郭紅霞

【摘 要】新課標指出培育學生的數學學科核心素養(yǎng)是教學教育的根本立足點，教師在教學中要研究的是如何以數學知識為載體發(fā)展學生的核心素養(yǎng)的問題。本文以一道翻折的立體幾何小題的解題教學為例，從審題、解題策略、解法反思等步驟中體現(xiàn)出是如何在解題教學中落實發(fā)展核心素養(yǎng)的。更從反思中體會各策略的優(yōu)越和局限，以突顯出數學本質，有利于學生形成較強的“數學直覺”，從而提升分析問題和解決問題的能力。

【關鍵詞】核心素養(yǎng)；立體幾何；解題教學

章建躍博士在給教師培訓的《深化數學課程改革，落實數學核心素養(yǎng)》中曾指出，數學教育的核心任務是“數學育人”。而教育部的頂層設計，數學學科的“立德樹人”目標，首先體現(xiàn)在數學學科的核心素養(yǎng)上。于是高中課標修訂組在義教課標中提出的八個“核心概念”：數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想的基礎上進一步提煉了六個數學學科核心素養(yǎng)：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析。因此作為一線數學教師，要把數學學科核心素養(yǎng)的培育落實在數學教育的各個環(huán)節(jié)。

要發(fā)揮數學的育人功能，就必須摒棄題海戰(zhàn)術，但解題教學又是數學學科必不可少的。那么怎樣在數學的解題教學中擺脫過去題海的陰影，不再停留在簡單的“題型+技巧”的訓練上，而是通過解題中的審題、符號表敘、策略選擇、答題、反思等步驟，讓學生深入地理解和體會數學內容的核心，并在這過程中培育數學學科素養(yǎng)，就成了我們數學老師應當研究的課題。

在近幾年的數學高考的立體幾何問題中經常出現(xiàn)平面圖形的翻折問題（如2009、2010、2012、2015年的浙江卷）。翻折是很好的由平面到空間的教學素材，翻折中的變與不變正體現(xiàn)了數學中以靜制動，動中求靜的思維過程。現(xiàn)就以2016學年第二學期杭州市高三年級教學質量檢測數學試題卷第10題的解題教學為例，談一談筆者是如何在數學教學中落實學科核心素養(yǎng)的培育的。

（2016杭州二模10）在等腰直角△ABC中，AB⊥AC，BC=2，M為BC中點，N為AC的中點，D為BC邊上一個動點，△ABD沿AD翻折使，BD⊥DC，點A在面BCD上的投影為點O，當點D在BC上運動時，以下說法錯誤的是（ ）

A.線段NO為定長

B.CO∈[1，）

C.∠AMO+∠ADB>180

D.點O的軌跡是圓弧

該題目旨在考查同學們的空間想象能力和邏輯推理能力；考查空間中的距離與角度的計算能力等等。

學生解題受阻主要存在以下幾方面的障礙：

（1）把握不住翻折前后角度與長度中的變量與不變量。不變的量我們將其看作靜態(tài)數據，它是我們解決問題的關鍵。而學生缺乏在動的過程中發(fā)現(xiàn)、利用靜態(tài)數據的能力。

（2）把握不住動點問題的本質。理不順點動的過程中有影響的是什么？沒有影響的是什么？

（3）空間想象力欠缺，垂直關系理不順。本題中的表現(xiàn)是得不出點A在平面BCD中的投影點O的位置線索。

（4）運算能力問題。主要表現(xiàn)是不會將空間中的距離與角的問題轉化到平面中去計算解決，在本題中的表現(xiàn)還有不能用方程與函數的思想去解決計算問題。

一、在審題的教學中發(fā)展數學抽象素養(yǎng)

1.閱讀題目，把題目中的文字語言用符號語言或圖形語言進行表述。

2.明確條件。通過讀題我們不但要找出題目中已經明確的已知條件，更要發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件。

3.制定解題策略。一般來說，從題目的條件到結論之間必然存在著聯(lián)系，而這些聯(lián)系就是我們平常所說的解決問題的橋梁。當然大部分問題解決起來是有“套路”的，即先明確解決什么問題，用什么數學原理來解決這個問題。有時候所能采用的知識原理還不止一個，這就是一個問題有多種解法的原因。

二、在解題策略的教學中發(fā)展直觀想象、邏輯推理、數學建模與數學運算等素養(yǎng)

1.傳統(tǒng)幾何法。傳統(tǒng)法，也就是老方法。它的特點是常常要構造有關圖形，利用空間想象和相關幾何定理進行邏輯推理和運算。它有利于培養(yǎng)學生的空間想象能力，這正是立體幾何學習的根本目的，也是立體幾何存在的重要價值。

