論性，學(xué)習(xí)起來(lái)具有較高的難度，因此，大多數(shù)學(xué)生都很難良好的掌握每個(gè)部分的知識(shí)，也就導(dǎo)致了大多數(shù)學(xué)生存在綜合能力不足的問(wèn)題。

再次，是學(xué)習(xí)方法不科學(xué)的問(wèn)題。在課堂教學(xué)中，教師往往只講解知識(shí)點(diǎn)，而不進(jìn)行學(xué)習(xí)方法的傳授。學(xué)生的學(xué)習(xí)方法大多是結(jié)合自身的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)得來(lái)的，這種具有經(jīng)驗(yàn)性質(zhì)的方法不具備科學(xué)性，許多學(xué)生使用了錯(cuò)誤的學(xué)習(xí)方法而不自知，也就會(huì)出現(xiàn)學(xué)習(xí)效率低下的問(wèn)題。除此之外，許多學(xué)生過(guò)于依賴教師的講解，在課后沒(méi)有將知識(shí)進(jìn)行自主訓(xùn)練，也就導(dǎo)致了知識(shí)學(xué)得快，忘得也快，不利于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的提升。

接下來(lái)，是解題方法不恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題。三角函數(shù)本身具有較高的復(fù)雜性，針對(duì)一個(gè)問(wèn)題，通常會(huì)有多種不同的解法，其中，有的解法簡(jiǎn)單，并且不容易出錯(cuò)，而有的解法較為復(fù)雜，并且容易產(chǎn)生計(jì)算錯(cuò)誤。在解題的過(guò)程中，如果沒(méi)有使用正確的解題方法，很容易出現(xiàn)解法較為復(fù)雜，并且產(chǎn)生計(jì)算錯(cuò)誤的問(wèn)題。

最后，是知識(shí)性的錯(cuò)誤。三角函數(shù)所涉及的定理、公式、符號(hào)等數(shù)量眾多，學(xué)生需要花費(fèi)一定的時(shí)間記憶，并通過(guò)大量的練習(xí)靈活的運(yùn)用這些知識(shí)。而如果記憶不夠深刻，或所做的練習(xí)不夠多，就會(huì)產(chǎn)生一些知識(shí)性的錯(cuò)誤，如定理記不起來(lái)、公式記錯(cuò)、符號(hào)記混等，這種問(wèn)題會(huì)對(duì)三角函數(shù)的解題產(chǎn)生極大的影響，這也就需要學(xué)生發(fā)揮出自身的能力進(jìn)行針對(duì)性的訓(xùn)練，從而尋求最合理的解決方法。

四、 化歸思想在三角函數(shù)解題中的應(yīng)用

（一） 一般問(wèn)題特殊化

數(shù)學(xué)題目花樣眾多，絕大多數(shù)問(wèn)題都無(wú)法直接用公式或定理推導(dǎo)出來(lái)。這也就需要對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行處理，將一些普遍的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為所學(xué)過(guò)的特殊問(wèn)題，從而解決熟悉程度較低的問(wèn)題。例如，在解三角函數(shù)時(shí)，可以通過(guò)不斷的推導(dǎo)，將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，要想得出三角函數(shù)的最值，只需要得出二次函數(shù)的最值即可。除此之外，比較難的y=acosx+bsinx可以化歸為更便于計(jì)算的y=a2+b2sin（x+y）。

【例1】已知有x∈R，求f（x）=6cosx-8sinx的值域。

解答思路如下：

可以用上述的例子對(duì)本題目進(jìn)行計(jì)算，其步驟為：

f（x）=6cosx-8sinx=62+（-8）2sin（x+y）=10sin（x+y）

因此，函數(shù)f（x）=6cosx-8sinx的值域?yàn)?10，10。

【例2】假設(shè)有一三角函數(shù)f（x），求f（x）=cos2x+sin2x+2cosx+3的最值。

解題思路如下：

這種題用三角函數(shù)的方式進(jìn)行解決會(huì)有較高的難度，而如果將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的形式，就成為了學(xué)生所熟悉的題型。因此，解答步驟為：

f（x）=cos2x+sin2x+2cosx+3=2cos2x-1+1-cos2x+2cosx+3

經(jīng)過(guò)推導(dǎo)后可得出結(jié)論：

f（x）=（cosx+1）2+2

因此，f（x）=cos2x+sin2x+2cosx+3的最大值為6，最小值為2。

【例3】假設(shè)有一三角函數(shù)tanx=2，求2sinx+3cosxsinx-cosx。endprint

解題思路如下：

此分式的解決難度較大，利用傳統(tǒng)的方法很難解答。而如果利用三角函數(shù)公式：tanx=sinxcosx進(jìn)行解答，可以將分式轉(zhuǎn)變成為齊次分式，也就是代入公式tanx=sinxcosx后，將整個(gè)分式的分子和分母同時(shí)除以cosx，從而得出最終的結(jié)論。

