河北 溫和群

抽象函數(shù)性質(zhì)中的易錯問題

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抽象函數(shù)因為沒有給出具體的函數(shù)解析式所以無法利用熟悉的具體函數(shù)的性質(zhì)來進行研究，因而這一類問題對學(xué)生來講非常容易出錯,而這一類問題往往是高考考查的難點.下面就抽象函數(shù)的定義域、值域、對稱性、奇偶性、周期性等問題舉例說明，只要掌握了分析這類問題的規(guī)律，解決起來會非常輕松.

問題1：(1)已知函數(shù)y=f(x)的定義域為[1,2]，則函數(shù)y=f(2x)的定義域為________.

(2)已知函數(shù)f(2x)的定義域為[1,2]，則函數(shù)f(x)的定義域為________.

答案：(1)[0,1]；(2)[2,4].

分析(1)：定義域指的是式子中x的取值范圍，2x占據(jù)了f(x)中x的位置，所以應(yīng)滿足1≤2x≤2，解得0≤x≤1.

分析(2)：由x的取值范圍求出2x的范圍2≤2x≤4，而f(x)中的x占據(jù)了2x的位置，所以應(yīng)滿足它的范圍，即[2,4].

問題2：已知函數(shù)y=f(x)的值域為[1,2]，則函數(shù)y=f(x+m)，mgt;0的值域為________.

答案：[1,2]

分析：函數(shù)y=f(x+m)的圖象是由函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移m個單位得到的，圖象的左右平移不會改變函數(shù)的值域.

問題3：對于函數(shù)y=f(x)，若滿足f(1+x)=f(1-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于________對稱.

答案：直線x=1

分析：這是一個函數(shù)圖象自身的對稱問題.1+x與1-x兩個值關(guān)于1是對稱的，而所對應(yīng)的函數(shù)值卻相等，所以說明函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱.

問題4：(1)函數(shù)y=f(1+x)與函數(shù)y=f(1-x)的圖象關(guān)于________對稱.

(2)函數(shù)y=f(x-1)與函數(shù)y=f(1-x)的圖象關(guān)于________對稱.

答案：(1)直線x=0(y軸)；

(2)直線x=1.

分析(1)：函數(shù)y=f(1+x)的圖象可以看作是由函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移一個單位得到的；函數(shù)y=f(1-x)的圖象可以看作是由函數(shù)y=f(-x)向右平移一個單位得到的，而函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=f(-x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以會得到結(jié)論.

分析(2)：函數(shù)y=f(x-1)的圖象可以看作是由函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移一個單位得到的；函數(shù)y=f(1-x)的圖象可以看作是由函數(shù)y=f(-x)向右平移一個單位得到的，而函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=f(-x)的圖象關(guān)于y軸對稱，均向右平移后會關(guān)于直線x=1對稱.

問題5：(1)若函數(shù)y=f(3x+1)是偶函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)的圖象的對稱軸是________.

(2)若函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，則函數(shù)y=f(3x+1)的圖象的對稱軸是________.

分析(1)：將函數(shù)y=f(3x+1)的圖象上所有點的橫坐標都拉伸為原來的三倍、縱坐標不變，會得到函數(shù)y=f(x+1)的圖象，此時對稱軸仍為y軸，然后再將圖象向右平移一個單位就會得到函數(shù)y=f(x)的圖象，此時對稱軸變?yōu)橹本€x=1.

問題6：(1)若函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)，則下列結(jié)論成立的是________.

A.f(x+1)=f(-x-1)

B.f(x+1)=f(-x+1)

(2)若函數(shù)y=f(x+1)為偶函數(shù)，則下列結(jié)論成立的是________.

A.f(x+1)=f(-x-1)

B.f(x+1)=f(-x+1)

答案：(1)A；(2)B

分析(1)：既然函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)，則互為相反數(shù)的兩個量x+1與-x-1被對應(yīng)法則f作用，所得的函數(shù)值相等，故選A.

分析(2)：設(shè)F(x)=f(x+1)，則F(x)為偶函數(shù)，所以有F(-x)=F(x)，即f(-x+1)=f(x+1)，故選B.

問題7：定義在R上的函數(shù)y=f(x)有反函數(shù)，則函數(shù)y=f(x+a)+b與函數(shù)y=f-1(x+a)+b的圖象間的關(guān)系是________ .

答案：關(guān)于直線y=x+a+b對稱.

分析：y=f(x+a)+b可看作是由y=f(x)的圖象變換得到：y=f(x)→y=f(x+a)→y=f(x+a)+b，y=f(x)的圖象先向左平移a個單位，再向上平移b個單位；y=f-1(x+a)+b可看作是由y=f-1(x)的圖象變換得到：y=f-1(x)→y=f-1(x+a)→y=f-1(x+a)+b，y=f-1(x)的圖象先向左平移a個單位，再向上平移b個單位，由于函數(shù)y=f(x)與y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，所以平移時對稱軸的位置也隨之發(fā)生變化，所以函數(shù)y=f(x+a)+b與y=f-1(x+a)+b的圖象關(guān)于直線y=x+a+b對稱.

由此我們可以體會：無論給出的抽象函數(shù)的形式有多么復(fù)雜，它總可以由最基本的函數(shù)y=f(x)的圖象變換得到，掌握了這個通法，便可以解決這種類型的問題.

問題8：對于函數(shù)y=f(x)：①f(x)為偶函數(shù)；②f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱；③f(x)是以T=2a為周期的周期函數(shù).

對于這三個性質(zhì)y=f(x)任意滿足兩個，可否推出第三個一定成立呢？

答案：①②?③，①③?②，②③?①

分析：①②?③：

因為函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱,

所以f(a+x)=f(a-x)，所以f(-x)=f(2a+x).

又因為f(x)為偶函數(shù),所以f(-x)=f(x),

所以f(x)=f(2a+x),

所以函數(shù)y=f(x)是以T=2a為周期的周期函數(shù).

①③?②：

因為函數(shù)y=f(x)是以T=2a為周期的周期函數(shù),

所以f(x)=f(x+2a).

又因為函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù),所以f(x)=f(-x).

所以f(-x)=f(x+2a)，將等式中所有的x換成x-a可得到f(a-x)=f(a+x),

所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

②③?①：

因為函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱,

所以f(a+x)=f(a-x)即f(-x)=f(2a+x),

又因為函數(shù)y=f(x)是以T=2a為周期的周期函數(shù).

所以f(x)=f(x+2a),所以f(x)=f(-x),所以函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù).

問題9：將問題8中的①改為奇函數(shù)，②不變，③將怎樣變化？對于這三個性質(zhì)y=f(x)任滿足兩個，可否推出第三個一定成立呢？

答案：③將變?yōu)椋篺(x)是以T=4a為周期的周期函數(shù).

且只有①②?③成立，其他兩個不成立，可舉反例說明.

分析：①②?③：

因為函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱,

所以f(a+x)=f(a-x)即f(-x)=f(2a+x).

又因為函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù),所以-f(x)=f(-x),

所以f(2a+x)=-f(x)，

所以f(4a+x)=-f(2a+x)=f(x),

所以函數(shù)y=f(x)是以T=4a為周期的周期函數(shù).

舉反例：函數(shù)y=tanx的圖象特征可以說明①③不能推出②；函數(shù)y=sinx+1的圖象特征可以說明②③不能推出①.

河北省滄州市第一中學(xué))