程曉紅

【摘要】本文研究了邊角互化問(wèn)題中的如何選擇統(tǒng)一化為邊或角的問(wèn)題.本文通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單例題進(jìn)行分析歸納總結(jié)出邊角互化問(wèn)題的方法：首先判斷題目中的信息是否包含兩個(gè)及兩個(gè)以上的平方項(xiàng)（其中形如a2，sin2A，asinA均屬平方項(xiàng)），若包含兩個(gè)及兩個(gè)以上平方項(xiàng)將題目中的信息統(tǒng)一化為邊，否則將題目中的信息統(tǒng)一化為角.并利用例題驗(yàn)證了結(jié)論的可行性.

【關(guān)鍵詞】正弦定理;余弦定理;解三角形;邊角互化

解三角形是高考的必考和重點(diǎn)考查內(nèi)容，并逐漸成為三角函數(shù)部分的核心考點(diǎn).其中，主要題型包括三類：一是求三角形的邊或角;二是三角形形狀的判定;三是最值問(wèn)題.解決這類問(wèn)題，一般都是統(tǒng)一化為邊或統(tǒng)一化為角，那么怎樣確定化為邊還是化為角呢？這就是本文所要探討的問(wèn)題.

一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

（一）正弦定理

asinA=bsinB=csinC=2R（2R為△ABC的外接圓直徑）.

（二）余弦定理

c2=a2+b2-2abcosC（已知兩邊a，b及夾角C求第三邊c）.

cosC=a2+b2-c22ab（已知三邊求角）.

二、探究規(guī)律方法

類型一：轉(zhuǎn)為邊

例1 在△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a2-b2=3bc，sinC=23sinB，求角A的大小.

解 ∵sinC=23sinB，由正弦定理可得c=23b.

又∵a2-b2=3bc，由余弦定理可得

cosA=b2+c2-a22bc=-3bc+c22bc=-3b+23b2b=32，

∴A=π6.

例2 在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的長(zhǎng)分別為a，b，c，若sin2A+sin2B<sin2C，則△ABC的形狀是_______.

解 ∵sin2A+sin2B<sin2C，

由正弦定理可得a2+b2<c2，

由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab<0，

∴△ABC為鈍角三角形.

例3 在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的長(zhǎng)分別為a，b，c，若a2+b2=2c2，求cosC的最小值.

解 cosC=a2+b2-c22ab=c22ab.又∵2ab≤a2+b2=2c2，

∴cosC=c22ab≥c22c2=12，∴（cosC）min=12.

觀察以上三個(gè)例題，包含解三角形中的三類題型：求角或邊;判斷三角形形狀;最值問(wèn)題.分析以上三個(gè)例題，可以看到在題目所給出的條件中，均含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的平方項(xiàng)，而在解題的過(guò)程中，均為利用正、余弦定理將題目中的信息統(tǒng)一化為邊并利用余弦定理求解.

類型二：轉(zhuǎn)為角

例4 在△ABC中，bcosA+acosB=2ccosC，求角C的值.

解 ∵bcosA+acosB=2ccosC，

由正弦定理可得sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosC，

∴sin（A+B）=sin2C，

∴A+B=2C或A+B+2C=180°（舍去），∴C=π3.

例5 設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的長(zhǎng)分別為a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，判斷△ABC的形狀.

解 由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，

∴sin（B+C）=sinAsinA，∴sinA=sinAsinA，

∴A=π2，∴△ABC的形狀為直角三角形.

觀察例4、例5兩個(gè)例題，包含兩類問(wèn)題判斷三角形問(wèn)題以及三角化簡(jiǎn)問(wèn)題.分析這兩個(gè)例題，可以看到在題目所給出的條件中，并沒(méi)有含兩個(gè)或兩個(gè)以上的平方項(xiàng)，而在解題的過(guò)程中，均為利用正、余弦定理將題目中的信息統(tǒng)一化為角并利用三角函數(shù)求解.

三、規(guī)律方法總結(jié)及應(yīng)用

根據(jù)以上分析，將邊角轉(zhuǎn)化方法總結(jié)如下：

判斷題目中的信息是否包含兩個(gè)及兩個(gè)以上的平方項(xiàng)（其中形如a2，sin2A，asinA均屬平方項(xiàng)）否

將題目中的邊利用正弦定理統(tǒng)一化為正弦（角）

是

將題目中的正弦利用正弦定理統(tǒng)一化為邊

利用三角函數(shù)求解

利用余弦定理求解

這類方法適用于大部分邊角互化問(wèn)題中，而在較為復(fù)雜的三角互化問(wèn)題中更能體現(xiàn)它的優(yōu)勢(shì)，而在具體問(wèn)題中可以多次使用此方法，使每一步清晰明了，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

例6 設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的長(zhǎng)分別為a，b，c，若（a2+b2）sin（A-B）=（a2+b2）sin（A+B），判斷三角形形狀.

解析 ∵（a2+b2）sin（A-B）=（a2+b2）sin（A+B），

∴a2[sin（A-B）-sin（A+B）]=b2[-sin（A-B）-sin（A+B）]，

∴2a2sinBcosA=2b2sinAcosB（等式中存在兩個(gè)平方項(xiàng)，正弦化為邊），

∴2a2bcosA=2b2acosB，

∴acosA=bcosB（等式中不存在平方項(xiàng)，邊化為正弦），

∴sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，

∴A=B或2A+2B=π，∴A=B或A+B=π2，

∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.