師愛(ài)芬　張強(qiáng)

摘 要：概念教學(xué)的主要內(nèi)容可以歸納為，素材的引入、概念的形成、數(shù)學(xué)思想的滲透、數(shù)學(xué)的符號(hào)表達(dá)等部分。數(shù)學(xué)概念幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)命題、方法和體系，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)。教師授課過(guò)程中，要善于給出令學(xué)生想解決卻用舊知識(shí)難以解決的特殊問(wèn)題，并采取逐步追問(wèn)的方式，刺激學(xué)生繼續(xù)進(jìn)行深入思考，進(jìn)而運(yùn)用于生活實(shí)踐。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)抽象；概念教學(xué)；課堂模式

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-010X（2017）35-0048-03

數(shù)學(xué)概念反映數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)，是形成數(shù)學(xué)思維和指導(dǎo)數(shù)學(xué)運(yùn)算的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)概念文字簡(jiǎn)約，內(nèi)涵和外延嚴(yán)格確定，具有嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性、邏輯性和符號(hào)化等特征。

數(shù)學(xué)概念在學(xué)生頭腦中建立的順序，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科系統(tǒng)內(nèi)在的宏觀邏輯關(guān)系——已知定義未知，逐層拓寬個(gè)人知識(shí)范疇和人類(lèi)學(xué)術(shù)領(lǐng)域。對(duì)于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，教師要遵循學(xué)生現(xiàn)有的邏輯體系，從學(xué)生已有的認(rèn)知出發(fā)，分析新知識(shí)在生本環(huán)境中建立的基礎(chǔ)。因此，教學(xué)內(nèi)容和過(guò)程的設(shè)計(jì)，直接影響學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，不能搞“一個(gè)定義、三項(xiàng)注意”。概念教學(xué)的主要內(nèi)容可以歸納為，素材的引入、概念的形成、數(shù)學(xué)思想的滲透、數(shù)學(xué)的符號(hào)表達(dá)等部分。例如，單調(diào)性概念的建立，需要從學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解出發(fā)。教師需要通過(guò)具體的、大量的、有代表性的具體實(shí)例讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，體會(huì)函數(shù)單調(diào)性概念是用來(lái)刻畫(huà)函數(shù)在其定義域某區(qū)間上的變化趨勢(shì)。在學(xué)生對(duì)單調(diào)性有了基本感性認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上，進(jìn)一步體會(huì)“解析法”在刻畫(huà)函數(shù)單調(diào)性方面的價(jià)值，在頭腦中形成對(duì)函數(shù)單調(diào)性這一概念的清晰印象并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言記憶和表達(dá)，最終在處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)投入使用。

一、教學(xué)體系主要構(gòu)成

（一）概念引入

概念的引入立足于學(xué)情基礎(chǔ)，圍繞導(dǎo)學(xué)素材逐步促進(jìn)學(xué)生形成對(duì)新概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)與思辨，從而自主建立新知識(shí)與其已有知識(shí)之間的聯(lián)系。首先，教師要尊重學(xué)生現(xiàn)有的生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生在觀察與思考中自然建立數(shù)學(xué)概念。學(xué)習(xí)活動(dòng)必然基于學(xué)習(xí)者的觀察與直觀感受才能使大腦進(jìn)行有價(jià)值的分析活動(dòng)，因此教師在課程活動(dòng)中的切勿令學(xué)生倉(cāng)促記憶并盲目投身題海。此外，就數(shù)學(xué)學(xué)科所指的“直觀”除了具體生活實(shí)例，更側(cè)重“幾何直觀”——數(shù)形結(jié)合思想，重視讓學(xué)生在實(shí)踐中主動(dòng)觀察，形成“萬(wàn)物皆數(shù)”的直觀感受。這個(gè)過(guò)程兼具指向性和開(kāi)放性，要因材施教、因勢(shì)利導(dǎo)。

