張小青

[摘? 要] 中考中的一些復(fù)合問題與教材內(nèi)容存在極大的關(guān)聯(lián)，其命題素材來源于教材習題，所以對習題的解題策略進行整合，有助于復(fù)合問題的求解. 同時，可以依據(jù)教材習題策略對綜合問題進行轉(zhuǎn)化. 本文以一道中考幾何函數(shù)綜合題為例，詳細講解銜接習題求解綜合題的策略，與讀者交流、學習.

[關(guān)鍵詞] 幾何;函數(shù);綜合;圖像;提煉;習題

考題呈現(xiàn)

（2017年江蘇蘇州中考）學校機器人興趣小組在圖1所示的矩形場地上開展機器人操作訓練. 已知機器人將從場地的A點出發(fā)，在矩形ABCD的四條邊上沿著A→B→C→D勻速運動，當機器人到達點D時停止運動. 機器人在運動過程中的速度為每秒1個單位長度，且每當機器人運動至矩形的拐角處都需要1 s的調(diào)整時間（在矩形的點B，C拐角處分別需用1 s），設(shè)機器人運動過程中的用時為t（s），運動過程中的位置為P，P到矩形的對角線BD的距離（垂線段PQ的長）為d個單位長度，圖2為其運動過程中d關(guān)于運動時間的函數(shù)圖像.

（1）試求矩形的邊AB，BC的長.

（2）圖2曲線上的點M，N分別在線段EF，GH上，已知MN平行于坐標系的橫軸，設(shè)點M，N的橫坐標分別為t₁，t₂，機器人到達P₁處用時為t₁（s），到達P₂處用時為t₂（s）. 如果CP₁+CP₂=7，試求t1和t2的數(shù)值.

考題剖析

1. 問題本源剖析

本題從出題形式上來看，為幾何材料題，但深度剖析可知問題內(nèi)容主要由幾何圖形和函數(shù)圖像兩部分組成，實質(zhì)上是一道結(jié)合了函數(shù)圖像的動態(tài)幾何問題，函數(shù)圖像是對幾何運動軌跡的描述. 求解時需要結(jié)合函數(shù)曲線來深入分析點的運動，然后利用幾何性質(zhì)來求解.

從問題拆分的角度來看，可以將問題內(nèi)容分為基本的幾何圖形和函數(shù)圖像兩個部分. 銜接教材習題，可以發(fā)現(xiàn)問題的命制來源于蘇科版數(shù)學教材中的幾何問題和函數(shù)問題.

幾何問題：如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，AD⊥BC，垂足為點D，求AD和BD的長.

原問題雖為矩形內(nèi)點的運動，但從局部來看依然是一個直角三角形，問題的研究依然需要借助直角三角形的相關(guān)性質(zhì)，其中的垂線段PQ在某些特殊時刻可以看作習題中△ABC斜邊上的高AD，求解時需要利用勾股定理建立相關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系，這是基于問題幾何模型的分析.

函數(shù)問題：圖4的圖像是小紅離家后的距離圖像，若x表示時間，y表示離家的距離，試說明曲線的實際變化意義.

原問題給出了d關(guān)于時間t的圖像，這實際上是一次函數(shù)圖像解決實際問題的應(yīng)用. 根據(jù)點的具體坐標我們完全可以求解出相關(guān)一次函數(shù)的解析式. 當然，也可以從一次函數(shù)的斜率變化情況直接分析線段的長度變化，如圖2中EF段所代表的一次函數(shù)的斜率為正，則d的長度是增大的過程，分析時就需要對應(yīng)幾何動點d增大的軌跡，而FG是一條平行于坐標橫軸的直線，所表示的含義為此時間段內(nèi)d的長度沒有變化，而GH段所代表的一次函數(shù)的斜率為負，則表示在該時間段內(nèi)d的長度在減小，其同樣需要對應(yīng)幾何上的相關(guān)軌跡.

2. 問題解法剖析

本題有兩個小問，第（1）問求的是矩形ABCD中相鄰兩邊的長;第（2）問是求解函數(shù)曲線上的對應(yīng)點的時間值. 解題時單純地依靠幾何性質(zhì)來求解是不能獲得解題思路的，需要從運動角度結(jié)合函數(shù)圖像來分析幾何圖形，再利用幾何圖形的性質(zhì)來求解.

