顧為云

[摘? 要] 數(shù)學(xué)文化題是中考的新題型，問題以古典著作為背景，融合了數(shù)學(xué)知識內(nèi)容和思想方法. 本文以近幾年的中考題為例，分析問題形式，探討解題策略，與讀者交流學(xué)習(xí).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)文化;中考數(shù)學(xué);定理;證明;拓展;應(yīng)用

近幾年的中考中，出現(xiàn)了眾多以數(shù)學(xué)文化內(nèi)容為背景的考題，該類考題具有情感熏陶和知識考查的雙重功能，理解和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化題有助于學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史，深刻理解數(shù)學(xué)的知識內(nèi)容，下面將詳細(xì)解讀中考數(shù)學(xué)中的文化類考題.

對著作問題的解析

在古代數(shù)學(xué)著作中涉及眾多的問題，以著作問題為背景，用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言求解是中考中數(shù)學(xué)文化的典型問題. 該類題一般給出古語問題以及譯文，需要學(xué)生理解問題信息，探尋解題思路，主要考查學(xué)生相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識.

例1? （2018年泰安卷第17題）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最為重要的著作，在“勾股”章節(jié)有這樣一個問題：“今有邑方二百步，各中開門，出東門十五步有木，問：出南門幾步而見木？”

用今天的話翻譯，大意為：如圖1所示，DEFG為一邊長為200步（“步”為古代長度單位）的正方形小城，東門H位于GD的中點，南門K位于ED的中點，出去東門15步遠(yuǎn)的點A處有一樹木，試求出去南門多少步可以恰好看到位于點A處的樹木（即點D位于直線AC上）？請計算KC的長為_______步.

賞析? 本題來源于古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》，屬于平面幾何問題，解題的重點在于結(jié)合幾何圖形理解著作譯文，從中提煉關(guān)鍵條件，然后構(gòu)建解題思路. 本題目涉及三角形相似和相似性質(zhì)等幾何知識，由圖形相似構(gòu)建線段對應(yīng)關(guān)系來完成求解.

對著作問題的模型構(gòu)建

構(gòu)建古代著作問題的研究模型是中考數(shù)學(xué)較為常見的考題，該類題一般給出著作問題的相關(guān)譯文，要求利用現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想建立研究模型，最為典型的問題是利用方程思想，建立解決問題的方程組.

例2? （2018年廣州卷第8題）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有這樣一個問題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等 ，交易其一，金輕十三兩，問金、銀各重幾何？”大致意思是：甲袋子中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相等），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相等），稱重兩袋相等，兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計），問黃金、白銀每枚各重多少兩？如設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，根據(jù)題意可得（）

分析? 由選項可知本題目需要根據(jù)著作的信息條件列出求解方程，即建立問題研究的數(shù)學(xué)模型，屬于二元一次方程實際應(yīng)用題. 解題的具體思路是：依據(jù)方程思想，從題干信息中提煉等量關(guān)系，然后將其用數(shù)字符號表示.

解答? 黃金9枚=白銀11枚，即總質(zhì)量相等，可得9x=11y.

賞析? 本題目同樣來源于數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》，需要依據(jù)問題信息構(gòu)建求解的二元一次方程組. 基本解題策略是理解問題信息，從中提煉等量關(guān)系，將其轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的數(shù)學(xué)語言，并用數(shù)學(xué)符號表示，是方程思想的應(yīng)用.

對著作定理的推導(dǎo)證明

著作定理的推導(dǎo)證明題一般以古代數(shù)學(xué)定理為背景，以完善定理證明過程為出題形式，主要考查學(xué)生解題的思維過程. 解題時首先需要理解定理證明的思維方法和構(gòu)建思路，然后結(jié)合問題信息探求證明條件，幾何定理的證明是其中最為常見的問題.

例3? （2017年北京卷第20題）數(shù)學(xué)家吳文俊院士非常重視我國古代數(shù)學(xué)家賈憲提出的“從長方形對角線上任意一點作它的兩條分別平行于兩鄰邊的直線，則所容兩長方形的面積相等（如圖2所示）”這一推論，他從這一推論出發(fā)，利用“出入相補”原理還原了《海島算經(jīng)》的九題古證. （上述材料來自于《古證復(fù)原的原理》《吳文俊與中國數(shù)學(xué)》和《古代數(shù)學(xué)泰斗劉徽》）

請根據(jù)圖2完成該推論的證明過程.

分析? 本題目要求證明古法定理，是關(guān)于四邊形面積相等的問題，考查的是四邊形面積的計算和圖形分割知識. 由題可知，具體證明思路是：利用割補法，將其分割為幾個小三角形的組合，然后分別證明對應(yīng)小三角形面積相等. 因此證明過程的第一步是對矩形的面積割補，則矩形EBMF面積大小等于△ABC分別減去兩個小的三角形△AEF、△FMC，第二步是分別證明分割所用三角形的面積相等，即△ANF與△AEF的面積相等，△FGC與△FMC的面積相等.

解答? 由矩形的對角線將其分割為對應(yīng)相等的兩個小三角形，可知證明過程為：

賞析? 上述問題來源于吳文俊院士對古定理的還原，是典型的幾何證明題. 證明的總體思路是分割圖形，構(gòu)建圖形的面積關(guān)系，因此在完善證明過程中依據(jù)該策略來建立問題的證明條件，該類問題對學(xué)生的證明思維要求較高.

以著作文化為背景的解題應(yīng)用

古典著作的文化信息同樣在數(shù)學(xué)解題中有著極為廣泛的應(yīng)用，涉及數(shù)學(xué)的定理和思想方法. 以其為背景命制的拓展應(yīng)用題通常給出相關(guān)的定理公式，要求利用定理求解實際問題，解題關(guān)鍵是理解定理，把握定理的適用條件.

應(yīng)用：當(dāng)n=1時，求有一邊長為5的直角三角形的另外兩條邊長.

分析? 題目給出了勾股數(shù)通解公式，求解n=1時一邊長為5的直角三角形的其他邊長，可以用m，n構(gòu)建邊長的表達(dá)式，然后從中選取符合題意的情形.

賞析? 以數(shù)學(xué)文化為背景的拓展應(yīng)用題具有較強的實用性，是對數(shù)學(xué)“學(xué)以致用”理念的貫徹. 上述以勾股數(shù)為背景，給出了相應(yīng)的勾股數(shù)通式，以問題解決的形式考查學(xué)生知識的理解與應(yīng)用能力，由于定理的條件限制，使得問題呈現(xiàn)多解情形，因此對學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)思維具有較高的要求.

綜上可知，數(shù)學(xué)文化題結(jié)合了文化信息與數(shù)學(xué)知識，是對數(shù)學(xué)教材的一種補充與拓展，學(xué)習(xí)求解數(shù)學(xué)文化題需要借助考題的導(dǎo)向作用，關(guān)注數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，了解與教材內(nèi)容相關(guān)的文化題材，尤其是教材中的定義與概念，需要結(jié)合其文化背景來加以理解. 以強化閱讀能力為基礎(chǔ)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)文化思維是提升該類問題求解能力的關(guān)鍵.