孫鴻雁 耿鳳杰 王翠香

摘 要： 積分學(xué)是《高等數(shù)學(xué)》課程的主要組成部分之一，也是難點(diǎn)之一。首先，分析積分學(xué)出現(xiàn)的背景問(wèn)題，指導(dǎo)學(xué)生從本質(zhì)上理解積分的定義;其次，解析兩類積分計(jì)算公式的推導(dǎo)，指導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)公式;最后，分析具體例子，指導(dǎo)學(xué)生選取正確的微元。通過(guò)上述三個(gè)方面，引導(dǎo)學(xué)生站在發(fā)現(xiàn)者的角度探索數(shù)學(xué)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，真正理解和內(nèi)化數(shù)學(xué)思想方法。

關(guān)鍵詞： 微元;積分;近似

一、 引言

微積分學(xué)是十七世紀(jì)數(shù)學(xué)中的一個(gè)最偉大創(chuàng)造（參看文獻(xiàn)），它是分析學(xué)的理論基石，也是公共基礎(chǔ)課《高等數(shù)學(xué)》的核心內(nèi)容之一，在幾何學(xué)、物理學(xué)和實(shí)際問(wèn)題中都有廣泛運(yùn)用。本文討論其中的積分學(xué)部分，高等數(shù)學(xué)中的積分學(xué)包括：定積分、重積分、曲線積分、曲面積分四部分，內(nèi)容繁多，既是該課程的重點(diǎn)之一，也是難點(diǎn)之一。很多學(xué)生在學(xué)習(xí)中由于忽視對(duì)積分本質(zhì)的理解，往往被困于繁瑣的公式中，計(jì)算容易出錯(cuò)，還不會(huì)應(yīng)用，學(xué)習(xí)效率低下。

數(shù)學(xué)教育的根本目的是教學(xué)生學(xué)會(huì)思考，“授之以魚，不如授之以漁”。近年來(lái)，教育工作者越來(lái)越重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性。主張學(xué)生是教學(xué)活動(dòng)的認(rèn)知主體，教師由傳統(tǒng)知識(shí)的知識(shí)傳授者轉(zhuǎn)化為學(xué)生知識(shí)建構(gòu)的協(xié)助者和促進(jìn)者，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索，協(xié)助構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。利用博弈論的方法分析高等數(shù)學(xué)教學(xué)中師生合作的可能，本文也是對(duì)傳統(tǒng)課堂的改革，突出學(xué)生的主體地位。

本文以積分學(xué)為載體，探討作為學(xué)習(xí)活動(dòng)的主體，學(xué)生該如何發(fā)現(xiàn)知識(shí)。首先，從積分的本質(zhì)出發(fā)，梳理積分定義的四個(gè)步驟，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)各類積分的背景提出相應(yīng)積分的定義。只有真正理解了積分的涵義，才能做到靈活運(yùn)用其解決實(shí)際問(wèn)題。其次，我們指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“以直代曲”“以不變代變”的近似思想，自行推導(dǎo)計(jì)算積分公式;然后，分析做近似時(shí)的難點(diǎn)并提出解決方法。本文以學(xué)生熟悉的內(nèi)容為平臺(tái)，引導(dǎo)學(xué)生從發(fā)現(xiàn)者的角度理解數(shù)學(xué)。真正理解了的東西才能做到靈活運(yùn)用。

二、 發(fā)現(xiàn)之旅

（一） 從積分本質(zhì)出發(fā)理解各類積分的定義

下面以求密度不均勻曲線構(gòu)建的質(zhì)量問(wèn)題為例理解積分的定義。既然曲線密度不均勻，那么我們就無(wú)法直接采用密度乘長(zhǎng)度的方法求質(zhì)量，但可以考慮做近似，然而直接把整個(gè)曲線構(gòu)建近似看作密度均勻的構(gòu)建，會(huì)有誤差，于是考慮先將構(gòu)建分割，對(duì)每段的質(zhì)量求近似，從而得整個(gè)構(gòu)建質(zhì)量的近似。直觀上，分割越細(xì)，近似值越接近于精確值;那么直至不可分時(shí)，所得值便是曲線構(gòu)建質(zhì)量的真實(shí)值。根據(jù)這一分析總結(jié)求曲線構(gòu)建的質(zhì)量的過(guò)程即是：

