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        選用合適的方法,提升解答偶函數(shù)不等式問(wèn)題的效率

        2024-01-01 00:00:00劉蘭蘭
        關(guān)鍵詞:性質(zhì)定義解題

        函數(shù)不等式問(wèn)題比較常見(jiàn),其中偶函數(shù)不等式問(wèn) 題主要考查基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì),以及偶函數(shù) 的定義、圖象的應(yīng)用.筆者對(duì)一道偶函數(shù)不等式問(wèn)題的 解法進(jìn)行了深入的探討,并對(duì)這一類問(wèn)題及其解法進(jìn) 行歸納總結(jié).

        題目:

        一、分類討論法

        對(duì)于偶函數(shù)而言,在 y 軸左右兩側(cè)的函數(shù)圖象關(guān) 于 y 軸對(duì)稱,因而兩側(cè)的函數(shù)單調(diào)性往往不相同,那 么就需分 x lt; 0 和 x gt; 0 兩種情況進(jìn)行分類討論,分別 根據(jù)當(dāng) x lt; 0 和 x gt; 0 時(shí)函數(shù)的單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào) “ f ”,再求兩個(gè)不等式的并集.

        解:當(dāng)xlt;0時(shí),-xgt;0,所以f(x)=f(-x)=x2+4x,

        則f(x)=〈?x2(ìx2)4x(4x)x(x),

        當(dāng)x+2≥0,即x≥-2時(shí),f(x+2)=(x+2)2-4(x+2)

        =x2-4lt;5,

        即-3lt;xlt;3,所以-2≤xlt;3;

        當(dāng)x+2lt;0,即xlt;-2時(shí),f(x+2)=(x+2)2+4(x+2)

        =x2+8x+12lt;5,

        即-7lt;xlt;-1,所以-7lt;xlt;-2.

        所以不等式f(x+2)lt;5的解集是{x|-7lt;xlt;3}.

        我們將偶函數(shù)看作分段函數(shù),分別在x≥-2和xlt;-2兩種情況下,解不等式f(x+2)lt;5,最后取兩個(gè)不等式的并集,即可解題.

        二、利用偶函數(shù)的性質(zhì)

        偶函數(shù)的基本性質(zhì)是偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.解答偶函數(shù)不等式問(wèn)題,可從圖象入手,利用圖象的對(duì)稱性,根據(jù)其中一半圖象上的點(diǎn)的集合研究另一半圖象上點(diǎn)的集合,進(jìn)而求得函數(shù)不等式的解集.

        解:

        根據(jù)已知的解析式算出函數(shù)不等式在 x ≥ 0 上的 解集后,只需要利用偶函數(shù)的對(duì)稱性即可得到另一 半,即 x lt; 0 時(shí)不等式的解集.運(yùn)用偶函數(shù)的性質(zhì)解題, 需熟悉偶函數(shù)的圖象和定義,據(jù)此建立關(guān)系式.

        三、轉(zhuǎn)化法

        對(duì)于偶函數(shù),當(dāng)其自變量的絕對(duì)值相等時(shí),其函 數(shù)值相等.根據(jù)偶函數(shù)的這一特性,我們可以采用轉(zhuǎn)化 法,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值不等式問(wèn)題來(lái)求解,通過(guò)建 立絕對(duì)值不等式來(lái)求得問(wèn)題的答案.

        解:

        使用轉(zhuǎn)化法,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 f (x)= f (|x|)lt; f (5) ,便 可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為 |x + 2| lt; 5 ,求得 該不等式的解集,即可解題.

        可見(jiàn)解答偶函數(shù)不等式問(wèn)題,可以從偶函數(shù)的解 析式入手,也可以從偶函數(shù)的圖象入手,還可以將其 進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.無(wú)論運(yùn)用哪種方法求解,同學(xué)們都需靈 活運(yùn)用偶函數(shù)的定義和性質(zhì),將問(wèn)題轉(zhuǎn)化函數(shù)單調(diào)性 問(wèn)題,從而去掉函數(shù)符號(hào)“ f ”,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常規(guī)不 等式問(wèn)題來(lái)求解.

        (作者單位:江蘇省鹽城市濱??h東元高級(jí)中學(xué))

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