以任意角概念的教學(xué)為例。此知識(shí)點(diǎn)建立在初中課程的基礎(chǔ)上，隨著學(xué)生學(xué)習(xí)的深入和生活經(jīng)驗(yàn)的積累，教師要篩選導(dǎo)學(xué)素材從而指出“擴(kuò)充角的范圍”的必要性——可以從數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展要求引入，也可以從生產(chǎn)、生活實(shí)際的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題引入——使學(xué)生在客觀實(shí)例中觀察圓周運(yùn)動(dòng)的位置規(guī)律，理解三角函數(shù)是用來(lái)精確刻畫(huà)“角度的周期性變化規(guī)律”的數(shù)學(xué)模型——把有限的一次圓周運(yùn)動(dòng)拓展到無(wú)限次。讓學(xué)生始終明確三角函數(shù)的實(shí)際意義，消除其“為什么而學(xué)”的困惑，更有效地在教學(xué)過(guò)程中感悟這一概念的內(nèi)涵與外延，最終學(xué)以致用——讓三角函數(shù)模型成為解決數(shù)學(xué)和其他學(xué)科實(shí)際問(wèn)題時(shí)的工具。

（二）數(shù)學(xué)抽象

導(dǎo)學(xué)素材無(wú)論取自現(xiàn)實(shí)生活還是學(xué)生已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，教師在教學(xué)過(guò)程中要注意引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注其中的數(shù)學(xué)特征，使這些材料數(shù)學(xué)化，促進(jìn)學(xué)生形成數(shù)學(xué)抽象。概念建立的思維過(guò)程是一個(gè)從特殊到一般、從具體到抽象、從感性到理性的過(guò)程。教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有目的的思考，并讓學(xué)生在實(shí)際問(wèn)題中體會(huì)概念的價(jià)值。實(shí)踐證明學(xué)生對(duì)新知識(shí)的掌握過(guò)程是“螺旋式上升”的——從具體實(shí)例到主觀抽象，然后還原到客觀生活并在未來(lái)繼續(xù)發(fā)現(xiàn)和探索，在千錘百煉的過(guò)程中使得自身的核心素養(yǎng)得以發(fā)展。

例如，運(yùn)用解析法分析橢圓，實(shí)際上就是將一個(gè)幾何問(wèn)題代數(shù)化過(guò)程——通過(guò)建立表達(dá)式揭露曲線幾何特征與代數(shù)形式的“雙向”關(guān)系——深刻認(rèn)識(shí)橢圓概念的真實(shí)含義不僅是幾個(gè)例子或頭腦中的粗淺印象——該圖形包含很多學(xué)生前所未見(jiàn)的特殊屬性。而學(xué)生為了透徹理解這個(gè)幾何圖形需要借助代數(shù)工具來(lái)研究，通過(guò)化形為數(shù)實(shí)現(xiàn)從將紛繁的表象還原到簡(jiǎn)潔的代數(shù)式進(jìn)行解析。這就是該概念教學(xué)過(guò)程的中心環(huán)節(jié)，使得學(xué)生的“數(shù)學(xué)抽象”這個(gè)學(xué)科素養(yǎng)在此課程中的實(shí)現(xiàn)發(fā)展。

（三）數(shù)學(xué)思想方法

教學(xué)過(guò)程要著重明確概念的內(nèi)涵與外延。數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵價(jià)值在于其中蘊(yùn)含著的數(shù)學(xué)思想，這才是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)綜合發(fā)展的核心內(nèi)容?；趯?duì)數(shù)學(xué)思想的把握，才能令學(xué)生“做一道題會(huì)一類(lèi)題”，使學(xué)生處理數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)達(dá)到觸類(lèi)旁通的境界。數(shù)學(xué)思想是學(xué)生在不斷經(jīng)歷“辨析案例、回歸定義、認(rèn)識(shí)本質(zhì)”的過(guò)程后達(dá)到的學(xué)科宏觀高度，絕非熟練掌握幾個(gè)難題套路就能成就的。