1. 分割曲線構(gòu)建;

2. 任取該部分上某一點(diǎn)處的密度近似作為該部分的密度，然后乘該部分的弧長(zhǎng)，得小弧段質(zhì)量的近似值;

3. 各部分近似質(zhì)量求和，得曲線構(gòu)建的近似質(zhì)量;

4. 令分割細(xì)度（即分割后小弧段長(zhǎng)度的最大值）收斂到零，取第3步所得和式的極限，若存在，它就是曲線構(gòu)建的精確質(zhì)量。最后，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫該問(wèn)題，曲線構(gòu)建即是一條曲線，密度即是定義在包含該曲線的平面區(qū)域上的二元函數(shù)，通過(guò)分割、取點(diǎn)（近似）、求和的方式得到積分和，該和式極限若存在，它就是第一類曲線積分。

簡(jiǎn)言之，第一類曲線積分的定義可概括為如下四詞：有限分割、近似、求和、求極限。事實(shí)上，每種積分的定義都由這四個(gè)詞對(duì)應(yīng)的四步構(gòu)成，本質(zhì)是相同的。理解積分的本質(zhì)，不僅有助于理解各類積分，還能幫助人們從容面對(duì)各式各樣的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。

（二） 推導(dǎo)積分計(jì)算公式

有了各類積分的定義后（或者把一個(gè)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求積分的問(wèn)題后），接下來(lái)人們關(guān)心其計(jì)算問(wèn)題。在計(jì)算中，學(xué)生之所以會(huì)出錯(cuò)，是因?yàn)闆](méi)有真正理解符號(hào)的含義，套公式時(shí)出錯(cuò)。為解決這一問(wèn)題，建議學(xué)生通過(guò)自行探索的方式，理解公式，然后運(yùn)用。下面，我們通過(guò)分析學(xué)生出現(xiàn)問(wèn)題比較多的兩類計(jì)算，指導(dǎo)學(xué)生如何推導(dǎo)公式。

第一個(gè)問(wèn)題是關(guān)于第一類曲線積分的計(jì)算，設(shè)L是平面上的一條光滑曲線，f（x，y）是定義在L上的連續(xù)函數(shù)，求∫ Lf（x，y） d s。為計(jì)算之，首先需要轉(zhuǎn)化 d s，回顧其含義，它表示弧長(zhǎng)微元，即有限細(xì)分后小弧段 Δ s長(zhǎng)度的合理近似。（注怎樣取近似才算合理？這是一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題，我們將在第四部分舉例說(shuō)明。合理近似的原則是近似值和真實(shí)值之間的誤差是分割細(xì)度的高階無(wú)窮小量，因?yàn)榇藭r(shí)誤差部分對(duì)應(yīng)的和式極限為零，該誤差不會(huì)影響積分和的極限，從而得到真實(shí)的極限，求得積分。）如何求弧長(zhǎng)微元？有些同學(xué)可能還記得在定積分應(yīng)用部分（可參看文獻(xiàn)），我們推導(dǎo)過(guò)其計(jì)算公式。此處，通過(guò)溫習(xí)這一推導(dǎo)過(guò)程指導(dǎo)學(xué)生遇到問(wèn)題時(shí)學(xué)會(huì)分析解決問(wèn)題，無(wú)需總是試圖去回憶公式。

熟知的與求弧長(zhǎng)有關(guān)的知識(shí)是線段長(zhǎng)度的求法。于是采用“以直代曲”的思想做近似。首先，連接該弧段的端點(diǎn)，將小弧近似看作線段，易知其長(zhǎng)度為 （ Δ x） 2+（ Δ y） 2 ，而其中的 Δ y的精確值也無(wú)從得知。但學(xué)過(guò)一元函數(shù)微分，我們知道當(dāng) Δ x很小時(shí)，可以用 d y近似代替 Δ y，于是得 Δ s約等于 （ d x） 2+（ d y） 2 ，此即為欲求的弧長(zhǎng)微元?d s。最后根據(jù)曲線的具體表達(dá)形式（直角坐標(biāo)形式，參數(shù)方程形式，極坐標(biāo)形式），把x，y， d x， d y代入到積分表達(dá)式中，同時(shí)，將積分曲線L改為曲線表達(dá)式中參數(shù)的取值區(qū)間。最終，將第一類曲線積分轉(zhuǎn)化成了定積分。

