安徽 華騰飛

概率易錯解 根源找出來

安徽 華騰飛

概率是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要知識點，也是各地高考的考點，同時更是同學(xué)們的易錯點．為了減少同學(xué)們求解此類問題的出錯率，提高解題技能與技巧，下面就同學(xué)們?nèi)菀壮霈F(xiàn)的典型錯解舉例剖析，希望能夠引起同學(xué)們的高度注意．

一、將“非等可能”與“等可能”混同致錯

例1將一枚硬幣連擲三次，出現(xiàn)“2個正面1個反面”的概率是多少？

剖析錯解1錯在事件“3正、2正一反、1正2反、3反”不是等可能事件．事實上，一枚硬幣連擲三次有8種等可能事件：(正、正、正)、(正、正、反)、(正、反、正)、(反、正、正)、(正、反、反)、(反、正、反)、(反、反、正)、(反、反、反)．錯解2錯在“2正1反”并不是一種結(jié)果，而是三種結(jié)果：(正、正、反)、(正、反、正)、(反、正、正)．

二、將“互斥”與“獨立”混同致錯

例2某家庭電話在家中有人時，打進(jìn)的電話響第一聲時被接的概率為0.1，響第二聲時被接的概率為0.3，響第三聲時被接的概率為0.4，響第四聲時被接的概率為0.1，那么電話在響前四聲內(nèi)被接的概率是多少？

錯解設(shè)電話響第一聲時被接的概率為P(A1)=0.1；電話響第二聲時被接的概率為P(A2)=0.3；電話響第三聲時被接的概率為P(A3)=0.4；電話響第四聲時被接的概率為P(A4)=0.1．所以電話在響前四聲時被接的概率為

P=P(A1)·P(A2)·P(A3)·P(A4)=0.1×0.3×0.4×0.1=0.001 2．

剖析上述錯解的原因在于把互斥事件當(dāng)成相互獨立同時發(fā)生的事件來考慮．根據(jù)實際生活經(jīng)驗，電話在響前四聲內(nèi)，響每一聲時是否被接彼此互斥．

正解P=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.1+0.3+0.4+0.1=0.9．

例3兩個籃球運動員在罰球線投球的命中率分別是0.7和0.6，每人投球3次，試計算兩人都恰好投進(jìn)2球的概率．

錯解設(shè)“甲恰好投進(jìn)2球”為事件A，“乙恰好投進(jìn)2球”為事件B，則兩人都恰好投進(jìn)兩球為A+B．故此可得，

剖析上述錯解的原因在于將相互獨立同時發(fā)生的事件當(dāng)成互斥事件來考慮，將兩人都恰好投中2球理解為“甲恰好投中2球”與“乙恰好投中2球”的和．

三、將“互斥”與“對立”混同致錯

例4從裝有2個紅球與2個白球的口袋內(nèi)任取兩個球，那么互斥而不對立的兩個事件是

( )

A.至少有1個白球與都是白球

B.至少有1個白球與至少有一個紅球

C.恰有1個白球與恰有2個白球

D.至少有1個白球與都是紅球

錯解選B．

剖析上述錯解的原因在于把“互斥”與“對立”混為一談，要準(zhǔn)確地解答此類問題，應(yīng)弄清楚對立事件與互斥事件的聯(lián)系與區(qū)別，表現(xiàn)在以下三個方面：

(1)兩事件對立，必定互斥，但互斥事件未必對立；

(2)互斥的概念適用于多個事件，但對立概念只適用于兩個事件；

(3)兩個事件互斥只表明這兩個事件不能同時發(fā)生，即至多只能發(fā)生其中一個，但可以不發(fā)生；而兩事件對立則表示它們有且僅有一個發(fā)生．

正解選項A，B中兩事件不互斥，當(dāng)然也不對立；選項C中兩事件互斥但不對立；選項D中兩事件不僅互斥而且對立．故選C．

四、將“有序”與“無序”混同致錯

例5從10件產(chǎn)品(其中次品3件)中，一件一件地不放回地任意取出4件，求4件中恰有1件次品的概率．

錯解因為第一次取有10種取法，第二次取有9種取法，第三次取有8種取法，第四次取有7種取法，則由乘法原理可知，從10件中取出4件，共有10×9×8×7種取法，故樣本空間S含有10×9×8×7個基本事件．

剖析計算樣本空間S所含基本事件的個數(shù)是用排列的方法，即考慮了抽取的順序，而計算事件A所包含的基本事件個數(shù)時是用組合的方法，即沒有考慮抽取的順序．

正解(1)用排列的方法

(2)用組合的方法

五、將“放回”與“不放回”混同致錯

例6 一個袋中裝有4個黑球、1個白球，現(xiàn)從袋中每次摸出一球，然后再放回袋中，求第3次摸球時首次摸到白球的概率．

剖析上述錯解將有放回問題當(dāng)成無放回問題來處理．有放回相當(dāng)于做重復(fù)試驗，其他條件完全相同；無放回則是做不同的試驗，即后一次試驗與前一次試驗的條件不同，是在新的標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行的．由于兩種情況的結(jié)果不一樣，所以混淆會導(dǎo)致錯誤的發(fā)生．

安徽省靈璧縣黃灣中學(xué))