曾主燕

【摘要】“數(shù)學(xué)思想”正式作為《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》的基本目標(biāo)之一，被廣大數(shù)學(xué)教育工作者所關(guān)注。但數(shù)學(xué)課程所蘊(yùn)含的的數(shù)學(xué)思想有哪些？哪些數(shù)學(xué)思想更適合在小學(xué)階段的學(xué)習(xí)？在課堂教學(xué)上如何向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)并發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維？這些問題都是我們必須了解、認(rèn)識與解決的，并且具有一定的研究價值。本文將以具體的實(shí)例（北師大版五年級上冊《分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識》），就以上問題進(jìn)行一一闡述。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想 滲透 發(fā)展 數(shù)學(xué)思維

【中圖分類號】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）35-0115-02

引言

數(shù)學(xué)教育家米山國藏曾說：“學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，在進(jìn)入社會后幾乎沒有什么機(jī)會應(yīng)用，因而這種作為知識的數(shù)學(xué)，通常在走出校門后不到一兩年就忘掉了。然而不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)思想和方法等隨時地發(fā)生作用，使他們受益終身”。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》在“總體目標(biāo)”中明確指出：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)”。這說明“數(shù)學(xué)思想”在《標(biāo)準(zhǔn)》中不僅是課程的一個重要內(nèi)容，也是課程的基本目標(biāo)之一。顧沛教授在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)新課標(biāo)的理念及案例解讀》中也指出“數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心與精髓，是統(tǒng)領(lǐng)課堂教學(xué)的主線”。由此可見，富有思想的課堂是學(xué)生終生學(xué)習(xí)和發(fā)展的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，因此，教師在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維顯得尤為重要。

一、挖掘知識背后的數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)概念、規(guī)律、性質(zhì)、法則、公式等都比較明顯地出現(xiàn)在教材內(nèi)容或教學(xué)用書中，這些都是“有形”的知識，是我們?nèi)庋勰軌蚩吹降?，而?shù)學(xué)思想則是隱藏在這些知識的背后，它是“無形”的知識，需要我們教師將其挖掘出來，使其顯性、明朗、清晰，并能行之有效地滲透到數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中。這就需要我們要在理解課標(biāo)的基礎(chǔ)上，全面、系統(tǒng)地把握教材的編寫意圖，深刻挖掘隱藏在知識背后的數(shù)學(xué)思想。

1. 了解數(shù)學(xué)思想有哪些？

顧教授在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)新課標(biāo)的理念及案例解讀》中明確指出數(shù)學(xué)的基本思想主要可以有一下這四大類：數(shù)學(xué)抽象的思想、數(shù)學(xué)推理的思想、數(shù)學(xué)模型的思想、數(shù)學(xué)審美的思想。

由這些數(shù)學(xué)的基本思想演變、派生、發(fā)展出來的數(shù)學(xué)思想還有很多。例如由“數(shù)學(xué)抽象的思想”派生出來的：分類的思想、集合的思想、“變中有不變”的思想、符號表示的思想、對應(yīng)的思想、有限與無限的思想等等；由“數(shù)學(xué)推理的思想”派生出來的：歸納的思想、演繹的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想、公理化思想、聯(lián)想類比的思想、逐步逼近的思想、運(yùn)籌的思想、代換的思想、特殊與一般的思想等等；由“數(shù)學(xué)模型的思想”派生出來的：簡化的思想、量化的思想、優(yōu)化的思想、方程的思想、函數(shù)的思想、統(tǒng)計(jì)的思想、隨機(jī)的思想等等；由“數(shù)學(xué)審美的思想”派生出來的：簡潔的思想、對稱的思想、統(tǒng)一的思想、和諧的思想、以簡馭繁的思想、“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”的思想等等。

2. 了解小學(xué)階段最為常見的數(shù)學(xué)思想有哪些？

“數(shù)學(xué)思想”眾多，在小學(xué)階段最為常見的數(shù)學(xué)思想主要有數(shù)形結(jié)合思想、符號化思想、分類思想、對應(yīng)思想、歸納思想、演繹思想、類比思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、模型思想、方程思想、代換思想等。其中，“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中尤為突出。