（二） 三角問(wèn)題立體化

三角函數(shù)具有較高的學(xué)習(xí)難度，在應(yīng)用的過(guò)程中，也容易受到各種主觀或客觀因素的影響，存在一定的難度。而如果使用化歸的解題思想，可以通過(guò)構(gòu)建幾何圖形的方式，來(lái)使得抽象的問(wèn)題直觀化，從而解決問(wèn)題。

【例4】假設(shè)有三個(gè)銳角，分別為x，y，z。并且這三個(gè)銳角滿足條件cos2x+cos2y+cos2z=-1，求證tanx·tany·tanz≥22。

解題思路如下：

在面對(duì)公式cos2x+cos2y+cos2z=-1時(shí)，很容易會(huì)聯(lián)想到另一個(gè)公式cos2x+cos2y+cos2z=1，而這個(gè)公式同時(shí)又是長(zhǎng)方體的關(guān)系式。因此，可以將原問(wèn)題轉(zhuǎn)換成為長(zhǎng)方體，通過(guò)對(duì)長(zhǎng)方體進(jìn)行求解，從而得到題干中的內(nèi)容。解題步驟如下：

首先，設(shè)三條邊a=cosx，b=cosy，c=cosz，則可以得知tanx·tany·tanz=b2+c2a·a2+c2b·b2+a2c，這也就可以使三角不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式，其解答的難度大大降低。如果a，b，c都大于零，則可以轉(zhuǎn)為求證：

b2+c2a·a2+c2b·b2+a2c≥22

之后可以轉(zhuǎn)化為b2+c2a·a2+c2b·b2+a2c≥2bca·2acb·2abc，最終也就可以得到tanx·tany·tanz=22，因此，原問(wèn)題中的tanx·tany·tanz≥22成立。

利用化歸思想將三角函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀螁?wèn)題，不僅可以轉(zhuǎn)變?yōu)榱Ⅲw幾何問(wèn)題，還可以轉(zhuǎn)變成為解析幾何問(wèn)題。

【例5】假設(shè)有cos4xcos2y+sin4xsin2y=1，則求證cos4ycos2x+sin4ysin2x=1。

解題思路如下：

通過(guò)對(duì)兩個(gè)公式進(jìn)行分析，可以得知這個(gè)公式與橢圓方程有一定的相似性。而由于缺乏必要的數(shù)值參照的情況下，難以構(gòu)建橢圓進(jìn)行立體幾何的解答，因此，可以通過(guò)解析幾何的方式進(jìn)行解答。通過(guò)分析題意可知，有兩點(diǎn)P和Q，分別為（cos2x，sin2x）和（cos2y，sin2y），這兩點(diǎn)都在橢圓x2cos2y+y2sin2y=1，其中，點(diǎn)Q有一條切線，這條切線的方程為x+y=1。根據(jù)上述內(nèi)容所示，很容易能夠證明出點(diǎn)P仍然在這條切線上，而由于對(duì)于一個(gè)橢圓而言，一條切線只具有一個(gè)切點(diǎn)，因此，可以得知點(diǎn)P和點(diǎn)Q在同一個(gè)點(diǎn)上，也就能夠反向推導(dǎo)得出結(jié)論：cos4ycos2x+sin4ysin2x=1。

（三） 三角問(wèn)題代數(shù)化

【例6】求證：cos4a·tan2a-sin4a=2tan2atan2a-1。

解題思路如下：

根據(jù)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)可知，4a的角度數(shù)比2a高一倍，將其代入公式中，假設(shè)：tan2a=t，根據(jù)公式，可以得到結(jié)果：cos4a=1-t21+t2，sin4a=2t1+t2，2tan2atan2a-1=-t。

將上述得到的內(nèi)容代入到公式中來(lái)，也就可以將原本的三角函數(shù)問(wèn)題徹底轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，其解題難度就會(huì)極大的下降。解題步驟如下：