（四）數(shù)學(xué)符號(hào)化

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是指舍去外在物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過(guò)程。符號(hào)化的思維隨之貫穿在數(shù)學(xué)學(xué)科的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過(guò)程中，使學(xué)人能更好地理解數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，把握事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)，最終主動(dòng)運(yùn)用數(shù)學(xué)思維解決其他學(xué)科在生產(chǎn)生活實(shí)踐中遇到的問(wèn)題。數(shù)學(xué)符號(hào)是表述數(shù)學(xué)概念的基本元素。數(shù)學(xué)符號(hào)簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)思維的表述過(guò)程，從而實(shí)現(xiàn)高度抽象。教學(xué)過(guò)程中，教師要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)符號(hào)的抽象性和科學(xué)性——數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)與描述性語(yǔ)言在具體數(shù)學(xué)問(wèn)題上可以實(shí)現(xiàn)相互轉(zhuǎn)化——用數(shù)學(xué)符號(hào)使語(yǔ)義表述更為簡(jiǎn)潔和精確，使實(shí)際問(wèn)題處理更加高效，絕不會(huì)演變成象征性的、寫(xiě)意的、含義不確定的結(jié)論。

二、授課活動(dòng)的主要模式

（一）自主

學(xué)生已經(jīng)了解的內(nèi)容是其思維的出發(fā)點(diǎn)，也就是其學(xué)習(xí)新知的基礎(chǔ)。導(dǎo)學(xué)的意義不止是復(fù)習(xí)舊知和炒熱氣氛，關(guān)鍵是抓住學(xué)生新舊知識(shí)的節(jié)點(diǎn)，給出一個(gè)令學(xué)生想解決卻用舊知識(shí)難以解決的特殊問(wèn)題，進(jìn)而引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)其學(xué)習(xí)欲望。從特殊到一般，逐步擴(kuò)大學(xué)生的見(jiàn)識(shí)。這個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程不追求認(rèn)知建立的一步到位，重點(diǎn)是“因材施教”——要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平提出恰如其分的挑戰(zhàn)性。教師要把課堂主體地位讓給學(xué)生，始終做到“學(xué)生沖在前面、教師斷后”，給予學(xué)生發(fā)展空間，讓學(xué)生獨(dú)立思考。

（二）合作

學(xué)生可能犯錯(cuò)，會(huì)因?yàn)椴荒軘[脫原有的認(rèn)知水平而產(chǎn)生自相矛盾或者違背客觀的結(jié)論。而且學(xué)生群體中的錯(cuò)誤可能五花八門(mén)，往往只有極少數(shù)情況下達(dá)成“所見(jiàn)略同”。但思維偏差是有分析價(jià)值的，教師在課堂上要組織多邊的、多樣的、合理有效的師生交流和生生交流，放手讓學(xué)生體會(huì)和表達(dá)，促進(jìn)在切磋中迸發(fā)思維的火花。學(xué)生提出的見(jiàn)解不到位時(shí)，教師作為主導(dǎo)可以采取逐步追問(wèn)的方式，刺激學(xué)生繼續(xù)進(jìn)行深入思考。

（三）探究

概念探究的環(huán)節(jié)是檢驗(yàn)效果的課堂核心過(guò)程，要重點(diǎn)關(guān)注“課堂生成”，調(diào)節(jié)學(xué)生理論構(gòu)建與實(shí)踐運(yùn)用的平衡發(fā)展——教師要引導(dǎo)學(xué)生在分析問(wèn)題的過(guò)程中回歸概念，也要指導(dǎo)學(xué)生理論學(xué)習(xí)的過(guò)程中強(qiáng)化實(shí)踐。一堂好課應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷“問(wèn)題形成和解決”的完整體驗(yàn)，教師要讓學(xué)生有值得思考的問(wèn)題，進(jìn)而看破問(wèn)題，最終放下問(wèn)題——看破問(wèn)題是“探索”，放下問(wèn)題方才“究竟”——在觀察、分析、操作、交流的“探究”過(guò)程中，問(wèn)題的價(jià)值已經(jīng)得以充分利用，學(xué)生的核心素養(yǎng)已經(jīng)得到充分發(fā)展，一課之后師生都可以繼續(xù)坦然前行。

【責(zé)任編輯 馮夢(mèng)陽(yáng)】endprint