高飛飛+劉雙雙

摘 要：談到數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法以及數(shù)學(xué)思想方法，這三個名詞其實(shí)我們都不能夠給出明確的界定，只能給出一些具體情形之下的區(qū)別，總體來說，數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法之間的聯(lián)系更加密切，甚至是相互交融的。因?yàn)閿?shù)學(xué)思想方法是在數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的過程中逐漸建立起來的，數(shù)學(xué)思想是伴隨著數(shù)學(xué)知識體系的發(fā)展而建立起來的，它是數(shù)學(xué)知識體系的升華。而數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)事實(shí)、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理與數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)認(rèn)識，它的內(nèi)容是隨數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的改變而改變的，是動態(tài)發(fā)展的過程。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；方法的教學(xué)；相互結(jié)合

一、 數(shù)學(xué)思想方法的相關(guān)概述

對于學(xué)生來說，初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)生涯中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的入門階段，無論是基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識還是在這些數(shù)學(xué)知識背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，都是作為現(xiàn)代公民應(yīng)該具備的基本素質(zhì)。著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日月之繁，無處不用數(shù)學(xué)。”馬克思甚至說過，一個國家的科學(xué)水平可以用它的消耗的數(shù)學(xué)來度量?？傊祟惿鐣陌l(fā)展離不開數(shù)學(xué)，這不單純指數(shù)學(xué)知識的具有廣泛的應(yīng)用性，更是指精妙絕倫的數(shù)學(xué)思維和科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法，對解決各類現(xiàn)實(shí)問題都具有非常重要的意義。同其他學(xué)科一樣，數(shù)學(xué)的基本結(jié)構(gòu)包括兩部分，一是數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，二是觀念系統(tǒng)，而數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)又包括數(shù)學(xué)概念、定理、公式、法則，以及它們彼此間的聯(lián)系；而觀念系統(tǒng)則主要指思想方法和思維策略，有機(jī)的蘊(yùn)含在知識概括、法則推導(dǎo)、定理證明等數(shù)學(xué)活動中，它是以數(shù)學(xué)知識為載體的。

二、 舉例說明如何貫徹?cái)?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)

（一） “三有”式滲透和突出介紹有關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法

那么在教學(xué)中應(yīng)該怎樣作才能夠幫助學(xué)生更好的掌握數(shù)學(xué)思想的基本思想方法，從而提高數(shù)學(xué)思維能力呢？教者可以從數(shù)學(xué)思想方法構(gòu)建的三個階段分別加以側(cè)重去設(shè)計(jì)教學(xué)，分別是潛意識階段、明朗和形成階段、深化階段。在每一個教學(xué)環(huán)節(jié)都爭取做到學(xué)生為主，教師為輔，讓學(xué)生成為探究活動的主人，教師成為點(diǎn)撥與引導(dǎo)者。力爭做到“有目的、有計(jì)劃、有步驟”的引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握數(shù)學(xué)思想方法。

在進(jìn)行教學(xué)之前，我們首先要明確學(xué)生在該學(xué)段需要對數(shù)學(xué)思想方法掌握到什么程度，然后從教學(xué)目標(biāo)、課堂提問、問題情境到教法與學(xué)法的選擇進(jìn)行精心設(shè)計(jì)安排，做到“有目的、有計(jì)劃、有步驟”的進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法引導(dǎo)。由于數(shù)學(xué)思想方法不同于數(shù)學(xué)知識，需要在數(shù)學(xué)知識的教學(xué)中反復(fù)的體驗(yàn)和實(shí)踐，最終達(dá)到使得個體逐漸認(rèn)識、理解、并內(nèi)化在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。

（二） 舉例說明化歸思想與初中數(shù)學(xué)教學(xué)的相互結(jié)合

化歸思想就是將面臨的新問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)熟悉的規(guī)范問題，后者具有確定的解法或者有確定的求解程序，這是一種具有普遍適用性的數(shù)學(xué)思想方法。

在我們學(xué)會解一元一次不等式（組）后，比如要解不等式x+22x-1<0，觀察不等號左邊的分式，當(dāng)分子和分母異號時，這個不等式就成立，因此我們可以把解分式不等式轉(zhuǎn)化為解兩個我們熟悉的一元一次不等式組x+2>02x-1<0，或x+2<02x-1>0。這就是化歸。

典例剖析：已知m為實(shí)數(shù)，求分式2mm2+1的取值范圍。

分析1：這個分式的變形比較困難，因此要換一種策略。當(dāng)m=0時，分式的值為0；當(dāng)m≠0時，可以考慮求這個分式的倒數(shù)，倒數(shù)的分母是一個單項(xiàng)式，很容易變形。

以上思考策略是把“求分式2mm2+1的取值范圍”歸結(jié)為求其倒數(shù)的取值范圍，找到新問題和原問題解答的關(guān)系；特別需要注意的是把當(dāng)m<0時求分式的取值范圍的問題，通過令n=-m，化歸為已經(jīng)解決的問題，是很好的化歸思想應(yīng)用。

分析2：由于以上討論的問題比較復(fù)雜，能否有更簡便的方法呢？我們可以把這個分式看成一個整體，用y表示，這樣就形成了一個等式，求y的范圍歸結(jié)為對方程的討論。這種化歸是對方程ym2-2m+y=0有實(shí)數(shù)根的討論，顯然比第一種思路優(yōu)越。

分析3：注意到分式的分子和分母的和恰好等于兩數(shù)和的完全平方展開式，我們還可以嘗試第三種化歸方法。

解：因?yàn)?mm2+1+1=（m+1）2m2+1≥0，所以2mm2+1≥-1（m=-1時取等號）；

因?yàn)?mm2+1-1=-（m-1）2m2+1≤0，所以2mm2+1≤1（m=1時取等號）；

所以-1≤2mm2+1≤1。

反思：以上三種思路的形成，首先需要我們具有敏銳的觀察力，即觀察分式2mm2+1的結(jié)構(gòu)特征，思維具有一定的跳躍性，就是說“直覺”在起作用，但是這種直覺思維不是憑空產(chǎn)生的，而是有賴于經(jīng)驗(yàn)的積累。其次是順利的化歸有賴于我們熟練地掌握方程、不等式的變形以及配方法，特別是運(yùn)用第一種思路解決問題時，自覺地進(jìn)行分類討論，否則化歸也是難以實(shí)現(xiàn)的。

鑒于數(shù)學(xué)思想方法在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要作用，我們作為教師在整個教學(xué)活動中一定要注意恰當(dāng)?shù)臐B透數(shù)學(xué)思想，避免盲目和隨意。而作為初中學(xué)生，也要積極參與課內(nèi)探究討論，無論是數(shù)學(xué)公式的推理、命題與定理的證明，練習(xí)與例題的解答等過程，都不要滿足于結(jié)果的產(chǎn)生，而要注重享受過程，反思過程中應(yīng)用的思維策略，敢于提出自己獨(dú)立的見解，做到課內(nèi)消化知識，課后內(nèi)化思想方法。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉影，程曉亮.數(shù)學(xué)教學(xué)論[M].北京：北京大學(xué)出版社，2011，2.

[2]孫厚康.初中數(shù)學(xué)思想方法引導(dǎo)[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2015，6.

作者簡介：

高飛飛，吉林省長春市，吉林師范大學(xué)；

劉雙雙，浙江省杭州市，杭州市星瀾小學(xué)。endprint