本題注意到立體圖形中，BD⊥DC、AM⊥DC，因此過點M作MB'∥DB交BC點于B′，則DC⊥MB'，連接AB′，則DC⊥平面AMB'，進而得出平面BDC⊥平面AMB'，且平面BDC∩平面AMB'=MB′，點O是點A在面BCD上的投影，故點O在直線MB′上。（若無視動線的前提，學生容易錯選D）

由于B沿AD翻轉的過程是二面角B-AD-C的平面角和∠BDC逐漸變小的過程，而B-AD-C的平面角成為90時，∠BDC還是鈍角，故而當∠BDC=90時，B-AD-C是銳二面角，所以點O會在線段MB′的反向延長線上。（正確找出O點位置是合理畫出空間直觀圖的大前提）

用傳統(tǒng)幾何法解決本題中的CO范圍問題的難點是投影點O的位置的明確。教學中可以用三種方法突破空間想象上的障礙：①用實物翻折演示；②將平面圖放在長方體模型中畫出翻折時某個狀態(tài)的直觀圖進行觀察；③理解動態(tài)翻折的實質。

2.向量法。坐標法，也叫代數法。使用坐標法的大前提是要建立適當的空間直角坐標系，確定點的坐標。本題在此基礎上只需利用空間兩點的距離公式即可解決A和B選項的問題，故而對發(fā)展學生的數學建模與數學運算素養(yǎng)大有裨益。

由題意可知，無論D點在線段BM上如何運動，B′-AM-C是直二面角，故可以以點M為原點，以MC為y軸，MB′為x軸建立空間直角坐標系，如圖

本題建系的難點是確定線面垂直，教學時可引導學生先確定翻折中的不變垂直關系，將兩個線線垂直建立聯(lián)系，通過作輔助線得到線面垂直，落實點A的位置。

3.特殊化策略。動點翻折問題的難點不僅僅在于平面幾何通過翻折轉化成立體幾何的問題，更在于題目中有動點，意味著隱含的條件中有變量，由于變量不好把握，故而解題思維受阻。但動點因為運動又有其獨到的好處，那就是在一些特殊的位置，往往空間位置關系和數量關系都是很容易想象和推理的。因此，特殊化策略不僅是秒殺這類問題的利器，也在這種一眼洞穿本質中培育了學生的直觀想象和邏輯推理能力。

本題觀察到當動點D與點M重合時，易知點A在平面BCD上的投影O與D、M重合，此時∠ADB=90，

所以∠ADB+∠AMO不會大于180。

求出特殊位置時的角度值即可得到結論：C錯誤。

從應試角度，該題與2009年浙江高考卷的第17題解法類似。因為有動點，所以有特殊位置，故而能以特殊策略取勝。教學中因本題是選擇題，選項提示的問題點比較多，鎖定哪一個進行突破，可以以2009年的第17題作為引例，先介紹特殊化法，再引導鎖定C選項進行突破。

三、在反思教學中突顯數學本質

解題后的反思是指解題后對審題過程和解題方法及解題所用的知識和策略進行回顧和思考，只有這樣，才能有效地深化對知識的理解，突顯出數學的本質，提高學生的思維品質和能力。本題就三種解法而言，可做如下反思：

1.解決立體幾何的問題既可以用傳統(tǒng)法，也可以用向量法。

2.“翻折”只是立體幾何問題的另一種表述，其實質還是一個立體幾何問題。解決問題的關鍵是在明確條件的過程中找出其不變的量，并確定變化的量影響的根本。

3.翻折的過程中轉軸若是不固定的，即有“動點”的情況，意味著在一般情況下必定存在著特殊位置的點，即特殊的轉軸會讓翻折后是一個便于計算的特殊空間幾何體。特殊情況本身也是觀察一般情況的一個窗口，當不需要對一般情況給出詳細證明時，特殊化策略往往能化繁為簡、化難為易，從而降低推理計算的難度。

結語

數學課堂作為數學教育的主要陣地，在數學知識的載體上發(fā)展學生的核心素養(yǎng)要求教師在解題教學中注重知識性，淡化技巧性。

【參考文獻】

[1]章建躍.《深化數學課程改革落實數學核心素養(yǎng)》，百度文庫，2017年6月

[2]朱信梅.《提高學生審題能力，促進教學改革實踐》，文教資料，2006

[3]黃菁.《如何更好地進行數學解題教學》，福建基礎教育研究，2012endprint