第二個(gè)問(wèn)題是計(jì)算第二類曲面積分，設(shè)∑是有向光滑曲面，求 ?∑ R（x，y，z） d x d y。首先理解其中每一個(gè)符號(hào)的含義，回到應(yīng)用背景，積分元素R（x，y，z） d x d y表示單位時(shí)間內(nèi)密度為1的流體以速度（0，0，R（x，y，z））流經(jīng)有向曲面上小曲面?d s在平面xOy上投影區(qū)域（該區(qū)域的方向和 d s的方向保持一致）的流量。首先，將積分曲面Σ表達(dá)成x，y的函數(shù)，即寫成z=z（x，y）的形式。（注不能寫成一個(gè)函數(shù)時(shí)，可分塊，寫成多個(gè)函數(shù)。）令γ表示曲面Σ在（x，y，z）處與z軸正向的夾角， d σ表示曲面 d s在xOy面上投影區(qū)域的面積大小，則流量大小等于|R（x，y，z）| d σ。流量符號(hào)取決于流體流向和區(qū)域方向的夾角。當(dāng)夾角為銳角時(shí)，流量為正;當(dāng)夾角為鈍角時(shí)，流量為負(fù)。注意到流體方向（0，0，R（x，y，z））平行于z軸。由此可得，流量符號(hào)為 sgn （ cos （γ）·R（x，y，z））。于是R（x，y，z） d x d y等于 sgn（cos （γ））·R（x，y，z） d σ。最后，用D表示Σ在xOy面上的投影，累積可得，曲面積分 ?Σ R（x，y，z） d x d y等于二重積分 ?D? sgn（cos （γ））·R（x，y，z） d σ。

積分中的每個(gè)符號(hào)都有其含義，理解之，刻畫之，最后轉(zhuǎn)化成定積分或者重積分都是順理成章的。積分計(jì)算部分公式繁多，切忌生搬硬套。自行推導(dǎo)幾遍后，看似復(fù)雜的公式也都生動(dòng)起來(lái)，每個(gè)符號(hào)都有其直觀含義，根據(jù)理解寫出公式，遠(yuǎn)比硬性記憶可靠得多。

（三） 選取微元的技巧

通過(guò)上述問(wèn)題的分析，我們注意到計(jì)算積分時(shí)最關(guān)鍵的部分是求微元。下面來(lái)討論求微元時(shí)易出現(xiàn)的問(wèn)題。求微元時(shí)，通常采用“以直代曲”、“以不變代變”的近似方法，近似的原則是：使得近似值和真實(shí)值之間至多相差分割細(xì)度的一個(gè)高階無(wú)窮小量。然而，在實(shí)際操作時(shí)我們根本無(wú)從驗(yàn)證這一點(diǎn)，因?yàn)檎鎸?shí)值不得而知。所以在選取微元時(shí)，大多是憑直觀。那么，具體操作起來(lái)可能會(huì)有多種可選的近似方式，但哪一種是對(duì)的呢？下面將通過(guò)分析具體的例子，為選取正確的微元提供思路。

問(wèn)題：求曲線y=f（x），x∈[a，b]繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積和側(cè)面積（可參看文獻(xiàn)[4，5]）。如果函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上是直線段，那么該旋轉(zhuǎn)體就是圓柱、圓錐或者圓臺(tái)，求這種立體的體積和側(cè)面積已有現(xiàn)成公式。如果f（x）不是直線段，那么該幾何體就是不規(guī)則圖形，我們采用微元法計(jì)算其體積和側(cè)面積。首先，將區(qū)間[a，b]劃分成若干小區(qū)間，選取其中小區(qū)間[x，x+ d x]對(duì)應(yīng)的小立體。此問(wèn)題中的體積（或者側(cè)面積）微元即是該小立體體積（或者側(cè)面積）的近似值。我們采用“以直代曲”的思想，將其近似看作規(guī)則圖形，求其體積（或者側(cè)面積）的近似值。在近似選取上有人會(huì)將其近似看作圓柱體，有人會(huì)近似為圓臺(tái)（參看文獻(xiàn)[5]）。