設(shè)：tan2a=t，根據(jù)萬(wàn)能公式，可得cos4a·tan2a-sin4a=1-t21+t2·t-2t1+t2。將所得的結(jié)果進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，也就可以得出最終的結(jié)論：cos4a·tan2a-sin4a=2tan2atan2a-1。

（四） 多變量問(wèn)題少變量化

三角函數(shù)的問(wèn)題普遍較為復(fù)雜，其主要內(nèi)容是三角函數(shù)問(wèn)題，所涉及的變量較多，并且公式也比較多。因此，需要將多變量的問(wèn)題利用化歸思想轉(zhuǎn)變?yōu)樽兞可俚膯?wèn)題，可以利用三角函數(shù)的各種正弦、余弦等定理，將多余的部分消去，只留下有用的核心部分，從而有效的降低解題的難度，優(yōu)化解題步驟。

【例7】在一個(gè)三角形ABC中，證明：（a2-b2-c2）tanA+（a2-b2+c2）tanB=0。

解題思路如下：

首先要對(duì)原題進(jìn)行分析，根據(jù)題意可以得知，這個(gè)問(wèn)題本質(zhì)上是在探討三角形的邊和角的問(wèn)題。由于題目本身就帶有余弦定理的部分公式，因此，利用化歸思想，消除掉多余的部分，利用余弦定理公式可以進(jìn)行證明。其解題步驟如下：

（a2-b2-c2）tanA+（a2-b2+c2）tanB=-2bccosA·tanA+2accosB·tanB

對(duì)上述等式進(jìn)行推導(dǎo)，可以得出結(jié)論：（a2-b2-c2）tanA+（a2-b2+c2）tanB=0。

（五） 數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)與形是一件事物的兩個(gè)方面屬性，也是數(shù)學(xué)中最基本的研究對(duì)象。在一定條件的限制下，數(shù)與形之間是可以進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化的。在高中階段，已經(jīng)對(duì)數(shù)與形有了較為透徹的研究，通過(guò)將二者相互融合，取長(zhǎng)補(bǔ)短，發(fā)揮出各自的優(yōu)勢(shì)，優(yōu)化數(shù)學(xué)解題路徑，這也就體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的基本理念。

五、 結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)是一門具有較高的難度和抽象性的學(xué)科，其知識(shí)體系較為復(fù)雜，并且一個(gè)問(wèn)題往往涉及多方面的知識(shí)，是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。在數(shù)學(xué)中，許多難題都無(wú)法通過(guò)常規(guī)的計(jì)算方法解決，這也就為化歸思想提供了廣泛的應(yīng)用范圍。三角函數(shù)的學(xué)習(xí)主要有以下幾方面的難點(diǎn)，首先，許多學(xué)生的學(xué)習(xí)觀念不正確，對(duì)于三角函數(shù)的重視程度不足。其次，三角函數(shù)所涉及的內(nèi)容和公式眾多，學(xué)生普遍存在著綜合能力不足的問(wèn)題。再次，許多學(xué)生的學(xué)習(xí)方法不對(duì)，學(xué)習(xí)效率較低。接下來(lái)，許多學(xué)生的解題方法過(guò)于復(fù)雜，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。最后，部分學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)掌握不扎實(shí)，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的問(wèn)題。而利用化歸思想，可以有效的解決上述出現(xiàn)的集中問(wèn)題，具有重要的意義。

參考文獻(xiàn)：

[1]蘇芳，覃學(xué)文.在“數(shù)學(xué)分析”中滲透數(shù)學(xué)思想的教學(xué)意義——化歸與轉(zhuǎn)化思想[J].梧州學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，22（02）：101-104.

[2]馬艷，馬貴.化歸思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用——以解方程為例[J].北京教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，7（03）：1-4.

[3]王燕榮，韓龍淑，屈俊.基于啟發(fā)式教學(xué)的數(shù)學(xué)思想教學(xué)設(shè)計(jì)——以“化歸思想”為例[J].教學(xué)與管理，2015，（01）：57-59.

[4]熊開(kāi)明.關(guān)于應(yīng)用冪級(jí)數(shù)定義正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的教學(xué)研究[J].瀘州職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，（02）：19-21.

[5]邵陳標(biāo).凸現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法提升“空間與圖形”的教學(xué)價(jià)值——以“平面圖形面積”的教學(xué)為例[J].中小學(xué)教師培訓(xùn)，2011，（08）：48-51.

作者簡(jiǎn)介：

王辰飛，河北省石家莊市，石家莊市第15中學(xué)。endprint