上述求解過程是基于對問題本源的探索，即問題是基本幾何和函數(shù)圖像相結(jié)合的綜合題，從而實現(xiàn)了動點的定量和定性描述. 幾何圖形是對動點的軌跡描述，而函數(shù)曲線建立了時間與垂線段距離之間的關(guān)系. 兩個問題分別從幾何和函數(shù)兩個方面進行了設(shè)問，對問題的分析也就需要充分結(jié)合代數(shù)與幾何知識. 上述第（2）問的兩種解法，解法1是利用幾何中的三角形相似性質(zhì)來求邊長，然后求時間;解法2則是直接針對函數(shù)圖像求解解析式，進而確定點的坐標，根據(jù)點的坐標來求時間，它們雖然解法思路不同，但從求解的本質(zhì)上來看，依然是幾何與代數(shù)的有效結(jié)合，是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

解后思考

1. 深度剖析問題，銜接習題探究

上述題目為幾何與函數(shù)的綜合題，其中涉及基本的幾何圖形和函數(shù)的圖像，利用點的運動將兩者有機結(jié)合起來，建立了問題研究的模型，因此可以將其拆分為教材中常見的兩個模型，一是矩形上的垂線段模型，二是函數(shù)中長度與時間的曲線模型. 解題時也就需要認真回顧教材模型的研究策略，如矩形的研究可以利用三角形全等、三角形相似，以及勾股定理，而函數(shù)的研究需要結(jié)合函數(shù)的變化趨勢、特殊點的坐標等. 另外，教材“一次函數(shù)的解決實際問題”章節(jié)中給出了一次函數(shù)與實際問題的解題策略，即理解函數(shù)曲線及變化所代表的實際意義. 這些模型的研究策略對于本題的分析求解有著極為重要的啟示作用，因此在平時的學習中，我們要特別注重對教材習題模型的研究策略總結(jié)，以用于考題的分析和研究.

2. 全面整合內(nèi)容，分離提煉問題

本題是一道綜合題，涉及眾多幾何與圖形領(lǐng)域的基本知識，如垂線、平行線、三角形的性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)和判定等，同時涉及函數(shù)領(lǐng)域中一次函數(shù)的圖像，兩大知識領(lǐng)域是通過動點進行綜合的. 而實現(xiàn)問題的求解首先需要充分掌握圖形的這些性質(zhì)特征，并能基于知識聯(lián)系性對其進行融合，建立起完整的知識體系. 然后是掌握圖形的分離策略，能夠從復(fù)雜圖形中基于特定條件分離出基本的圖形，或合理地構(gòu)建基本圖形，尤其是動態(tài)幾何問題，需要化動為靜，分離圖形. 圖形分離的過程需要具備較強的觀察能力，該能力的培養(yǎng)可以采用對比分析問題的方式，即把具有類同性的幾個問題整合在一起，通過對問題的基本形式和轉(zhuǎn)化條件進行分析，逐步提升自己的數(shù)學核心能力.

3. 多角度分析問題，提升思想素養(yǎng)

數(shù)學中的綜合題不僅僅是知識內(nèi)容的多重整合，其中也涉及眾多的構(gòu)建思路，即問題知識內(nèi)容的融合方式，所以從不同的角度分析問題，必然能獲得不同的解題信息. 如本題是幾何與函數(shù)的綜合題，從幾何角度分析就是幾何的動點問題，點運動到圖形上的不同位置，必然可以構(gòu)建不同的模型，如本題第（2）問分別從幾何、函數(shù)角度進行問題分析，幾何角度構(gòu)建的是關(guān)于圖形線段長度的關(guān)系式，而函數(shù)角度構(gòu)建的是代數(shù)方程，解題的思路不同，使用的指導思想也不相同，構(gòu)造思想和方程思想是其中的思想方法. 思想方法是指導解題思路構(gòu)建的靈魂所在，是實現(xiàn)問題轉(zhuǎn)化的思想基礎(chǔ)，因此，在數(shù)學學習中領(lǐng)悟思想方法，促進思想的內(nèi)化，是學習的關(guān)鍵.

總結(jié)

幾何、函數(shù)綜合題是數(shù)學幾何內(nèi)容與函數(shù)知識的有機結(jié)合，其求解策略同樣也是兩者的綜合. 從不同的角度對問題進行思考，在不同的指導思想下可以構(gòu)建不同的解題思路，獲得不同的研究模型. 強化幾何綜合題的解題策略，不僅需要深度剖析問題本質(zhì)，還需要全面整合幾何與代數(shù)的知識內(nèi)容，掌握復(fù)合問題的分離方法，提升數(shù)學素養(yǎng).