“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中最基本的兩個概念，數(shù)學(xué)家華羅庚先生說“數(shù)無形時不直觀，形無數(shù)時難入微”，這就是數(shù)形結(jié)合思想。因?yàn)樾W(xué)生主要以直觀的形象思維為主，所以“數(shù)形結(jié)合思想”特別適合教師在課堂教學(xué)中去呈現(xiàn)、去滲透，并使其貫穿于整個小學(xué)數(shù)學(xué)知識體系中。例如：在“數(shù)與代數(shù)”中，教師借助小棒圖和計(jì)數(shù)器認(rèn)識100以內(nèi)、1000以內(nèi)和10000以內(nèi)的數(shù)，理解相同數(shù)位上的數(shù)相加減、滿十進(jìn)一和退一作十的道理。在“空間與圖形”中，以數(shù)助形，借助數(shù)的知識利用數(shù)量關(guān)系進(jìn)行長方形、正方形周長、面積計(jì)算、圓的特征、圖形縮放等的研究。在“解決問題”中，借助圖形、線段圖或表格理解兩個數(shù)相差的關(guān)系、幫助找到“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”或“求比一個數(shù)多（少）幾分之幾的數(shù)”的解題策略。在“統(tǒng)計(jì)與概率”中，通過圖形演示進(jìn)行“移多補(bǔ)少”求得平均數(shù)的過程來理解平均數(shù)的意義等。

3. 分析教材，挖掘教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)思想

教材是按照學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和知識發(fā)展系統(tǒng)編排的，數(shù)學(xué)思想則是采用蘊(yùn)涵的方式融于數(shù)學(xué)知識體系當(dāng)中，因此，數(shù)學(xué)思想的教學(xué)是零散、不系統(tǒng)的。這就要求教師在課前要考慮學(xué)生的認(rèn)知水平和教學(xué)內(nèi)容在整個知識體系的地位、作用，分析并挖掘教學(xué)內(nèi)容所隱藏的數(shù)學(xué)思想。

如：分?jǐn)?shù)的認(rèn)識是“數(shù)與代數(shù)”中的一個重要內(nèi)容，而北師大版五年級上冊的《分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識》不是初步認(rèn)識整體“1”，而是對整體“1”的進(jìn)一步認(rèn)識。是讓學(xué)生在具體的情境中，通過操作活動，體驗(yàn)到“整體不同，相同分?jǐn)?shù)所表示的具體數(shù)量也不相同”，進(jìn)而感知分?jǐn)?shù)與其具體數(shù)量之間的對應(yīng)關(guān)系，獲得對分?jǐn)?shù)的“整體”與“部分”理解，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)，運(yùn)用分?jǐn)?shù)知識解決實(shí)際問題打基礎(chǔ)。而在這整個過程中就隱藏了數(shù)形結(jié)合的思想、演繹與歸納的思想、分類的思想、符號表示的思想、對應(yīng)的思想等。

4. 分析學(xué)生，選擇適合在課堂教學(xué)中滲透的數(shù)學(xué)思想

小學(xué)生的思維是以具體形象思維為主要形式，逐步向以抽象邏輯思維為主要形式過渡，但他們的抽象邏輯思維在很大程度上仍是直接與感性經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系的，具有具體形象性。

《分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識》是北師大版五年級的教學(xué)內(nèi)容，五年級的學(xué)生已初步形成了一定的學(xué)習(xí)態(tài)度，隨著主體意識的覺醒，自我意識、自我主張、自我控制能力地進(jìn)一步加強(qiáng)，觀察能力、想象能力、動手操作能力、分析理解能力、求知的欲望等也在進(jìn)一步增強(qiáng)。根據(jù)學(xué)生的這些認(rèn)知特點(diǎn)，結(jié)合教材編排的具體教學(xué)內(nèi)容，確定在教學(xué)《分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識》的過程當(dāng)中，教師可重點(diǎn)選擇 “數(shù)形結(jié)合的思想、演繹與歸納的思想、分類的思想”對學(xué)生進(jìn)行滲透，更好地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

二、制定有效的、富有數(shù)學(xué)思想的教學(xué)案

詳實(shí)、有效的教學(xué)案是教師順利開展課堂教學(xué)的有力保障，教師要在課堂中向?qū)W生滲透相關(guān)的數(shù)學(xué)思想，有意識地培養(yǎng)并發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

下面，我以北師大版五年級上冊的《分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識》一課為例，談一些具體的做法：

1. 在教學(xué)目標(biāo)中，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想

“教學(xué)目標(biāo)”的制定是課堂教學(xué)的前提，是實(shí)施教學(xué)的重要環(huán)節(jié)之一。一節(jié)課的成敗取決于教學(xué)目標(biāo)的確定是否全面、準(zhǔn)確、具體并符合實(shí)際，而在目標(biāo)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想，對于教師是否能在傳授知識的過程對學(xué)生進(jìn)行相關(guān)的數(shù)學(xué)思想的滲透，就起了決定性的作用。因此，我查閱相關(guān)資料了解教材的地位與作用、分析學(xué)情，制定了以下教學(xué)目標(biāo)：