首先，將該小立體近似看作是一個(gè)以f（x）為截面半徑， d x為高的圓柱。那么，體積微元 d V= π f 2（x） d x，在區(qū)間[a，b]上累積可得立體的體積V=∫? b? a π f 2（x） d x;側(cè)面積微元為 d S=2 π f（x）dx，在區(qū)間[a，b]上累積可得立體的側(cè)面積

d S=2 π ∫? b? af（x） d x。

另一方面，將該小立體近似看作是一個(gè)分別以f（x）和f（x+ d x）為底面半徑， d x為高的圓臺(tái)，由圓臺(tái)的體積公式可得，此圓臺(tái)體積為

1 3? π （f 2（x）+f（x）f（x+ d x）+f 2（x+ d x）） d x，其中f（x+ d x）仍未知，注意到 d x為無(wú)窮小量，并且上式中有一個(gè)因子為 d x，于是可用f（x）近似代替f（x+ d x），整理可得體積微元 d V= π f 2（x） d x，與第一種方法所得結(jié)果相同。由圓臺(tái)的側(cè)面積公式可得，此圓臺(tái)側(cè)面積為 π （f（x）+f（x+ d x）） d l，其中 d l為圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，即是點(diǎn)（x，f（x））到點(diǎn)（x+ d x，f（x+ d x））的距離。由本文第三部分的分析知，可用

（ d x） 2+（ d y） 2 = 1+（f′（x）） 2? d x作為 d l的近似。由于 d l的近似中包含了因子 d x，所以可用f（x）近似代替f（x+ d x）。于是側(cè)面積微元 d S=2 π f（x） 1+（f′（x）） 2? d x，在區(qū)間[a，b]上累積，得側(cè)面積S=2 π ∫ ?b? af（x） 1+（f′（x）） 2? d x，與第一種方法所得結(jié)論不同，兩者必有一處是錯(cuò)誤的。

在教學(xué)中，為了指引學(xué)生選擇正確的微元，我們采用特例驗(yàn)證的方式?？紤]線段y=x，x∈[0，1]繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的立體的體積和側(cè)面積。該立體是一個(gè)底面半徑為1，高為1的圓錐，由圓錐的側(cè)面積公式，知其側(cè)面積為 2? π 。下面用上述兩種方法得到的公式進(jìn)行計(jì)算。如果采用第一種近似方式，可得側(cè)面積為2 π ∫? 1? 0x d x= π ;如果采用第二種近似方式，可得側(cè)面積為

2 π ∫? 1? 0x 1+1? d x= 2? π 。讀者也可以自行驗(yàn)證用上述所得積分計(jì)算此圓錐體積也是正確的。至此，我們得出計(jì)算體積微元時(shí)兩種近似方式都可以，計(jì)算側(cè)面積微元時(shí)，只能選擇第二種近似方式。

可用積分解決的實(shí)際問(wèn)題種類繁多，難點(diǎn)在于求微元。而在做近似時(shí)，我們通常憑直覺，這種做法必然帶來(lái)爭(zhēng)議，當(dāng)有多種近似方式看上去都合理時(shí)，不妨取一個(gè)已經(jīng)解決了的特例，用之幫助人們正確選擇近似的方式，從而得到正確的微元。

三、 結(jié)語(yǔ)

《高等數(shù)學(xué)》課程知識(shí)點(diǎn)多，較為抽象。很多同學(xué)總想繞過(guò)那些縝密嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)，生搬硬套，領(lǐng)會(huì)不到數(shù)學(xué)方法的精髓。事實(shí)上，數(shù)學(xué)的美就在于其嚴(yán)密性和邏輯性，試圖站在發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的角度，從每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的背景出發(fā)，跟隨教材的內(nèi)容，自行探索問(wèn)題的解決辦法。這樣下來(lái)每一個(gè)定義，每一個(gè)定理都是順理成章的，也不再晦澀難懂，整個(gè)課程也不再是零零散散的定理公式，而是一棵枝繁葉茂的大樹。

參考文獻(xiàn)：

[1]Morris，Kline著，張理京，張錦炎，江澤涵等譯.古今數(shù)學(xué)思想[M].上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2009.

[2]余時(shí)偉，宋莉.建構(gòu)主義下微積分教師的教學(xué)策略[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2017，33（191）：52-55.

[3]楊水濤.高校高等數(shù)學(xué)教與學(xué)的博弈[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2017，33（190）：60-65.

[4]褚寶增，陳兆斗.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2013.

[5]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].第四版，北京：高等教育出版社，2010.