李文松

【摘要】高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)，通常就是數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)，大致有兩種形式：一種是以知識模塊為專題，對高中數(shù)學(xué)各章節(jié)的主要內(nèi)容或重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí)；一種是以高中數(shù)學(xué)重要的思想方法為專題，對一些重要的數(shù)學(xué)思想方法結(jié)合各類考題進(jìn)行較為系統(tǒng)而全面的復(fù)習(xí)。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí) 變式教學(xué)

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）48-0121-01 我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的解題能力、解題技能還在一輪復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上徘徊不前，其根本原因不是這些重點(diǎn)方法、重要問題練得少、講得少，關(guān)鍵是沒有把同一類方法、問題串成一條主線，通過變式形成“問題串”，集中起來進(jìn)行比較、分析，以致問題一變，學(xué)生就毫無招架之力。本文筆者結(jié)合自身多年高三數(shù)學(xué)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，談?wù)劧啅?fù)習(xí)中變式教學(xué)的一些做法和想法。

案例1 基本不等式

有些知識簡單、思想方法也不復(fù)雜的內(nèi)容，但對學(xué)生靈活運(yùn)用的要求較高，如基本不等式≤（a，b≥0），我們通常運(yùn)用它的兩個(gè)變形公式a+b≥2與ab≤，其本質(zhì)內(nèi)涵就是兩個(gè)正數(shù)“和與積”的轉(zhuǎn)化關(guān)系，知識方法學(xué)生都不難理解，一些常見的題目學(xué)生也能完成，但若將這些問題稍加變換，有時(shí)學(xué)生就不會(huì)做了，它所反映出的問題是學(xué)生方法運(yùn)用的靈活性不夠。這些基本不等式的較難題在二輪復(fù)習(xí)講義中，我們倒是經(jīng)常碰到，學(xué)生時(shí)而會(huì)時(shí)而不會(huì)，解題能力達(dá)不到根本性的提高，我們能不能將一些問題串一串，在同一節(jié)課集中探究方法的靈活運(yùn)用，為此，筆者設(shè)計(jì)了一節(jié)關(guān)于基本不等式的題組變式訓(xùn)練課。

問題1：若正實(shí)數(shù)x，y滿足+=1，則x+y的最小值為_________.

這是課本上的一道習(xí)題，以此為課堂導(dǎo)入問題，學(xué)生都熟悉其方法，即用“1”的代換，現(xiàn)將條件“+=1”整理成“xy-2x-y=0”，讓學(xué)生討論解法，即

問題2：若正實(shí)數(shù)x，y滿足xy-2x-y=0，則x+y的最小值為_________.

這時(shí)不少學(xué)生都知道問題2方法，將整式轉(zhuǎn)化為分式，但教師要引導(dǎo)分析，如果沒有問題1作鋪墊，你能否想到該方法？除此之外，還要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用消元法，從而把問題轉(zhuǎn)化為求目標(biāo)函數(shù)f（x）=x+的最小值，繼而又提出

問題3：若正實(shí)數(shù)x，y滿足（x+1）（y+2）=32，則x+y的最小值為_________.

這道題若用變形公式ab≤，則很快能得到答案，它實(shí)際上是“積化和”的過程，但卻有不少學(xué)生把條件（x+1）（y+2）=32展開，得下列問題4，由于常數(shù)不為0，不能用問題1的方法，只能用問題2中的消元法。

問題4：若正實(shí)數(shù)x，y滿足xy+2x+y=30，則x+y的最小值為_________。

對于問題4，學(xué)生容易想到用消元法建立目標(biāo)函數(shù)的方法，這時(shí)教師要引導(dǎo)學(xué)生回歸問題3，直接運(yùn)用“積化和”的方法，對此，還可以把問題改得復(fù)雜一點(diǎn)。

對于題組變式教學(xué)，無論是新授課還是復(fù)習(xí)課，都能運(yùn)用這種教學(xué)方式，關(guān)鍵是課堂定位要準(zhǔn)，作為高三二輪復(fù)習(xí)，在變式要求上要高一點(diǎn)，要變出靈活性、變出方法性、變出問題間的本質(zhì)聯(lián)系。

案例2 解幾運(yùn)算

解析幾何作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，一直都是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，這部分內(nèi)容也格外受到老師和學(xué)生的重視，但一個(gè)不容否認(rèn)的事實(shí)：老師們往往感到這部分內(nèi)容的教學(xué)效果不如人意，學(xué)生似懂非懂，要么不會(huì)運(yùn)算，會(huì)運(yùn)算的出錯(cuò)率又很高，導(dǎo)致解幾題成為考生得分的瓶頸因素，因此，提高學(xué)生的運(yùn)算能力就成為解析幾何教學(xué)的關(guān)鍵。

案例3 恒成立（存在性）問題

恒成立（存在性）問題是高考的高頻率試題，無論是選擇題、填空題，還是解答題都可以出題，學(xué)生在高三各類檢測考試、模擬練習(xí)、復(fù)習(xí)講義中并沒有少接觸該類問題，不知各位高三教師有沒有這樣的體會(huì)，學(xué)生三天兩頭做，解題方法教師都講得厭煩了，要么是分離參變量法、要么是直接研究含參函數(shù)，然而學(xué)生的解題正確率就是得不到提高。

串聯(lián)教學(xué)在這里顯得特別關(guān)鍵，筆者試舉幾例加以說明：

問題1：已知函數(shù)f（x）=x2-mx+1，若對任意實(shí)數(shù)x∈[m，m+1]，都有f（x）<0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________。

大多數(shù)學(xué)生能用數(shù)形結(jié)合不需討論就能順利解決問題1，也有少數(shù)學(xué)生思維定勢，用分離參變量法完成而陷于復(fù)雜的討論中。教師只分析評價(jià)還不夠，若把問題1稍作改編得問題2，在比較中分析效果更好。

問題2：已知函數(shù)f（x）=x2-mx+1，若存在實(shí)數(shù)x∈[1，3]，使f（x）<0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________。

結(jié)合問題2引導(dǎo)學(xué)生分析，為什么問題1直接用二次函數(shù)的圖象解決簡單，而問題2用分離參變量法解決簡單呢？讓學(xué)生自己去感悟、比較、分析。又如

問題3：已知函數(shù)f（x）=x3-6ax2+9a2x（a>0），對？坌x∈[0，3]，有f（x）≤4成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

顯然問題3不易分離出參數(shù)a，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)f（x）的單調(diào)性（需要討論），再求函數(shù)f（x）的最大值完成，是不是說不易分離出參數(shù)，就不能用分離參變量法呢？教師要再舉例說明。

問題4：已知函數(shù)f（x）=x-，若對？坌x∈[，+∞），不等式f（mx）+mf（x）<0總成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

由函數(shù)解析式，不等式可化為2mx-（m+）·<0，不易分離出參數(shù)m，但仍用分離參變量法，分離出變量x得2mx2

上述幾個(gè)問題，不是說要在一兩節(jié)課就完成一個(gè)專題復(fù)習(xí)，而是在我們評講一些典型恒成立（存在性）問題時(shí)，再找一些類似的問題進(jìn)行比較分析，我們的教學(xué)目的在于比較分析中總結(jié)解題方法、經(jīng)驗(yàn)、規(guī)律，個(gè)人覺得恒成立（存在性）問題只能多進(jìn)行這樣的微專題復(fù)習(xí)，才能取得較好的復(fù)習(xí)效果。