◇ 在具體的情境中，感知“整體”與“部分”的關(guān)系，進(jìn)一步認(rèn)識分?jǐn)?shù)，發(fā)展數(shù)感。

◇ 引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察與實(shí)驗(yàn)、猜想與推理、概括與抽象等一系列具體的活動過程，掌握知識，訓(xùn)練技能，獲得歸納、演繹、數(shù)形結(jié)合、分類等數(shù)學(xué)思想的體驗(yàn)，積累一定的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。

◇ 體會數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的價值，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，培養(yǎng)實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度。

在這個教學(xué)目標(biāo)中，不僅確立了知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度這四個方面的目標(biāo)，也明確了本課應(yīng)向?qū)W生滲透的、學(xué)生應(yīng)該感悟的數(shù)學(xué)思想有哪些，為課堂教學(xué)的實(shí)施起到了指向性的作用。

2. 在教學(xué)過程中，滲透數(shù)學(xué)思想

教學(xué)過程即課堂教學(xué)活動的程序，只有重視教學(xué)過程，把教學(xué)過程設(shè)計(jì)得具體、科學(xué)，學(xué)生才能夠自主學(xué)習(xí)，交流探究出一個知識結(jié)論。這樣，學(xué)生在獲得知識結(jié)論的同時，對數(shù)學(xué)思想的感悟才準(zhǔn)確、深刻，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維才能得以發(fā)展。例如，在解決“由部分還原整體”這一知識點(diǎn)時，我是這樣設(shè)計(jì)的：

◇ 出示題目：一個圖形的 是 ，請擺出這個圖形。

◇ 小組合作，在白板上擺圖形。

◇ 學(xué)生展示作品并解釋。

◇ 逆向思維訓(xùn)練：

一根圓木的是 ， 這根圓木是下面三根中的哪一根？

師：如果選擇第二幅圖，那題目應(yīng)該如何修改？

這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)是已知部分求整體，進(jìn)一步加深學(xué)生對分?jǐn)?shù)中“整體”與“部分”關(guān)系的理解，對學(xué)生進(jìn)行了“逆向思維”訓(xùn)練，滲透了合情推理、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

3. 在練習(xí)反饋中，凸顯數(shù)學(xué)思想

課堂練習(xí)是學(xué)生反饋、調(diào)控教學(xué)過程的實(shí)踐活動，它的目的不僅僅在于幫助學(xué)生鞏固所學(xué)數(shù)學(xué)知識，提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的能力，更應(yīng)能在此過程中有效地滲透相關(guān)的數(shù)學(xué)思想，挖掘?qū)W習(xí)的潛力，成為激發(fā)學(xué)生前進(jìn)的動力。因此，對于本課的練習(xí)，我是這樣設(shè)計(jì)的：

◇ 折一折。折出下面圖形的，它們的大小一樣嗎？

◇ 辯一辯。

教師講述“狐貍分蛋糕”的故事。（如右圖）

思考：這樣分，分得公平嗎？請說明理由。

要求：學(xué)生一邊聽故事，一邊利用正方形紙片

或在練習(xí)本上，折（畫）簡單的示意圖表示分蛋糕的過程。

這兩題的設(shè)計(jì)意圖是學(xué)生通過動手“折一折”和畫簡單的示意圖幫助理解，體驗(yàn)到數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想在解決問題中的價值，再次突出本課的教學(xué)重點(diǎn)。

三、結(jié)語

富有靈魂的數(shù)學(xué)課堂不僅教給學(xué)生知識，而且注重數(shù)學(xué)思想的滲透，學(xué)生只有插上“數(shù)學(xué)思想”的翅膀，分析、解決問題的綜合能力才能大大提高，學(xué)到的才是真正的數(shù)學(xué)，才有可能自由翱翔于——“名師指路，不如自學(xué)自悟”的理想藍(lán)天里。為此，教師在課堂教學(xué)中，既要重視學(xué)生對知識獲得的過程，也要重視學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，適當(dāng)、及時地滲透數(shù)學(xué)思想，全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部指定.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》.北京師范大學(xué)出版社[S].北京.2012.1.

[2]楊豫暉.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）版解讀——小學(xué)數(shù)學(xué)》.教育科學(xué)出版社[S].北京.2012.3.