江蘇 張路民

給“猜想”一個(gè)名分
——基于一類多元求最值問題的探討

江蘇 張路民

一、問題提出

二、尋因索果

果然比較實(shí)用，但如何讓學(xué)生信服，或者這其中到底有怎樣的關(guān)聯(lián)呢？是不是適用于所有問題？帶著這些疑問，筆者對(duì)其進(jìn)行了進(jìn)一步的研究.

首先，筆者對(duì)原題的解法進(jìn)行了研究，希望能從中發(fā)現(xiàn)問題所在.

三、建構(gòu)模式

從上述的分析可以看出這一“猜想”其實(shí)是偶然中的“必然”(當(dāng)然也可能會(huì)出現(xiàn)例外，沒有理論依據(jù)).基于這樣的特征和普遍性，筆者覺得有必要向?qū)W生作一個(gè)推廣，在遇到類似問題且又找不到方法的情況下可以嘗試.當(dāng)然，畢竟是猜想肯定會(huì)有一定的風(fēng)險(xiǎn)和偶然性.為了方便記憶，筆者給具備這種類型的表達(dá)式起了個(gè)名字叫“輪換對(duì)稱式”.顧名思義，這類問題的特征是變量可以互換且結(jié)構(gòu)上是對(duì)稱的(即交換后不影響結(jié)果).解決策略是：假設(shè)兩個(gè)變量相等，代入后得到值即可能為所求最值.

四、問題延伸

有一些問題可能從題面上看不具備“輪換對(duì)稱式”的特征，需要作適當(dāng)?shù)淖冃翁幚矸侥軡M足，比如：

上述兩個(gè)例子進(jìn)一步驗(yàn)證了這種“猜想”具有一定的普遍性，但有些問題需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃翁幚?

五、高考應(yīng)用

為了進(jìn)一步推廣這種猜想，筆者又嘗試著解決了兩道高考試題看看是否具有普遍推廣性.

六、反例

【例4】(2016·江蘇卷·14)在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是________.

由此可見，猜想畢竟只是猜想，不一定適用于所有的題目，還不能作為真命題存在.但是我們也看到它終究是適用于大多數(shù)此類題型的，在找不到更好的方法的情況下，也不失為一種較好的解決填空題的策略.

江蘇省南京市大廠高級(jí)中學(xué))